凹凸性在高中数学不等式解题中的技巧分析

胡泽炎

【摘要】不等式的证明是高中数学的一个重要内容，它综合利用了许多数学知识.函数的凹凸性对于不等式的证明起到了重要作用，本文将分析函数凹凸性在解题过程中的一些技巧.

【关键词】凹凸性；不等式；技巧

一、引 言

高中数学一个重要内容就是不等式，这部分内容的综合性强，难度大[1].我们知道，反映客观事物的基本数量的关系式可以用等式关系和不等式关系進行表示，而相对于等式关系，不等式描述了事物在数量关系上的大小，是表示了关于实际生活中的不等关系的数学模型，如何建立不等关系，以及利用不等关系来解决现实问题，是高中以及将来在大学的学习会经常遇到的问题之一，所以高中的学习中学生要不断地积累不等式的基本内容和解题技巧.在解决这些问题时，通常需要综合利用函数、方程、导数、数列等相关知识.不等式能很好体现数学的思想和方法，这些思想方法包括转换变量、数形结合、分类讨论，而这些思想刚好是高中数学里最重要的思想，贯穿整个高中数学.本文将以高考中常遇到的相关题型为例，探讨不等式解题的基本技巧和方法，为同学们的学习提供一些帮助.

二、凹凸性的证明技巧

解不等式的过程就是应用不等式的一些性质对不等式做等价转换的过程，证明不等式时，需要应用不等式性质和一些重要的不等式对不等式做同解变形或放缩到合适的位置，再应用其他知识做综合考查.我们要注意，在解题过程中要善于对问题进行转化，转化成解不等式或不等式证明来解决，这充分体现了在高中数学的学习中不等式的工具性特点.下面是一些高考数学中最常遇到的不等式：基本不等式、柯西不等式、绝对值不等式（或三角不等式）、排序不等式等.另外，在很多时候，还会利用函数的凹凸性去求解或者证明不等式.下面给出函数凹凸性的定义，在一些教材和参考书里，函数的凹凸性也被定义为上凸和下凸，本文采用上凸和下凸的定义，因此，这从图形更好地去理解.

三、小 结

在高中数学的学习中，对函数的凹凸性可以逐渐掌握，层层递进，在不同阶段掌握不同的解题方法，使得学生对数学学科内容有一个拓展和加深，同时也可以让学生从简单的对图形的认识，上升到理论上的解决问题的能力，以培养学生的数学素质和数学思想.

【参考文献】

[1]叶立军.初等数学研究[M].上海：华东师范大学出版社，2008.

[2]郑立飞，吴养会，王洁.一道积分题的四种证明方法[J].高等数学研究，2017（3）：4-5.