“算法案例——进位制”教学实录与思考

周跃佳

【摘要】《普通高中数学课程标准（实验稿）》中将“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”作为课程的一个基本理念，而探索过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动，思维永远是从问题开始的，本文在“算法案例——进位制”的教学过程中，精心设计问题串，引导学生探索，激发学生的学习兴趣，发挥学生的学习主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的再创造过程.

【关键词】问题串；教学实录；教学思考

一、基本情况

1.目标要求：

知识与技能：了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换.

过程与方法：学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k取余法，并理解其中的数学规律.

情感、态度、价值观：体验数学知识是因需要而产生，领悟十进制、二进制的特点，了解计算机的电路与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系.

2.重点难点：

教学重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换.

教学难点：除k取余法的理解以及各进位制之间转换.

3.教学策略与方法：

认识二进制采用问题串启发讲授式，进制之间的转化采用问题串探究式.

二、课堂实录

环节一 猜姓游戲

教师利用二进制原理提前制作百家姓氏表，课堂上教师播放百家姓氏表，组织学生参与此数学游戏.学生回答5张百家姓氏表里“有”或“没有”自己的姓，教师就可以猜出学生姓什么.

教师提问：你想知道其中的原理吗？（情境性问题）

说明：由于是抽班上课，教师不认识班里的学生，却能猜出学生的姓氏，学生很想知道原理，激发学生的好奇心.

环节二 认识进位制

教师提问1：（铺垫性问题）为什么会有不同的进位制？生活中有哪些进位制？

教师提问2：（目标性问题）什么是k进制？

教师提问3：（研究性问题）k进制数怎么表达？一般形式是什么？

教师提问4：（辨析性问题）以下数的表达是否正确？

（1）12（2） （2）061（7） （3）291（8）

学生活动：生活中的进位制举例，一起了解生活中的六十进制、七进制、十二进制、二进制和十六进制等，因为生活需要所以产生不同的进位制，进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统.解决问题2：“满k进一”就是k进制（k叫作基数）.跟随问题3和问题4，学生在教师的引导下得到k进制的一般表达，并学会辨析.

说明：通过三个问题串引导学生得到进位制的定义和进位制数的表达形式.通过几个典型例子的辨析，让学生深刻理解k进制数的表达，培养学生思维的缜密性.

环节三 k进位制转化为十进制

教师提问1：（情境性问题）为什么要研究进位制之间的转化？比如，二进制只用0和1这两个数字，这正好和电路的通和断两种状态相对应，因此，计算机内部都使用二进制.计算机在进行数的运算时，先把接收到的数转化成二进制数进行运算，再把运算结果转化为十进制数输出.

教师提问2：（过渡性问题）十进制3 721中的3，7，2，1各表示什么？1 011（2）表示什么？3 421（5）表示什么？

教师提问3：（目标性问题）如何将k进制数转化为十进制数？

教师提问4：（应用性问题）1.把下列数化为十进制数：① 1 011 010（2）；② 10 212（3）.

2.已知k进制的数132（k）与十进制的数30相等，那么k等于.

学生活动：在教师设置的情境性问题中，感受因为需要，所以研究.在教师的引导下完成过渡性问题、目标性问题和应用性问题，并参与交流讨论，上交作品.

说明：首先从实际问题出发，设置问题情境，因为现实的需要，所以研究进制转化，让学生意识到数学源于生活又用于生活，同时激发学生的学习兴趣.通过十进制的复习，二进制和五进制的过渡研究，进而k进制转化为十进制得以解决.设置适当的“应用性问题”，巩固学生所学的新知识和新方法，并检验学生的学习情况.

环节四 十进位制转化为k进制

教师提问1：（铺垫性问题）十进制如何转换为二进制？

教师提问2：（过渡性问题）这个算法能简化吗？能否寻找到一种简单的算法？

教师提问3：（目标性问题）能否将这个算法推广？

教师提问4：（应用性问题）1.如何把89化为五进制数.2.53（8）=（2）.

学生活动：学生跟随教师再度回忆刚才将二进制转化为十进制的例子，逆向观察等式，寻求十进位制转化为二进制的方法.在教师的引导下将算法简化，并推广到一般情况.学生独立完成应用性问题并提交优秀作品和错误分析.

说明：此阶段难度较大，铺垫性问题将简单的十进制转化为二进制，通过寻求简单的算法作为过渡，完成十进制转化为k进制这一目标性问题，跟上应用性问题趁热打铁.

环节五 悬念性问题

教师提问：当要进行进制转化的数据比较大的时候，人工转化难度比较大，如，

学生活动：学生有想算的念头，但数据太大，难以下笔，此时，考虑编程在计算机上实现，预告下一节课，演示计算机计算.

说明：设置悬念性问题的目的是激起学生对学习下一节新知识的渴望和动机.

环节六 揭示猜姓游戏原理

教师揭示课前猜姓游戏的算法原理，学生从本节课中找到了猜姓游戏的答案，首尾呼应，揭开了课前游戏的迷.

环节七 小结

师生活动：本堂课认识了进位制，研究了进位制之间的转化原理.研究的过程是通过追忆熟知的十进制，追随陌生的二进制作为过渡，追求了通用的k进制向十进制转化的通法.然后逆向研究，追索十进制向k进制的转化，进而追寻简化算法，得到了想要的效果.

说明：引导学生对学习过程进行小结，引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，進行有效调控打下良好的基础.

三、教学思考

“问题串”是在一定的学习范围或主题内，围绕一定目标或某一中心问题，按照一定逻辑结构精心设计的一组（一般在3个以上）问题.问题串是支持教师教授过程和学生学习过程的一个重要工具，有利于将知识点由简单引向复杂，有利于将学生的错误回答或理解引向正确，有利于将学生的思维由识记、理解、应用等较低层次引向分析、综合、评价等较高层次.有效的问题串能够激发学生积极、正确地回答，并因此积极地参与学习活动.

本课四个环节层层深入，每个环节用问题串的形式构成课堂逻辑线.适度对教材内容通过问题串的形式进行“加密”和“搭台”、补充与完善，使教学内容变得丰满和容易接受.尽可能使课堂处于使知识动态生成的师生互动状态，从而实现数学进位制概念和进位制转化原理的自然生成.

本节课的教学“问题串”分为情境性问题、铺垫性问题、目标性问题、辨析性问题、应用性问题和悬念性问题.

通过研究环节二、三、四中“目标性问题”来实现整个教学目标，“目标性问题”是本节课的核心问题，是中心任务，为了达到解决“目标性问题”的目的，采用“情境性问题”和“铺垫性”问题引导和促进学生解决“目标性问题”；通过创设“辨析性问题”和“应用性问题”强化和深化学生对“目标性问题”的理解.悬念性问题则激起学生对学习下一节新知识的渴望和动机.

“问题串”有利于提高学生的学习能力.学生通过“问题串”的学习，养成自主学习、探究学习的习惯，培养了提问的意识，提高了解决问题的能力，从而提高了学生的学习能力.采用“问题串”教学可以将课堂大部分时间还给学生，教师课前做好充分的准备，根据实际情况，设置合理的问题系列，用问题引起学生强烈的求知欲望.通过“问题串”教学能够有效激发学生学习的积极性与主动性，能够对学生的综合思维能力进行培养.

【参考文献】

[1]朱万新.高中数学问题链的设计[D].呼和浩特：内蒙古师范大学，2016.

[2]石宇清.“问题串”在农村高中数学教学中的实践研究[D].石家庄：河北师范大学，2014.

[3]周桥娣.新课程背景下的数学课堂提问设计的再认识——寻找适合学生发展的课堂提问[J].数学教学通讯，2012（27）：9-11.