预张拉CFRP布增强加筋矩形板的动力特性分析

丁 驯， 周 叮， 刘 朵， 张建东

(1. 南京工业大学 土木工程学院，南京 211816； 2. 苏交科集团股份有限公司，南京 211112)

板是结构工程中最常见的构件，若在垂直于板边方向使用加强筋，可有效提高板和整个结构的承载能力和稳定性[1-2]。CFRP是一种高性能的新型纤维增强复合材料，近十年来，特别是在美国北岭地震和日本阪神大地震后，采用CFRP布加固补强混凝土结构的技术在实际工程中大量应用，并且随着这项加固技术在世界各地的推广和发展，CFRP材料的轻质高强、抵抗腐蚀、方便操作等优越性能逐渐被工程界认可，并且已成功运用于加筋板的加固，具体方法是对CFRP布进行预张拉，然后张贴到加强筋的下表面起到增强效果[3]。

近十年来世界各国土木建筑界的许多学者和工程师们将CFRP广泛应用于结构的加固工程，并进行了大量的实践和研究工作。刘世恩等[4]提出了一种计算加劲板的板梁分开法模型，用有限元法对该模型进行了几何非线性分析并与试验结果以及解析解相比较；杜修力等[5]介绍了预应力芳纶纤维布和碳纤维筋在加固混凝土结构方面的主要研究成果。

Bhaskar等[6]分别用弹性力学方法和经典力学方法研究了四边简支正交各向异性加筋板的静、动力学性能；周叮[7]研究了两对边简支、另两对边复杂支撑矩形板的横向振动问题；马牛静等[8-9]研究了四边固定和四边简支加劲板非线性振动的求解方法与振动特性，将加劲板分为母板与加劲肋两个部分考虑，其中母板视为大挠度板，加劲肋视为Euler梁。李凯等[10]基于能量泛函变分的方法，研究附加多个集中质量纵横加筋板的自由振动特性；为了提高加筋板结构振动响应的预报精度，黄海燕等[11]建立了考虑板的剪切变形和旋转惯性以及梁偏心的加筋板结构的振动模型；尉大业[12]研究了周期和失谐周期正交各向异性肋板结构的振动传播特性；白崇喜[13]研究了无黏结CFRP筋部分预应力混凝土梁板设计方法研究；张浩宇等[14]分别应用工程算法和有限元软件ANSY对CFRP增强环氧树脂复合材料加筋板的压缩稳定性进行了分析，得到了加筋板的临界失稳屈曲载荷和屈曲模态。CFRP加固技术的广泛运用，推动了社会对CFRP增强加筋板的理论研究。

通常情况下，板的平面尺寸比厚度大很多，可用经典薄板理论进行分析；加强筋的长度比其宽度和高度均大很多，故可用欧拉梁理论进行分析，而粘贴在加强筋下表面的预张拉CFRP布可使用弦理论进行分析。本文将预张拉CFRP布加固简支加筋矩形板体系划分为CFRP层、加强筋、矩形板三个部分，分别对之进行动力学分析，根据各个部分在接触处力和位移的连续性条件确定待定系数，采用数值搜根法求出整个系统自由振动的固有频率。

1 研究模型

考虑如图1所示的长宽分别为a、b，厚度为h的四边简支矩形板；板下表面y=b/2处支承有长度为a、截面高度和宽度分别为H和B的简支梁；梁下表面满布贴有预张拉的CFRP布。模型中任一点沿x、y、z方向的位移分别为u、v、w。

基本假设：①不考虑梁与CFRP层之间的胶结层作用，梁和CFRP布完全黏合在一起；②板和梁、梁和CFRP层间的应力和位移沿梁宽均布；③CFRP粘贴层的厚度与加强筋的截面高度相比很小可忽略不计。

图1 预张拉CFRP布加固加筋矩形板Fig.1 Stiffened rectangular plate strengthened with pretension CFRP sheets

2 预张拉CFRP布分析

CFRP布很薄，CFRP层和加强筋之间的作用力沿宽度B不变，可将预张拉CFRP层当作一维的弦来进行分析。CFRP层的受力如图2所示，加强筋对其在单位宽度上产生的竖向作用力为Jint(x,t)，切向作用力为Rint(x,t)，CFRP层两端受到大小为T的预张力，则每层CFRP两端受到T除以层数的预张力。

图2 CFRP层上的界面作用力Fig.2 Interface tractions on the CFRP sheet

CFRP层微段上的平衡条件为

(1)

(2)

(3)

式中：N为CFRP层除了T以外的轴力；Ec为CFRP布沿长度方向的弹性模量；Ac为CFRP层的横截面积；ρc为弦单位长度的质量。

将式(3)代入式(2)进一步得到

(4)

设CFRP层的位移函数为

(5)

式(5)已满足边界条件：w=0， 当x=0,a。

根据位移函数的形式，可设加筋板与CFRP布间的界面力为

(6)

将式(5)、式(6)代入式(1)、式(4)， 将Am、Bm用Jm、Rm表示。

3 加强筋分析

因加强筋的跨度比其截面尺寸大很多，可以将加强筋简化成欧拉梁，用欧拉梁理论进行分析。加强筋上下表面的受力如图3所示，CFRP层在单位宽度上对其产生的竖向力为Jint(x,t)， 切向力为Rint(x,t)， 矩形板对其产生的单位宽度上的竖向力为Qint(x,t)， 切向力为Sint(x,t)。

图3 加强筋上下表面的受力Fig.3 Interface tractions on the stiffener

将上下界面作用力均转移到加强筋中线上时，上下切向力均会产生沿长度方向分布的附加弯矩，如图4所示。

图4 上下表面受力转换到加强筋的中线Fig.4 Shifting of interface tractions to the mid line of the stiffener

设CFRP层切向力Rint(x,t)产生的附加弯矩为mr(x,t)， 矩形板切向力Sint(x,t)产生的附加弯矩为ms(x,t)， 则

(7)

根据欧拉梁理论，引入加强筋中线位移u0，则加强筋上某点的位移为

(8)

加强筋中线微段上的平衡条件为

(9)

(10)

(11)

式中：N、V、M分别为加强筋任一截面上的拉力、剪力和弯矩；ρb为加强筋的质量密度。

将式(11)代入式(10)中，消去V得

(12)

根据加强筋的本构关系，在x方向上有

(13)

将式(13)代入式(9)、式(12)，得加强筋的微分控制方程

(14)

式中：Eb为加强筋长度方向的弹性模量；Ab为加强筋截面的面积；Ib为加强筋截面的惯性矩。设矩形板对单位宽度上加强筋的作用力为

(15)

根据加强筋上下界面作用力傅里叶级数的形式，加强筋的位移函数可设为

(16)

式(16)已满足梁两端简支的边界条件

将式(6)、式(15)、式(16)代入式(14)，将Um、Wm用Rm、Jm、Sm、Qm表示。

4 薄板分析

矩形薄板下方受力如图5所示，和加强筋一样，将界面作用力转移到板的中面上，在板的单位面积上会分别产生竖向力Qint(x,y,t)、 切向力Sint(x,y,t)以及分布力矩mp(x,y,t)。

图5 矩形板上的界面作用力Fig.5 Interface tractions on the rectangular plate

将加强筋对矩形板的竖向和切向作用力展开成双三角级数

(17)

(18)

则有

(19)

根据经典板理论，有

(20)

式中：u0(x,y,t)、v0(x,y,t)和w(w,y,z,t)为板中面的位移。

板中面上微小面积元的受力平衡条件为

(21)

(22)

(23)

式中：N、M、Q为矩形板的内力。

将式(22)代入式(23)消去Qx和Qy，得

(24)

各向同性板的平面应力本构关系为

(25)

沿板厚度积分得微分控制方程

(26)

(27)

(28)

设板的位移函数为双三角级数形式

(29)

式(29)已满足简支边界条件当x=0,a;w=v=0； 当y=0,b;w=u=0。

将式(17)～式(19)和式(29)代入式(26)～式(28)，将Umn、Vmn、Wmn用Sm、Qm表示。

5 CFRP层、加强筋、板的整体分析

上述的分析已经满足了界面之间力的连续性，由于加强筋与矩形板的作用力和位移沿筋的宽度B均保持不变，这样的假设无法保证在加强筋整个宽度上与矩形板间位移的连续，因此可沿加强筋的中线近似取加强筋和板的界面位移沿y=b/2线连续，则根据各层间位移连续性，得到一个关于系数Rm、Jm、Qm、Sm之间的齐次线性方程组，用矩阵形式可表示为

(30)

式中： 各个系数详细表达式见附录。

由于系数不全为0，根据线性代数知识，可知其系数行列式的值为零，就得到整个系统的频率方程

(31)

利用行列式搜根法可求出各阶固有频率，将频率值代入式(30)可求出各个系数的相对值，再将这些结果值代入相应的位移函数，就可以得到各阶振型。

6 收敛性分析和算例

首先研究本文方法的收敛性，假设方板的泊松比vp=0.3，弹性模量Ep=30 000 MPa,板的长宽a=b=5 000 mm，板厚h=100 mm，密度ρ=2.4×10-9T/mm3加强筋的泊松比υb=0.3，弹性模量Eb=30 000 MPa，加强筋高H=200 mm，宽B=100 mm；CFRP的弹性模量Ec=200 000 MPa，每层CFRP布的厚度为0.6 mm，密度ρc=1.8×10-9T/mm3，每层CFRP布两端受到的预拉力使CFRP布产生0.5%的拉应变，换算得预拉力T=600 N/mm。收敛性分析和与有限元结果对比如表1和表2所示。

表1 各阶频率收敛性分析

从表1可以看出本文的结果具有很好的收敛性，在级数N取到40时，可保证三位以上的有效数字，故在以后的分析中级数项全部取N=40。有限元ANASYS分析板和FRP均采用壳单元Shell181，加强筋采用实体单元Solid185，预张拉施加采用温度法。表2给出了本文解与有限元ANSYS解的比较，从表中可以看出，本文解与有限元解吻合很好，最大误差只有2.1%，证明了本文模型的正确性。另外用Mathematics画出了前三阶振型图，如图6所示。

表2 本文解与有限元解的比较

图6 矩形加筋板的前三阶振型Fig.6 The first three mode shapes of the rectangular stiffened plate

表3和表4分别研究CFRP布层数和CFRP布预张力对固有频率的影响，表3中每层CFRP布预张力的大小都是600 N/mm，由表3可知随着CFRP层数的增加，加筋板各阶的自振频率相应增大，加固效果随CFRP布层数的增加越来越明显。表4为CFRP布粘贴一层情况下预张力变化对各阶自振频率的影响，由表4可知随CFRP布预张力的增加，各阶自振频率亦相应增大；比较表3和表4可以发现，增加CFRP的层数比增加预张力的大小对提高加筋板固有频率的影响更大。不管是增加CFRP层数还是提高预张力大小，都提高了加筋板的刚度，从而使得加筋板的自振频率增大，符合实际工程情况。

表3 粘贴不同层数CFRP对加筋板固有频率的影响

表4 不同预张力CFRP对加筋板固有频率的影响

7 结 论

本文研究了预张拉CFRP增强加筋矩形板的动力学分析，将整体系统沿界面分割成薄板、加强筋、CFRP三部分，将界面力作为待定未知外力，分别对三部分进行分析，以三角级数形式表示各个方向的位移函数和应力，根据各部分界面间的位移连续性条件得到一齐次代数方程组，由系数行列式为零条件得到以固有频率为未知量的代数表达式，数值搜根得到各阶固有频率。计算结果与有限元ANSYS解对比证明了本文模型的准确性。分析了不同层数CFRP和不同预张力值对加筋板固有频率的影响，通过对比可知，随着CFRP层数和预张力的增加，CFRP增强加筋板的固有频率逐渐增加，这意味着加固有明显效果；研究表明CFRP层数的增加比预张力的增加对CFRP增强加筋板固有频率的影响更大。

[ 1 ] SHANMUGAM N E, ZHU D Q, CHOO Y S, et al. Experimental studies on stiffened plates under in-plane load and lateral pressure[J]. Thin-Walled Structures, 2014, 80(1): 22-31.

[ 2 ] SRIVASTAVA A K L, PANDEY S R, KUMAR A. Dynamical analysis of stiffened plates under patch loading[J]. Applied Mechanics and Engineering, 2013, 18(2): 537-554.

[ 3 ] CHAVES-VARGAS M, DAFNIS A, REIMERDES H G, et al. Modal parameter identification of a compression-loaded CFRP stiffened plate and correlation with its buckling behavior[J]. Progress in Aerospace Sciences, 2015, 78: 39-49.

[ 4 ] 刘世恩, 刘胜君. 加劲板的计算方法研究[J]. 工业建筑, 1998, 28(10): 30-32.

LIU Shien, LIU Shengjun. Research on the computer method of stiffened plates[J]. Industrial Construction, 1998, 28(10): 30-32.

[ 5 ] 杜修力, 张建伟, 邓宗才. 预应力FRP加固混凝土结构技术研究与应用[J]. 工程力学，2007, 24(增刊2): 62-74.

DU Xiuli, ZHANG Jianwei, DENG Zongcai. Technology and application of strengthening RC structure with prestressed FRP[J]. Engineering Mechanics, 2007, 24(Sup 2): 62-74.

[ 6 ] BHASKAR K, PYDAH A. An elasticity approach for simply-supported isotropic and orthotropic stiffened plates[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2014, 89: 21-30.

[ 7 ] 周叮. 两对边简支另两对边复杂支承矩形板的横向振动问题[J]. 强度与环境, 1992(3): 16-22.

ZHOU Ding. The transverse vibrations of rectangular plates with complex supports on edges[J]. Structure & Environment Engineering, 1992(3):16-22.

[ 8 ] 马牛静, 王荣辉, 韩强, 等. 四边简支加劲板的几何非线性自由振动及内共振[J]. 振动与冲击, 2012, 31(24): 60-64.

MA Niujing, WANG Ronghui, HAN Qiang, et al. Geometrically nonlinear free vibration and internal resonance of a stiffened plate with four edges simply supported[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(24): 60-64.

[ 9 ] 马牛静，王荣辉. 四边固定加劲板的非线性自由振动[J]. 力学学报, 2011, 43(5): 922-930.

MA Niujing, WANG Ronghui. Nonlinear free vibration of stiffened plate with four edges clamped[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2011, 43(5): 922-930.

[10] 李凯, 何书韬, 邱永康, 等. 附加多个集中质量加筋板的自由振动分析[J]. 中国舰船研究, 2015, 10(5): 66-70.

LI Kai, HE Shutao, QIU Yongkang, et al. Free vibration analysis of rectangular stiffened plates with several lumped mass[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2015,10(5): 66-70.

[11] 黄海燕，王德禹. 加筋板结构的自由振动分析[J]. 船舶工程, 2008, 30(6): 1-3.

HUANG Haiyan, WANG Deyu. Free vibration analysis of the stiffened plate[J]. Ship Engineering, 2008, 30(6): 1-3.

[12] 尉大业. 周期和失谐周期正交各向异性肋板结构的振动传播特性[D]. 北京: 北京交通大学, 2011: 1-7.

[13] 白崇喜. 无黏结CFRP筋部分预应力混凝土梁板设计方法研究[D]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学, 2010: 1-23.

[14] 张浩宇, 何宇廷, 冯宇, 等. 碳纤维增强环氧树脂复合材料加筋板的压缩屈曲特性[J]. 机械工程材料, 2015, 39(12): 59-62.

ZHANG Haoyu, HE Yuting, FENG Yu, et al. Compressive buckling property of carbon fiber reinforced epoxy resin composite stiffened panel[J]. Materials for Mechanical Engineering, 2015, 39(12): 59-62.

附录：