由二次函数抛物线引发的思考

张立刚 段晓晓

一、抛物线天下一家

解析几何中，方程y2=2px的图形称抛物线；函数中，二次函数y=ax2的图象也称抛物线.于是发问：这两种抛物线是一家人吗？

【例1】二次函数y=14x2+1的图象如下：

试探索，平面上是否存在这样的定直线l和定点F，使得图象上任何一点P（x，y），到F的距离与到l的距离相等？

【解答】（配方法）由等式y=14x2+1两边乘以4并移项：x2-4y+4=0，

两边同时加上y2，得x2+（y-2）2=y2，

两边开平方，同取算术根，得14x2=|y| （※）

用距离公式看待式子（※），此式表明：抛物线上动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离与到定直线y=0的距離相等.

【说明】二次函数y=14x2+1的图象可视为：到定点（0，2）与定直线y=0的点的轨迹（集合）.看来，二次函数的图象与二次方程y2=2px的图形是同一家人.

【另解】（标准方程法）由y=14x2+1得x2=4（y-4），

它是抛物线x′ 2=4y′ 2上移1个单位的结果，后者的焦点数P=2，焦点F（0，1），准线l′ 为y=-1.

上移1个单位后， 的焦点为F（0，2），准线为y=0.

【说明】二次函数的图象只是抛物线图形的一种特殊形式（开口向上或向下），它统一于抛物线的共性之中：到定点（焦点）和定直线（准线）距离相等的点的轨迹（集合）.

二、抛物线全族相似

抛物线y2=2x有些特殊，焦参数——焦点F到准线l的距离P=1，焦点到顶点距离为P2=12，顶点到准线的距离也是P2=12.

像单位圆一样，有人称这种抛物线为“单位抛物线”，

当x=P2=12时，得抛物线的垂直焦半径|FP|=|y|=1.

垂直焦半径端点P到顶点O的距离为|OP|=62，它是抛物线的一条特殊的顶点弦.

有了这些，我们可以研究抛物线族y2=2px与单位抛物线y2=2x的关系.

从作图可知，抛物线y2=4x由抛物线y2=2x放缩而得，或者说它们相似，相似比λ=OTOQ=P=2.

不难发现，抛物线族y2=2px中每条抛物线都与单位抛物线y2=2x相似，相似比为λ=P1=P，相似中心是顶点O.

三、通径抛物线最短的焦径

连结抛物线上任意两点间的线段称作抛物线的弦，过焦点的弦称作抛物线的焦径.

和圆不一样，圆的直径长是个常数，而抛物线的焦径则是个变数.

直观地，抛物线的焦径可以增到无穷大，因此，抛物线的焦径无最大值.那么，抛物线的焦径有最小值吗？

【例3】设抛物线x2=2py的焦点为F（0，P2），P1P2是抛物线的一条焦径，求|P1P2|的取值范围.

【解答】（解析法）设P1P2的点斜式方程为y-P2=kx，

联立 ，x2=2py

y-P2=kx

得x2-2pkx-p2=0→x1+x2=2pk，x1x2=-p2，

|P1P2|=（x1-x2）2+（y1-y2）2

=1+k2·（x1+x2）2-4x1x2

=1+k2·（2pk）2+4p2

=（1+k2）·2p≥2p.

等号成立条件是k=0.

|P1P2|的最小值为2p，值域为[2p，+∞）.

【说明】当k=0时，焦径P1P2垂直于y轴，成为抛物线的通径，因此，通径是抛物线最短焦径.

四、焦半径谁的增函数

连结抛物线（y2=2px）上一点和焦点的线段称抛物线的焦半径.注意，焦半径不一定是焦径的一半，除非焦径是通径.

直观地，焦半径的长度可以增向无穷大，因此无最大值.那么，抛物线的焦半径应该有最小值.这个最小值是通径的一半吗？

【例4】探求抛物线y2=2px焦半径的取值范围.

【解答】设焦半径的端点为P（x，y），则有|PF|=（x-p2）2+y2

利用y2=2px消去y，得|PF|=（x-p2）2+2px=（x+p2）2=p2+x .

当x→∞，|PF|→∞；当x=0时，得|PF|的最小值为p2.

故y2=2px焦半径的取值范围为[p2，0）.

【说明】抛物线y2=2px的焦半径公式r焦=p2+x，表明焦半径是横坐标x 的一次函数，且在[0，+∞）上递增.

特别地，x=p2时，|PF|=p2+p2=p，即抛物线y2=2px的通半径长为p.

x=0时，焦半径得到最小值p2.

注意，在抛物线y2=-2px中，焦半径是x 的减函数：r 焦=p2-x.

同理，在x2=2py中，焦半径是y 的增函数：r 焦=p2+y；在x2=-2py中，焦半径是y的减函数：r 焦=p2-y.

（作者单位：山东省淄博第七中学）