向量法在求二面角中的应用

后小君

（甘肃省岷县第一中学，甘肃 定西）

一、二面角的两个半平面的法向量的夹角与二面角的关系

1.确定法向量的指向

图1

图2

图3

2.确定两个法向量的夹角与二面角的关系

如图1，当两个法向量一个指向二面角的内部，一个指向二面角的内部时，法向量的夹角就是二面角；如图2和图3，当两个法向量都指向内或者都指向外时，法向量的夹角就是二面角的补角。

二、法向量在求二面角中的应用

求二面角的大小或二面角的余弦值：当二面角为锐二面角时，二面角的余弦值为正值，当二面角为钝二面角时，二面角的余弦值为负值，二面角和它的补角的余弦值不相等。用向量法解决这类型题时需判断法向量的指向以保证两向量的夹角就是二面角。

例1.【2017全国1卷（理）】如图4所示，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD。

（2）若 PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值。

【解析】（1）证明：因为∠BAP=∠CDP=90°，所以 PA⊥AB，PD⊥CD。

图4

又因为AB∥CD，所以PD⊥AB，又因为 PD∩PA=P，PD、PA⊂平面PAD，所以 AB⊥平面 PAD，又 AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD。

（2）取 AD中点 O，BC 中点E，联结PO，OE，

由（1）知，AB⊥平面 PAD，所以OE⊥平面PAD，

又PO、AD⊂平面PAD，所以OE⊥PO，OE⊥AD。

又因为PA=PD，所以PO⊥AD，所以PO、OE、AD两两垂直，

所以以O为坐标原点，建立如图5，所示的空间直角坐标系O-xyz

图5

设 n=（x，y，z）为平面 PBC 的法向量，

因为∠APD=90°，所以 PD⊥PA，又知 AB⊥平面 PAD，PD⊂

平面PAD，所以PD⊥AB，又PA∩AB=A，所以PD⊥平面PAB，

点评：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意判断两个法向量的方向，确保一个指向二面角的内部，另一个指向二面角的外部，此时两向量的夹角就是二面角的大小。

例2.如图6，在三棱台ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面 ABC，AB=2A1B1=2CC1M，N分别为AC，BC的中点。若AB⊥BC且AB=BC，求二面角C-MC1-N的大小。

图7

【解析】 由CC1⊥平面ABC，可得A1M⊥平面 ABC，而 AB⊥BC，AB=BC，则MB⊥AC，所以 MA，MB，MA1两两垂直，故以点 M为坐标原点，MA，MB，MA1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图7所示的空间直角坐标系。

设 AB=2，则 A1B1=CC1=1

则平面ACC1A的一个法向量为（指向二面角内部）

设平面C1MN的法向量为则即取 x2=1，则

点评：注意某些平面的法向量在条件中隐含，不用单独求，取该平面的法向量时和另一个平面的法向量指向不同即可。

书中一直提倡用观察法判断二面角的大小是钝角还是锐角，难免存在一些因视角问题而产生的错误，而很多老师和学生常常对于这一问题上往往忽视它的重要性，但是我们应该认识到数学是一门艺术，更是一门科学，要求的是简洁性与准确性，所以，研究这一性质是非常重要的。