初中几何证明的典型错误及其应对策略

□海南省东方市八所中学 吴东翔

初中平面几何的学习是几何学的入门学习。若学生掌握该学科的学习方法,则会激发他们对数学学科的学习兴趣。因此培养学生自觉、主动地探求平面几何的解题问题，不仅是铸造学生优质的思维品格的基础、是培养学生严密的逻辑推理能力的有效途径，也决定着学生往后能否向更广更深的领域学习，关系着学生的成长发展。为了让学生的数学基础牢固，提升他们的逻辑推理能力，在几年的教学中，我观察到了学生在学习初中几何的种种情况。如，平面几何学习中几何证明是学生的痛点，几何证明问题往往让学生理不清头绪，不知如何下手，久而久之，学生对几何证明产生畏惧心理，对几何的学习也失去兴趣。“几何证明难”是学生不想学平面几何的原因，要想从源头上解决问题，我们必须找出问题的根源，以问题为主线，通过对问题的研究分析，寻找出现问题的原因，从而“对症下药”，寻找解决问题的方法，使教师的教学引导更加高效，学生的学习更加科学，为学生获取更多的“数学素养”、为学生未来的发展奠定基础。

一、典型错误

经过多方面的经验积累及调查分析，总结出几何证明的典型错误主要表现在以下几点：

1.概念定理，理解不透。

（1）学生对几何的概念、判断定理的识记与理解流于表面，容易忽略定理的内在含义，在应用时不考虑它的适用条件和范围。

在线段的垂直平分线的性质学习中，学生没有完全理解“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离才相等”的内在条件，在证明时，容易出错。

例：如图，在△ABC中，AB=AC,点D是BC的中点,求证：（1）△ABD≌△ACD ；（2）BE=CE。

错误分析：对于（2）的证明，很多学生都认为D是BC的中点，所以BE=CE，没有去探讨DE是BC的中垂线。

（2）在三角形全等的证明中，按照题目给出的已知条件，很多学生都会找出“边边角”的条件，然后就直接利用“边边角”直接得出两个三角形全等了，错误原因就是“无中生有，自创定理”。

2.隐含条件，不善挖掘。

在初中几何证明中，有一些题目，证明结论所需要的已知条件，不是直接给出来的，而是隐含的。对于这类题目，如果学生不善于挖掘这些条件，就没有足够的条件逐步推导出结论。这类题目学生共同的感觉就是“缺少条件”。

例：如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点N，交AB于点M，求证：△ABC∽△BCN。

分析：本题的关键在于抓住∠A=36°，AB=AC这

两个已知条件，由∠A=36°，AB=AC可得到∠ABC=∠C=（180-36）/2=72°，进而就可得所要证明的结论。但在实际证明中，很多学生都没有挖掘出这个隐含条件，所以结论也就无法求证。

3.推理混乱，缺乏规范。

表达混乱，条理不清是属于证明过程书写不规范的问题，对于初学者来说，这种现象尤为常见。这种现象，常见的有两种：

（1）不知如何下笔，是学生觉得“几何证明难”的共同心病，拿到一个几何证明题目，学生看了，心里明白怎么得到需要证明的结论，但下笔书写时，不知怎么表达推理过程或者推理混乱，逻辑不严密。

（2）几何证明的书写要求有它的独特性：书写表达必须规范，然而在几何证明中，学生表达不规范比比皆是。常见的情况有前因后果逻辑推理不严密、画图不规范、几何符号语言应用不规范等等。

4.添线助证，无从下手。

众所周知，很多几何题的证明，往往利用原图现有的“线”是难于证明的，这就需要添加辅助线。添加辅助线可以使复杂的几何证明问题变得简单，然而，因为没有掌握添加辅助线的要领，证明时，没有找到证明的突破口，题目也就无法得证。添加辅助线解决几何问题是几何证明的一大技巧，题目需要添加辅助线辅助证明时，学生没有找到添加辅助线的切入口，因此无法进行解题，这也是学生解决几何问题感到“无从下手”的原因。

5.文字命题，茫然无策。

在教学中，学生最难于应对的是文字命题的证明，对于此类问题，学生无法理解命题的含义，未能从中找出命题的题设和结论，不仅如此，学生还难于根据题意规范画图、不懂得用几何符号语言写出已知条件和求证。

6.生活问题，不善建模。

数学是来源于生活，又为生活服务的一门学科，生活中的很多现象，我们都可以把它归纳为数学问题，并用数学思维进行解决，然而，对于现实生活中的实际问题，学生往往不能把它进行建模，把生活问题转化为数学问题。几何尤其如此，学生没有耐心理解实际问题和数学的关系，没有更好地把实际问题归纳成几何问题，没有更好地画图加以直观理解，从而就没有达到解决实际问题的目的。

二、应对策略

以上是初中几何教学中学生证明常见的几类典型错误，在教学中如何有效应对呢？通过思考探索和与同伴探讨交流，总结出以下几点体会：

1.夯实基础、强化应用。

学生几何解题一切错误的原因都是基础不扎实，如果基础扎实了，而不善于应用，那就是平时缺少解题应用训练。在平常教学中，老师必须帮助学生理清几何定义、几何定理、公理条件和结论之间的逻辑思维关系、掌握应用范围，在解题实践中，放手让学生大胆尝试，要知道“只有让学生在实践中发现自己解题存在的不规范及漏洞错误，学生才能体会深刻及更好纠正”。“夯实基础、加强应用”是学生熟练运用的基础，也只有基础夯实，学生对几何的学习才更有兴趣，学生对学好几何才更有信心。

2.深入挖掘，突破瓶颈。

几何证明中，综合题目都有“瓶颈”，题目中设置的“瓶颈”往往让学生找不到解题的突破口，如果“瓶颈”突破了，学生证明也会豁然开朗，有一种“柳暗花明又一村”的感觉，此时的学生会无比兴奋，也会很享受那种成就感，这给学生学习几何带来多大的兴趣啊！何乐而不为呢？然而，几何证明中的“瓶颈”如何突破呢？课堂教学中必须做好以下几点：

（1）培养学生认真阅题、审题的良好习惯，在审题中能充分挖掘题目中的显性和隐性已知条件的意识。几何结论的证明，碰到最多的问题就是“结论的推导缺少条件”，然而题目给的条件肯定是足够的，有显性的，也有隐性的，只是学生不善于挖掘或利用而已。只有充分利用题目中的显性和隐性已知条件，结论的证明才能顺利推导出来。

（2）引导学生逆向分析，证明几何问题时，要让学生懂得从要证明的结论开始，逆向分析，结论的得出需要哪些条件，再从题目中去寻找这些条件，逐一突破。

（3）几何结论的证明，学生心里往往明白由这些条件可以得出这个结论，但要书写时却不知如何下笔。对于这样的问题，在教学中我们可以让学生多模仿例题的书写过程，让学生多尝试，学生之间相互纠正，这样他们体会到的知识会更深刻。

（4）几何文字命题的证明，学生的难点是：①无法找出命题的题设和结论，即找不出已知条件和需要证明的结论；②画简图，不懂得用几何符号语言写出已知和求证，针对这样的情况我们可以采取“化整为零，逐一突破”的策略。即要让学生懂得把问题分成几个步骤：第一，理清题意，画出草图；第二，根据题目中的条件和结论，用几何符号写出已知和求证；第三，从已知条件开始，逐一规范写出推导过程。

（5）数学文化的精华就是“化为数学”和“数学化为”，生活中的几何问题，要把它化为数学问题去求解，需要学生有良好的“建模”能力，在教学中，我们要注重数学“建模”思想的参透，多设置生活实例让学生练习，老师和学生一起探讨如何把“生活问题”化为“数学问题”之间的过渡关系。

3.方法归纳，形成思维。

方法归纳需要多思考，只有多思考才能找到不同问题的解决规律，例如添加辅助线证明问题时，不同类型的题目有不同的添加方法，但它们是有规律的，需要老师引导学生多思考、多体会、多总结。在几何证明的训练中，教师要多引导、帮助学生进行解题方法、解题技巧及分析思路的整理和归纳，只有这样，学生才能把老师的分析思路、解题技巧和证明思维转变为自己的方法，也就是要让学会收“渔”而不是收“鱼”，学生才能更好地开启几何证明的智慧之门。

解决问题的对策是很多的，在教学实践中，师生只有“持之以恒”，“几何证明难”的问题才能有效解决。