数形结合，让数学化繁为简

周文杰

【摘 要】什么是数形结合？数学家华罗庚有过这样的诠释：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”课程标准中的总目标提出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，而数形结合思想就是基本思想之一。数形结合既是研究探索数学的一种思想方法，又是帮助学生理解解释数学的一种教学方式与教学手段。

【关键词】数形结合；建构；思想方法

一、数形结合思想在小学数学教学中的应用现状分析

目前大多数教师赞同学生使用数形结合思想解决题数学问题，认可数形结合思想能提高学生的解题能力和思维能力，但是在具体实施中还存在不少问题，比如数形结合思想并没有得到普及，很多教师课堂中没有运用数形结合思想去解决数学问题，而是枯燥地讲算理，有一部分后进生掌握新知识就比较慢。

在四大领域中，很多教师会选择在图形与几何领域渗透数形结合思想，而“数与代数”、“统计与概率”、“综合与实践”领域则运用得很少，这是一种误区，四大领域很多内容都可以选择数形结合的思想解决问题，不只局限于图形与几何。

二、数形结合思想的心理学基础和教育价值。

皮亚杰在他的儿童认知发展理论中将儿童认知发展分为四个主要阶段，感知运算阶段（0-2岁）、前运算阶段（2-7岁）、具体运算阶段（7-11岁）、形式运算阶段（11岁以后）。小学生的思维处于前运算阶段向具体运算阶段过渡，他们的思维以具体形象思维为主，抽象思维比较薄弱，因此在很多时候需要借助图形来解决一些数学问题。皮亚杰是认知建构主义的代表人物，他认为学习包括适应和建构两种机制，数学对于数学知识的掌握不是被动的接受和模仿，而是运用自己已有的知识和经验对新知识进行理解和解释，以达到建构新认知结构的目的。

数学课程标准指出：数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学是对“数”和“形”的研究。小学数学四大领域“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合”，无一不是建立在“数”与“形”的基础上进行研究和学习的。教师在教学时引导学生运用数形结合的思想解决问题，培养学生的抽象思维和推理能力，以及创新意识和实践能力。

三、数形结合思想方法在小学数学教学中的应用策略

（一）以形助数。

案例1：人教版一年级下册《两位数加一位数的进位加法》，“24+9=？”。

题目本身是求联欢会一共有多少瓶矿泉水，用小棒代替矿泉水瓶，利用小棒，形象地演示了24+9的运算过程，10根小棒为一捆是10，把9根小棒拿出6根与4根组成新的一捆，满十变成一捆小棒，十位2个十加1个十变成3个十，个位就剩下了3，十位与个位放在一起得到3捆小棒和3根小棒，也就是33。通过摆小棒的方法帮助学生理解24+9的过程，比起直接计算24+9更加易懂。在这里把小棒作为图来帮助算和，达到以形助数的作用。。

案例2：人教版三年级下册《两位数乘两位数笔算乘法》。

学生在此之前学过多位数乘一位数的笔算方法，这里要学习两位数乘两位数的笔算，难度有所增加，有一部分学生可能会找不到方法。课堂可以让四人小组间讨论解决的办法，借助多种画图策略，通过比较得出把12套分成10套和2套分部去乘14本最简单且易懂。教材借助“小刚这样想，小红这样想”比较了两种不同的解题思路，让学生在理解的基础上，掌握乘的先后顺序和计算过程，知道28是14×2的积，14代表140是14×10的积，进而理解2套书加10套书等于12套书的总价168元。这也是笔算乘法的方法，使学生能借助图解决简单的实际问题，以及为以后解决复杂的数学问题打好基础。

（二）以数解形。

案例3：人教版五年级下册《长方体和正方体的表面积》。

教师出示图中的纸盒（长0.7m，宽0.5m，高0.4m），要求学生独立思考探究这个长方体纸盒表面积的方法，并且思考长方体的表面积与什么有关？计算方法是什么？然后让学生开展活动，再进行全班交流，可能会出现以下情况：

学生：长方体的表面积和每个面的面积都有关系，把每个面的面积计算出来相加求出总面积，算式是（7×0.5+0.7×0.4+0.5×0.4）×2=1.66（cm2）。

教师：谁能结合图解释这个算式？

学生：7×0.5+0.7×0.4+0.5×0.4分别算出上面、正面、右面三个面积的和，再×2就是求6个面的总面积。

教师：请大家再把这種方法用文字概括。

学生：（长×高+宽×高+长×宽）×2=长方体表面积。

本课在提出问题后学生思考长方体表面积，分别求3个不同的面加起来再乘2的方法，构建了长方体表面积的公式模型，以数解形。

（三）数形互助。

案例4：人教版五年级上册《位置》。

本节课的教学目标是让学生学习在方格纸中用数对表示物体的位置，在此之前学生已经掌握了一定的生活经验，通过迁移到坐标轴中，使学生直观看到图形的运动变化，会用数对确定三角形的位置，体会到坐标轴的好处，用坐标分部表示向右平移和向上平移5个单位后三角形三个顶点的位置，为以后学习平面直角坐标系打好基础。通过数与形结合互助的形式帮助学生解决这类的数学问题。

数学是培养学生逻辑思维的科学，在学生的学习和生活中发挥着不可替代的作用。数学思想方法越来越得到了重视，数形结合作为重要的数学思想方法之一也越来越被关注。教师在教学中运用数形结合思想方法有利于学生理解并掌握新知识，让学生体会数形结合的优点，使之成为学生解决数学问题的一种思想方法。但这个过程肯定是漫长而又充满艰辛，作为一名教育工作者，同时作为一位小学数学教师，我会尽力在自己的教学生涯中给我的学生渗透数形结合思想，让他们真正自愿学习数学知识，不仅提高他们的学习成绩，更能激发他们对数学这门学科的兴趣。

参考文献：

[1]《数学课程标准（2011年版）》，北京师范大学出版社.

[2]《普通心理学》（修订版）北京师范大学出版社，2004.11