巧妙消元，雨扫梨花

刘琴

二元一次方程组的解法是在“消元”的思想下进行的.对于一些特别的二元一次方程组，它的解法也有些特别，这些解法会使问题的解决变得简单，过程充满乐趣，解法富有新意，在解题过程中，能给人以启迪，使思维得到升华.现举例阐述如下：

一、参数换元，简化运算

例1 解方程组

思路点拨：由方程（2）可知，设x=2k，y=3k，则可用一个参数替换两个变量与，从而达到简化运算的目的。

解：由（2）可知，设=k，

于是x=2k，y=3k，把它们代入（1）得

6k+12k=36，∴ k=2，∴ x=2k=4，y=3k=6

∴原方程组的解为.

二、消去常数，另壁蹊径

例2 解方程组

思路点拨：容易观察方程组中的两个常数互为相反数，不妨采取消去常数的方法一试.

解：（1）+（2）得：3x+3y=0

∴ x+y=0……（3），将（2）-（3）得x=108，

把x=108代入（3）得y=-108，

∴原方程组的解为.

三、整体代入，总揽全局

例3 解方程组.

思路点拨：先将方程（2）变形为或，再把看成一个整体代入变形后的方程。

解：将方程（2）变形为，

把代入（3）得：，

再把代入（1）得：，

∴原方程組的解为

四、整体加减，减少系数

例4 解方程组

思路点拨：此题若用普通的代入、加减消元法，则计算繁琐，任务量大，观察方程组中系数特点，不难得到两个方程中未知数前的系数相差为1，可把方程（1）、（2）视为一个整体进行加减.

解：（1）-（2）得：……（3），

（3）×2006得：，

（4）-（2）得：，∴y=，

再把y=代入（3）得，

∴原方程组的解为

五、重复加减，快捷求解

例5 解方程组

思路点拨：形如的二元一次方程组

可以直接将两个方程相加减，反复两次，可巧妙地迅速求解.

解：（1）+（2）得：

（1）-（2）得：；

（3）+（4）得：（3）-（4）得：

∴原方程组的解为

利用上述方法求解二元一次方程组时，犹如雨扫梨花一样，显得干净利落，非常有效。