反三角函数等式arcsin玿+arccos玿=π2的几种证法

摘要：通过对等式arcsinx+arccosx=π2（x∈[-1，1]）的几种不同证明方法，以开拓学生们的解题思路。

关键词：反三角函数；单值函数；等式

在反三角函数的教学中，对等式arcsinx+arccosx=π2（x∈[-1，1]）的证明往往是以作业题的形式出现，对于学生来说是一个难点。下面给出几种证明方法，以培养学生的创新思维能力，供大家参考。

证法1将对该等式的证明转化为对等式

arcsinx=π2-arccosx（x∈[-1，1]）的证明。

∵x∈[-1，1]

∴arcsinx和π2-arccosx都是区间-π2，π2内的角。

sin（arcsinx）=x

sinπ2-arccosx=cos（arccosx）=x

再由正弦函数在区间-π2，π2内是单值函数知：arcsinx=π2-arccosx

也就是：

arcsinx+arccosx=π2。

这是比较常见的一种证法。

证法2在同一个坐标系中作出函数y=arcsinx和y=arccosx的图象。

设y=arcsinx的图象是曲线AOB，y=arccosx的图象是曲线CMD（如图1）。显然这两条曲线是关于直线y=π4对稱的。

在曲线y=arcsinx上任取一点P（x，arcsinx），过P作y轴的平行线，它与直线y=π4的交点是K，与曲线y=arccosx的交点是N（x，arccosx）。

∵|KN|=|KP|

且|KN|=arccosx-π4，

|KP|=π4-arcsinx

∴arccosx-π4=π4-arcsinx，

也就是：

arcsinx+arccosx=π2（x∈[-1，1]）。

证法3如图2，同图1先在同一个坐标系中作出函数y=arcsinx和y=arccosx的图象，分别是曲线AOB和CMD，再把曲线CMD向下平移π2个单位，得到曲线C′OD′，它对应的函数式为y=arccosx-π2。

显然曲线AOB和曲线C′OD′是关于x轴对称的。

在曲线y=arcsinx上任取一点P（x，arcsinx），过P作y轴的平行线，它与x轴的交点是N，与曲线y=arccosx-π2的交点是K（x，arccosx-π2）。∵|PN|=|KN|，

且|PN|=-arcsinx，

|KN|=arccosx-π2。

∴-arcsinx=arccosx-π2。

也就是：

arcsinx+arccosx=π2（x∈[-1，1]）。

证法4利用导数来证明

设f（x）=arcsinx+arccosx，|x|≤1则f′（x）=11-x2-11-x2=0

根据导数的性质知f（x）=C（C是常数）

那么C=f（0）=arcsin0+arccos0=π2

也就是：

arcsinx+arccosx=π2（x∈[-1，1]）。

作者简介：朱双荣，湖北省武汉市，武汉船舶职业技术学院公共课部。