由一道题引发的对机械能守恒定律的再思考

摘要：在高一的教学过程中，发现学生对机械能守恒定律的理解还是存在一定的困难，学生在学习过程中也有很多难点及难区分点，本文由苏教版《物理学习评价手册》必修二第十二课时机械能守恒定律（2）的自我评价习题上一道题目引发对机械能守恒定律的理解和思考，分别从以下方面进行了阐述：1. 机械能守恒定律的应用条件中弹力做功的正确理解；2. 对系统机械能守恒的理解；3. 区别机械能守恒定律和动能定理。

关键词：机械能守恒定律；动能定理；弹力

苏教版《物理学习评价手册》必修二第十二课时机械能守恒定律（2）的自我评价习题上有这样的一道题：

在一根细棒的中点C和端点B，分别固定两个小球，这两个小球的质量和体积完全相同的，棒可以绕另一端A在竖直平面内无摩擦地转动，小球的质量为m，棒长L，棒的质量不计，若从水平位置从静止开始释放小球，求两球到达最低位置时线的速度的大小。

有同学对此题提出以下解法：

设AB=L，AC=L2，到最低位置时C球和B球的速度大小分别为v1和v2。在其运动过程中只有重力对小球做功，C球有12mv21=mgL2，v1=gL；B球有12mv22=mgL，v2=2gL。可以得到每个球的机械能都是守恒的。

此题可以用很直观的圆周运动的知识判断解法的对错：在转动过程中，B，C两球角速度相同，v=wr，B球半径是C球半径的两倍，所以v2=2v1，与上述答案不符，因此解法错误。

1. 机械能守恒定律中弹力做功

在这位同学的解法中，谈到B，C两球机械能守恒，那么B，C两球机械能是否守恒呢？答案是否定的，B，C两球在运动的过程中，不仅有重力做功，杆对B，C的弹力也在做功。

2. 系统机械能守恒的几点见解

系统间作用力通常分为三类：

（1）刚体弹力：比如斜面作用产生的作用力也是一种弹力、轻绳在作用过程中沿着绳子收紧方向也有一种弹力、轻杆在作用过程中也会产生的一种弹力等。这些弹力做功，只是在相互作用的两物体，使机械能进行等量的相互转移，但系统的总机械能守恒。

（2）弹簧弹力：如果在题目中涉及有弹簧，系统中的弹簧的弹力做的是弹性势能，不影响总的机械能的变化，系统的总机械能守恒。

（3）除了以上两种，其他力所做的功：比如爆炸过程中，炸药产生的冲击力、系统中摩擦力的功等。这种情况下，并不是单纯的机械能转化，而是参与了其他形式的能，因此不再守恒了。

综上，机械能守恒的表达式有以下三种：

1. 初状态和末状态的机械能分别为E1，E2则E1=E2，也可写成：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2。

2. 在机械能守恒的过程中，势能的变化为ΔEP，动能的增加量为ΔEk，则ΔEP=ΔEk。

3. 若系统中除地球外还有两个物体A、B，则A减少的机械能等于B增加的机械能，即ΔEA减=ΔEB增。

上述例题中杆对两个小球的弹力所做的功，使机械能在两个小球发生了等量的转移，所以，本题中两小球和轻杆以及地球构成的系统机械能守恒。那么，利用机械能守恒定律的表达式的第一种形式，有：

在初始位置，B，C两球静止，其动能都为0，选定B球在运动过程中所能达到的最低点所在面为零势能面，则B，C两球所具有的重力势能都为mgL。

系统所具有的机械能为E1=EA初+EB初=2mgL

当轻杆摆到最低点时，C球和B球的速度大小分别为v1和v2，B球和C球具有的动能分别为12mv22和12mv21，B球的重力势能为0，而C球的重力势能为12mgL。

此时系统所具有的机械能为E2=EA末+EB末=12mv21+12mv22+12mgL，

由机械能守恒定律可知E1=E2，因此2mgL=12mv21+12mv22+12mgL

3. 对机械能守恒定律和动能定理的比较

在本题中，也可以利用动能定理进行求解。动能定理是这样描述的，力在一个过程中对物体所做的功，也就等于物体在这个过程中动能的变化，那么，此题中，在B球和C球所构成的系统中，弹力所做的总功为0，整个过程中只有重力做功，合外力所做的功就为重力所做的功，即：W合=WG=WBG+WCG=mgL+mgL2

动能的变化量为12mv21+12mv22

利用动能定理W合=ΔEk，有mgL+mgL2=12mv21+12mv22

再根据v2=2v1，也可算出结果：

v1=15gL5，v2=215gL5

参考文献：

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[8]黄小春，罗健，胡冬梅.叩问课堂法理促进深度反思——以“机械能守恒定律”教学行为反思为例[J].物理教学探讨，2017，35（10）：5-7+11.

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作者简介：马文洋，江苏省南京市，江苏省江浦高级中学。