初中数学“组合变式”的探究与实践

2018-03-22◎李贞

上海课程教学研究 2018年3期

关键词：变式平行四边形结论

◎ 李贞

“组合变式”是对数学教学中变式的发展研究。本文阐述了“组合变式”产生的背景，同时列举了“组合变式”的两个具体课例。实践证明，“组合变式”对于解决复杂多变的数学问题，帮助学生自主建构完整的学科体系、提高数学的学习力有着积极的作用。

一、“组合变式”的设计背景

变式教学是在不断发展变化的，“组合变式”的雏形已经显现出它的生命力。2012年笔者受新加坡国家教育部的邀请，对新加坡的全体数学教师进行了为期两周的培训，其中包括变式教学的培训。

（一）变式教学发展的诉求

以往，一般教师在对习题进行变式时，比较多的是单一地改变条件或结论，或者将问题中的条件和结论互换，形成新的问题，这样单一的变换能在一定程度上唤起学生的求知欲，但是对于问题的本质以及各条件、结论之间的内在关联，学生并没有整体的认识。而在概念课教学中，一般教师往往按照书本流程进行教学，对各定理逐一进行讲解，只注重单一定理的教学，不考虑定理和定理之间的联系，对于定理的整体性认识较弱。经过一堂课或一个阶段的学习，学生体会不到知识之间的内在联系，理解不深刻，影响了学习质量。

（二）“组合变式”的内涵阐释

在初中数学教学中，有相当一部分的数学概念、数学问题的结构由若干个独立的条件和结论组成，而将问题中的条件和结论拆开，看作是确定这一问题的若干个并列的元素，再将其中的几个元素作为已知条件，其余元素作为结论，可以衍变出许多互相关联的问题。我们称这种变式方法为“组合变式”。

（三）“组合变式”的研究价值

笔者认为，“组合变式”的研究具有一定的实践和理论价值。具体体现在：通过“组合变式”可以构建复杂多变的问题系列；在学生的知识建构中可以起到积极的作用；可以与数学学习的本质整合起来，提高学生的学习质量。

笔者长期以来运用“组合变式”进行课堂教学，发现这一方法在整个初中数学中有较大的普适性。例如，“平行四边形的判定”“相似三角形的判定”“垂径定理” “圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”“直角三角形的性质”“直角三角形性质的运用”等，均可用“组合变式”编写教案，组织教学。于是笔者从中选取两个具有代表性的课例作为研究的载体，以此来说明怎样通过教师教学方法和教学策略的改变，促进学生学习方法和思维方式的改变，以达到提高学习效率的目的。

二、“组合变式”在几何概念课中的实施

如果一个命题的条件和结论的个数和在3个或3个以上，那么相应的这类概念、定理的教学就可尝试采用“组合变式”进行教学。如果问题条件或结论的独立元素总数是n，能确定结论成立的元素个数是m(n＞m) ，那么可以组合衍变出Cmn个问题。教师可以根据任教班级学生的数学学习能力，选择其中若干个问题组织课堂教学。下文以“平行四边形的判定”一课为例，具体说明“组合变式”在几何概念课中如何实施。

“平行四边形的判定”是一节几何概念课，教材上安排了两课时。笔者第一次上这堂课就意识到：平行四边形的判定与在这之前遇到的特殊图形的判定不一样，例如等腰三角形、直角三角形只要把性质定理反过来就是了，不存在“对不对”“还有没有”的问题；第二次上这堂课，把这几条判定定理做了一番梳理，让学生体会出这几条判定定理与平行四边形性质之间的关系；第三次上这堂课之前深入地思考了这些问题，把“对边平行”“对边相等”“对角相等”“对角线平分”作为单独的条件，两两组合，逐一审视。

（一）教学设计过程

1. 列出组合清单

平行四边形的两组对边平行、两组对边相等、两组对角相等，共六个条件。反过来，对于一般四边形，从其中的两个条件出发，是不是都能推出这个四边形是平行四边形呢？

图1 组合图示

这15种情况可以分为以下3种类型。

（1）（图1中双实线所示）平行四边形的定义（两组对边分别平行），或容易转化为平行四边形的定义（一组对边平行且一组对角相等）；

（2）（图1中单实线所示）真命题（图1 中 1、2、3）；

（3）（图1中单虚线所示）不能确定是否为真命题（一组对边平行且另一组对边相等，一组对边相等且一组对角相等）。

2. 确定解决方案

对真命题，经过证明确定其正确性，得到判定定理1、2、3，这是本课的重点所在。不能确定是否正确的命题，如果能够举出反例（即符合条件但不能推出是平行四边形），那么该命题为假命题，这是本课的难点所在。对于“一组对边相等且一组对角相等”举反例比较困难，下面提供两个反例做参考。

图2 反例图示

3. 开拓延伸空间

考虑将“对角线平分”也纳入并列的条件，又有哪些情况？如图3所示。

图3 “对角线平分”纳入并列的条件情况示例

根据上文，做类似的分析如下。

（1）从“OA=OC且OB=OD”出发，能推出图形是平行四边形，得到判定定理4；

（2）从“OA=OC且AB//DC”出发，能推出图形是平行四边形，但不纳入判定定理；

（3）从“OA=OC且AB=DC”出发，属于“边边角”，不能推出图形是平行四边形；

（4）从“OA=OC且∠A=∠C”出发，能否推出图形是平行四边形？

（5）从“OA=OC且∠B=∠D”出发，能否推出图形是平行四边形？

进一步思考可知（4）是假命题，反例如图4所示。

图4 反例图示

（5）是真命题，证明思路见图5（反证法）。

图5 反证法图示

（二）课堂教学行为的变化

在课堂教学实践过程中，笔者特别关注以下几个环节。

1. 基于已有平行四边形的性质的认知准备，学生积极猜测判定一个四边形是平行四边形的条件

在学生回顾了平行四边形的定义和性质后，教师鼓励学生利用已有的知识大胆猜测来判定一个四边形是平行四边形的可能条件。相应的教学片段如下。

师：刚才我们一起回忆了平行四边形的性质，并结合图形用数学符号一一罗列。我们把这些条件看作是确定图形的条件，请你思考一下，在这些条件里，选择尽可能少的条件判定这个四边形是平行四边形。

生：AB=CD，AD=BC；∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD；AO=CO，BO=DO。

师：还有吗？

生：AD=BC，AD//BC；AD=BC，AB//CD。

生：还有AD//BC，∠ABC=∠ADC ；AB//CD，∠BAD= ∠BCD 。

生：我觉得刚才他说的两种情况是重复的。

师：的确，这两种情况都是一组对边平行，一组对角相等。还有别的组合吗？

生：我不知道这个组合能不能判定这个四边形是不是平行四边形。

师：没事，说说看。

生：我觉得还有AD=BC，∠ABC=∠ADC；AD=BC，AO=CO；AD//BC，AO=CO；∠ABC=∠ADC ，AO=CO……

在上述片段中，教师让学生在确定平行四边形的条件中，选择尽可能少的条件来判定一个四边形是平行四边形，而不是给出书本上的四个判定定理，逐一证明。这样，学生会从条件的组合出发，得出更多的猜想，这里有真命题，也有假命题。由于这是学生自己猜想得出的，因此诱发了他们迫切的证明其真假的愿望。

2. 学生自主探究，验证命题

学生在八年级第一学期已经学习过要证明一个命题是真命题需要严格论证，而要说明一个命题是个假命题只要举出一个反例。以下教学片段是学生小组讨论后的全班交流。

师：请说说你们的想法。

生：我们小组举了个例子说明“AD=BC，AB//CD”这两个条件不能判定四边形ABCD是平行四边形。

师：噢？请拿好工作单上台展示给大家看。

生：我画了一个等腰梯形，这个等腰梯形AB//CD，AD=BC，但是这不是平行四边形。

师：非常好！我们要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例就可以了。

生：老师，我们小组觉得“AD=BC，∠ABC=∠ADC ”也不能判定四边形ABCD是平行四边形。

师：嗯，说说你们的想法。

生：联结AC，必须要证明“三角形ADC和三角形CBA全等”，但是这里证明全等的条件是SSA。

师：有道理噢，但是我们不能因为证不出来就说这是个假命题，还是需要像前一个小组一样举出一个反例来……

上述片段是学生对自己得出的错误命题的反驳。一组学生对于“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”这一猜想找到了“等腰梯形”这一反例，成功地将其反驳。另一组学生在证明“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”时出现“边边角”而无法证明其正确性，认为这是一个假命题。此时教师出场，引导学生一起寻找反例。

在以往的教学中，我们往往关注知识的传授与获得。例如，在本节课的教学中，会把学生是否掌握平行四边形的判定定理作为教学成功与否的唯一标准。而“组合变式”把所有的条件和结论都看成是“平等的”因素，对这些因素做各种不同的组合，一部分作为条件，另一部分作为结论，大大扩大了逆命题的范围，丰富了几何定理的内涵。本课中涉及的几何命题有二三十个之多，必须迅速地判定其真伪，并迅速地确定处理方法，是对学生逻辑思维能力和转换判断能力的全面考察。这种能力具体表现为三个方面：一是关联组合能力，二是逆向思维能力，三是推理论证能力。因此在这节课中笔者更关注学生的学习方式的转变和学习能力的提高。“组合变式”拉近了学生与学生之间的距离，增强了学生间相互交流的机会，形成了合作学习的课堂氛围。

三、“组合变式”在习题课中的运用

在初中数学中绝大部分的习题都是由若干个条件和结论组成的（条件和结论的个数总和是三个和三个以上），这类习题也可以用“组合变式”尝试教学。具体操作方法是：将题目中的条件和结论看作是确定这一问题的若干个并列的元素，选取其中若干个元素作为已知条件，其余元素作为结论，组合变化出一系列问题。当然，如果题目中条件与结论的总个数太多，可选择其中个别元素作为大前提，固定不变，让其余元素参与组合变换。在组织教学时，若学生的学习能力较强，可跟学生讲清“组合变式”的规则，让学生参与改题编题。下面笔者以“直角三角形的性质（第三课时）”一课为例，具体说明“组合变式”在习题课中如何实施。

“直角三角形的性质第三课时”是一节习题课。这节课是运用直角三角形的相关性质解决数学问题，课本安排了两个例题。一般在课堂教学时教师会先教这两个例题再完成书后练习，有时候也会根据班级学生数学学习能力增加1—2个习题。那么究竟增加什么练习？究竟怎样把书本上的例题用足、用透？为此，笔者对这两道例题以及和它们相关的练习题放在一起进行分析，发现它们的条件和结论穿插交替出现，可以看作几个并列的元素，将其中的一个元素作为结论，其余元素作为条件，都能构成真命题。以下两个例题是介绍如何灵活运用 “组合变式”的。

例题1 如图6所示，在三角形ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延长线于点E，点F是 AB的中点。求证：EF//AC。

图6 例题1图示

这道题可以看作由① AD平分∠BAC ，②BE⊥AD，③ 点F是AB的中点这三个条件和④ EF//AC这个结论组成，把这三个条件和一个结论看作并列的四个元素，取其中三个作为条件，第四个作为结论，可以组合出四个不同的问题。例题1的原题是①②③推得④，其余三个问题（①②④推③、①③④推②、②③④推①），可以证明这三个都是真命题。这样一来，例题1运用“组合变式”方法就可变出四道题，在解决这四个问题的过程中，不仅仅运用了直角三角形的性质，而且使学生更进一步认识了图形的本质，条件与条件之间的关联。

例题2 如图7所示，在三角形ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、 D分别是AB、MB的中点。求证：CD⊥AB。

图7 例题2图示

可以用研究例题1的方法研究例题2。这道题可以看作“在三角形ABC中∠ACB=90°”这个大前提下，由①∠A=30°，② M是AB的中点，③ D是MB的中点这三个条件和④CD⊥AB这个结论组成，同样地把三个条件和一个结论看作并列的四个元素，取其中三个作为条件，第四个作为结论，可以组合出四个不同的命题。例题2的原题是①②③推得④。其余三个命题也都可以证明是真命题，由于已有例题1运用这一研究方法的活动经验，因此例题2完全可以放手让学生自己对四个元素进行组合得出变式题，然后尝试解决。

在完成例题2的四个变式题之后，还可以将例题2中的部分条件和图形中的部分线段隐去，成为以下这道开放题3，在解决这一问题时再次提升对图形本质的认识。

开放题3 如图8所示，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，________________ 。求证：∠A=30°。请在横线上填写一个条件（必须是关于图8中两条线段之间数量关系的条件）。

图8 开放题3图示

四、结论与反思

经过笔者十多年对变式教学的探索，从习题变式、单一条件与结论互换的变式，逐步形成问题系列的“组合变式”。相对于一般的变式方法，“组合变式”可以做到更具规范性、更有条理性，变式的容量是有计划的、可预测的。这一教学方法大大提高了教学效能，从中得出以下三个方面的结论。

（一）“组合变式”的适用范围广泛

变式教学在初中数学课中已经得到普遍的推广和运用。经过多年的课堂教学实践，笔者认为，“组合变式”比以往单一的传统的变式具有更强的普适性和目的性。这一教学方法可广泛运用于初中数学概念课、习题课，且适用于不同基础的学生及不同类型的学校。除本文前面提到的两堂课之外，笔者对九年级第二学期的“垂径定理”、八年级第一学期的“直角三角形性质2的两个推论”都采用这一方法进行了教学，而且在不同的范围内做过公开展示。实践证明，在这样的思维训练下，学生对数学问题的理解和认识水平、分析和解决问题的能力都有大幅度提高。

（二）“组合变式”推动教学方式的改变

“组合变式”给学生提供了一个较为完整的知识整体结构和完整的问题系列，有利于学生对知识做全面深入的理解，并形成合理的、本质相关的认知结构。一旦将“组合变式”运用于数学课堂教学，问题的思维深度、问题的变式容量大大增加，这就迫使教师改变一讲到底的教学方式，而采用合作学习的方式。也迫使学生改变原有的被动接受的学习方式，主动构建过程体验，改变了被动学习的习惯。因此，教学方式的转变为“组合变式”创造了有利条件，“组合变式”进一步推动了课堂教学的转型。