Metamaterial参数提取算法与修正

陈沛林，蔚保国，郑晓冬

(1.卫星导航系统与装备技术国家重点实验室，河北 石家庄050081；2.中国电子科技集团公司第五十四研究所，河北 石家庄 050081)

0 引言

Metamaterials(MTMs)人工电磁材料，也称“超材料”，可宽泛定义为由人工实现的等效均匀的电磁结构，这种结构具有自然界不易实现的特殊属性。等效均匀结构是由很多单元(cell)组成的结构，如果单元满足了等效均匀化条件，那么单元组成的整体结构对于导波波长的电磁波来说可以看作一个“真实的”材料。该材料的电磁特性由其本构参数(等效介电参数和等效磁导率)来描述，已知结构的本构参数才能从结构尺寸上对其进行控制和优化。因此准确地获取Metamaterial的本构参数，具有重要意义。

S参数提取算法是提取材料本构参数的一种有效方法。该基本理论来源于Nicolson-Ross-Weir(NRW)方法[1-2]。Caloz等人对于CRLH TL的等效电路参数提取过程提出了一种方法[3]，这种方法把电容和电感分开求解，得到LC参数。该算法比较方便，但忽略了分布参数元件之间的耦合效应。X.D.Chen针对Metamaterial提出了具有鲁棒性的提取方法[4]。Smith等人提出了对于非均匀介质的参数提取方法[5]。S.G.Mao等人针对微带线实现方式的人工材料改进了NRW参数提取方法[6-7]，这种方法将CRLH TL作为一个整体来做参数提取和电路建模。

S参数提取法由于只关心端口特性，适用于介质厚度较小的情况。但是对于介质厚度与波长相比拟的情况，该算法存在多分支问题。S.G.Mao提出的等效电路是针对平衡情况下的参数提取，此情况下CRLH TL结构是被当做均匀互易的媒质的，而且在每个频点都用到了平衡状态下传输线的条件。然而实际中CRLH TL可以是非对称不平衡结构的，平衡条件不能普遍适用。

本文基于S参数反演算法提出了修正算法，对超材料中复合左右手传输线结构、非对称结构以及S参数结果多值情况下的提取过程进行了联合修正，并对该算法的因果性进行了分析。

1 各向同性S参数提取

根据等效介质理论，对于周期加载的人工材料单元，当单元周期l远小于导波波长λg时，可以近似用等效介电常数εeff和等效磁导率μeff来描述。复合左右手传输线(CRLH TL)的路结构中的电磁波传播模式为准TEM模，而开口谐振环和细导线的场结构中传播模式为TEM模，因此，可以将时间因子定义为e-iωt。为了表示方便，在厚度为d的人工材料单元中，定义传播因子p，

p=eik0nd，

(1)

式中，k0为自由空间波数；n为折射率，与等效介电常数εeff和等效磁导率μeff的关系为：

(2)

式中，εeff=Re(εeff)+jIm(εeff)；μeff=Re(μeff)+jIm(μeff)；Re(·)和Im(·)分别为实部算子和虚部算子。

S参数定义如图1所示。

图1 S参数定义

根据文献[5]，S参数与等效波阻抗Zeff和传播因子的关系为：

(3a)

(3b)

(3c)

由式(3)反推Zeff和p，得

(4a)

(4b)

(4c)

首先，在式(4b)反推折射率n的过程中，公式两边取对数时存在多值性问题。但是，若工作波长远大于介质厚度d时，n的解就不存在多值性，可以直接由式(4b)反推得到。一般情况下，介质是无源的，为了保证因果性，可以由以下条件限定Zeff和n，消除式(4a)中±号带来的多值性，即

Re(Zeff)≥0， Im(n)≥0。

(5)

由本构关系可以求得等效介电常数εeff和等效磁导率μeff，

εeff=n/Zeff，μeff=n·Zeff。

(6)

至此，对于介质厚度d远小于工作波长而且介质在波传播方向上对称的情况，上述方法已经能够正确地提取到S参数。如果想证明这种方法的有效性，可以用该方法计算1946年Kock[8]提出的球形单元，并与解析式的计算结果相比较[9-10]。如果考虑双各向异性的介质，则需要在不同方向上采取类似的提取过程[11]。

如果计算平面微带线实现的复合左右手传输线结构，则需要对上述方法进行修正；对于介质厚度d较大的情况下，需要对折射率的取值做去分支处理；对于非对称结构也应当加以修正。下面对S参数提取法的修正做进一步讨论。

2 S参数提取算法修正

2.1 非对称修正

假设单元结构是无限重复的。式(4c)中S11那一项对应于结构是对称的情况，即单元结构是等效均匀的而且是可互易的。根据文献[5]，对于非对称结构，即S11≠S22，那么要将式(4c)中S11那一项替换为平均值Sav，

(7)

2.2 去分支修正

反推式(1)得到折射率的表达式为：

n={Im[ln(p)]+2mπ-iRe[ln(p)]}/(k0d)，

(8)

式中，虚部可以由式(5)唯一确定，而实部却由于多分支2mπ(m=0，±1，±2…)存在不确定性。一般在介质电长度较小的情况下不考虑n的实部的不确定性，因为这时n一般不存在多值性。换句话说，由S参数提取算法计算得到的值在低频微波频段是稳定的(由等效媒质条件d<λg/4，频率大约要小于c/(4d))。然而对于高频微波频段，文献[4]提供了一种很好的去除分支的方法。这种方法借助泰勒展开式，理论依据是介质εeff和μeff的频率色散函数应当是数学上的连续函数，因此折射率n的取值也应当是连续的，所以可以由上一个频点的n的取值来判断下一频点n的取值分支。传输因子p的泰勒展开式为：

(9a)

Δ=in(fk+1)k0(fk+1)d-in(fk)k0(fk)d，

(9b)

式中，频点fk+1是频点fk的下一个频点。简单来说，n可以在起始频率由m=0唯一确定。因为起始频率经常是较低频率，可以保证介质电长度，对于波长来说是非常小的(d<λg/4)。以上对于n在起始频率的取值是一种简化算法，很多算例也证明这种简化是合理的。另外，文献[4]对于如何更严谨地确定n在频率起始的点的取值有更详细的讨论。

要确定折射率n的实部在下一个频点的分支，从函数连续性出发，要使下一个频点的分支m(m=0，±1，±2…)的取值使得下一个频点n的实部Re[n(fk+1)]距离上一频点n的实部最近。这样，就可以唯一确定m的取值。最后发现，最终的计算结果与仿真或者测量得到的S参数结果的精度有关。如果频率间隔太宽，以至于在某些频点的剧烈谐振被忽略，那么就有可能造成算法选择错误的分支，得到不合理的结果。所以，在采用去分支算法时，应当尽量使用小的频率间隔和较小的介质厚度d。

2.3 微带线修正

Metamaterial的微带线实现形式中，微带线的端口面是由介质基板和空气混合填充的，因此需要考虑微带线的空气填充阻抗Z0a。由于从S参数计算的等效阻抗Zeff是归一化的，是相对值，因此需要重新对微带线的空气填充阻抗Z0a进行归一化处理。修正后的相对波阻抗Zeff′为：

Zeff′=Zeff·Z0/Z0a。

(10)

空气填充微带线阻抗的换算公式可选用工程公式[12]，

(11a)

(11b)

式中，D为微带线介质基板厚度；W为微带线宽度；εe为微带线的有效介电常数，这个介电常数对应的介质可以替换微带线的空气和电介质，是等效均匀的介质。

3 算例

通过一般微带线与细导线和开口谐振环的例子，说明修正方法的有效性。

3.1 标准微带线算例

微带线介质基板选择FR4，相对介电常数为εr=4.4，相对磁导率μr=1，厚度1.6 mm，损耗正切0.022。微带线长10 mm，通过AWR Design Environment中的TX-Line计算工具设置该介质基板的微带线的宽度，使P它的端口阻抗为50 Ω的宽度。文献[6]的计算结果可以与本文算法的计算结果做对比分析。

对这段微带线通过仿真计算，提取S参数。将S参数代入到S参数提取算法中，应用去分支和微带线修正，计算结果如图2所示。

图2(a)是没有应用去分支修正的结果，可以看到，在低频时，微带线在电磁波传播方向上的厚度d满足等效介质条件d<λg/4，于是S参数提取算法有效。当频率升高，等效介质条件被打破，d≥λg/4，于是出现折射率n的分支模糊，此时由于没有应用去分支算法，分支选择仍为m=0分支，于是在计算结果上出现了较大幅度的跳变，这样的参数提取结果是不合理的。

图2(b)所示的结果为采用去分支修正的结果，与文献[6]的计算结果吻合。由于选择计算空气填充微带线等效阻抗的公式不同，在最终的计算结果中，得到εeff和μeff幅值可能会有一些微小的误差，但是这些误差是可以接受的。

图2 S参数提取算法采用修正算法前后的结果对比

3.2 开口谐振环(SRRs)和细导线(Wires)算例

为了方便结果对比，本节应用的单元模型设置与文献[5]相同，验证去分支算法的有效性。算例单元与尺寸标注如图3所示，单元结构是一个立方体，边长为2.5 mm，材料为真空，其中的基底材料为FR4，εr=4.4，μr=1，损耗正切0.022。谐振环开口间距均为g=0.3 mm，外环长度w=2.2 mm，环的线宽均为c=0.2 mm，两环间距s=0.15 mm，可算出内环长度为1.5 mm，导体杆的线宽为0.14 mm，所有铜线的厚度均为0.017 mm。电磁波在其中沿x轴正向传播，边界条件设置为2个波端口；电场沿y方向极化，设置y方向上下两平面为理想导电体PEC；z方向上下两平面为理想导磁体PMC。假设Metamaterial单元在xyz三个方向上呈现三维周期性，yz方向上的周期性可以通过设置PEC及PMC来模拟。

图3 算例单元与尺寸标注

波端口的参考阻抗为50 Ω。S参数提取算法的修正仅采用去分支算法。提取结果的如图4所示。

图4 单元的S参数提取得到的等效折射率结果

该结构为典型的左手材料单元结构，在X波段显示出双负特性。对于这样的单个单元，如果不采用去分支算法，得到的计算结果完全相同。说明对于电小尺寸的单元结构，用等效介质条件简化的算法是有效的。但是在简化之前要用该等效介质条件估算结构是否满足该条件(电磁波传播所经过的厚度，在此为w，即w<λg/4)。

下面来计算一个由5个开口谐振环和细导线单元组成的介质板的电磁参数。在y和z方向上同样用PEC及PMC来模拟周期性。考虑到计算机内存的限制，在y和z方向上没有设置相同的介质板来考虑在y和z方向上单元的耦合。这里主要关心的是去分支算法的有效性，所以尽量简化了问题。模型如图5所示。

图5 5个开口谐振环单元组成的人工材料介质板模型

如果在算法中不考虑n的多分支，而直接应用不含去分支修正的S参数提取算法计算，得到的结果是不合理的，会看到折射率n的符号翻转，如图6所示。因为对于这样一个长12.5 mm的结构，大约从6 GHz开始，等效均匀原理的条件已经不再适用，那么没有去分支修正的S参数算法的适用条件也就不满足了。这个预测是与图中显示的折射率实部的跳变相吻合的。

图6 无去分支过程的结果

应用去分支修正的算法结果如图7所示。可以看到，这样的结果避免了折射率n的取值分支的模糊性，消除了符号翻转。虽然由于模型在x方向上具有多个单元，在x方向上各单元的耦合影响了提取结果，表现为结果上微小的扰动，但是这个结果的总体趋势与图5所示的一个单元的计算结果是完全一致的。特别是在几个负折射的特征点上，例如折射率n小于零的起始点与终止点、介电常数的过零点等，都吻合得较好。

图7 5个单元组成的介质板的参数提取结果

4 因果性条件

根据能量守恒定律得到色散媒质的耗散功率W[13]，

(12)

式中，

ε=ε0εeff=ε0[Re(εeff)+j·Im(εeff)]，

μ=μ0μeff=μ0[Re(μeff)+j·Im(μeff)]，

Eω和Hω分别为电场强度矢量和磁场强度矢量。运用|Eω/Hω|2=|μeff|/|εeff|，化简得

(13)

根据因果性，介质是无源的，那么W>0，根据式(13)得到如下条件，

Im(εeff)·|μeff|+Im(μeff)·|εeff|>0。

(14)

要使式(14)成立，那么需要使εeff和μeff中至少有一个大于零。可以验证，经过修正的S参数提取算法得到的εeff和μeff满足式(14)，并不违反熵增加原理。

另外，根据文献[14]，负折射并不完全等同于电磁参数ε和μ同时为负，而只需要满足

Re(n)<0⟹Re(ε)|μ|+Re(μ)|ε|<0。

(15)

所以，Re(ε)<0且Re(μ)<0为Re(n)<0的充分条件而不是必要条件。

5 结束语

本文应用函数连续性与泰勒展开式，同时引入了非对称情况和微带线情况下的修正，补充了去分支修正算法，有效地解决了电长度大的超材料的等效电磁参数提取问题，拓宽了S参数提取法的适用范围。

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