ARIMA乘积季节模型在财政收入预测中的应用

蒋泽迪，程毛林

（苏州科技大学 数理学院，江苏 苏州 215009）

财政收入是衡量一个国家综合经济实力的重要指标之一，是国家制定相关经济政策的重要参考标准之一。对财政收入进行提前预测，有利于国家对未来的财政支出作出更加合理的预算，有利于国家制定与未来经济走势更加吻合的经济财政政策。国家财政季度收入是随着时间变化的一组随机数字序列，序列的整体变化呈现一定的规律性。因此，可以利用时间序列分析方法，对国家财政季度收入建立模型，利用建立的模型对未来的财政季度收入进行预测。

文中介绍了ARIMA乘积季节模型的基本知识，通过乘积季节模型对2004年第一季度至2016年第三季度的中国国家财政收入的季度数据进行建模，利用建立的模型对未来国家财政的季度收入进行预测，得到了未来国家财政季度收入的预测值，可以为国家制定合理的财政政策提供一定的参考。

1 ARIMA乘积季节模型结构与建模步骤

ARMA模型是由美国学者博克斯（George Box）和英国统计学家詹金斯（Gwilym Jenkins）共同建立的，也称为博克斯-詹金斯法，简称B-J法[1]。ARMA模型主要的组成部分包括了AR自回归模型与MA移动平均模型。

1.1 ARIMA 模型[2－3]结构

如果时间序列{Yt}是一个非平稳序列，通过对其进行d阶的差分运算，可以使其成为一个平稳的时间序列，那么就称{Yt}是一个具有阶p，d，q的求和自回归移动平均模型（ARIMA），模型的结构为

其中，▽d=（1-B）d，B 为后移算子，BYt＝Yt－1，▽为差分运算，▽＝（1-B），d 为差分阶数，Φ（B）＝1-φ1B-φ2B2-…-φpBp，φ1，φ2，…，φp为自回归系数，Θ（B）＝1-θ1B-θ2B2-…θqBq，θ1，θ2，…，θq为移动平均系数，E（εt）＝0，Var（εt）＝σt2，∀s≤t，E（Yt·εt）＝0。

1.2 乘积季节ARIMA模型[4-5]结构

季节性时间序列的典型特征主要表现为在时间间隔为周期长度S的两个时间点上的随机变量有相对较

其中，D 是非负整数，▽SD=（1-BS）D，S 为季节性周期，D 为季节性差分阶数，▽S=1-BS为季节差分算子，U（BS）=1-Γ1BS-Γ2B2S-…-ΓPBPS，Γ1，Γ2，…，ΓP为季节自回归系数，V（BS）＝1-H1BS-H2B2S-…-HQBQS，H1，H2，…，HQ为季节移动平均系数。

如果假设 εt是 ARIMA（p，d，q）模型，那么（1）式可以改写为

称（2）式为乘积季节 ARIMA 模型[2]，其中，Φ（B）＝1-φ1B-φ2B2-…-φpBp，U（BS）=1-Γ1BS-Γ2B2S-…-ΓPBPS，▽d=（1-B）d，▽SD=（1-BS）D，Θ（B）＝1-θ1B-θ2B2-…θqBq，V（BS）＝1-H1BS-H2B2S-…-HQBQS。

1.3 建模的基本步骤

（1）数据的获取：通过国家统计局网站获得2004年到2016年的国家财政收入的相关数据，经过计算和处理得到2004年第一季度到2016年第三季度的国家财政收入的季度数据，建立财政收入的时间序列；

（2）数据的平稳性检验及处理：利用ADF单位根检验的方法，对时间序列进行单位根检验，确定序列是否为平稳的时间序列，如果序列是非平稳的时间序列，则需要对原序列进行普通差分和季节差分[6]，使其成为平稳的时间序列；

（3）模型的识别与建立：利用Box-Jenkins方法对乘积季节模型的阶数和模型的参数进行估计，通过观察时间序列的自相关、偏自相关函数的截尾或者拖尾特性，确定模型的参数p、d、P、D；

（4）模型的检验与诊断：对建立模型的残差序列进行诊断，判断残差序列是否是白噪声序列，如果残差序列不是白噪声序列，则需要对已经建立的模型进行修改，重新建立模型；

（5）预测：利用已经建立的模型对序列在未来某个时刻的取值进行预测，比较预测值与实际值的相对误差[7－8]，如果相对误差小于5%，则说明已经建立的模型的预测精度比较高，对未来的预测值比较准确。强的相关性。如果时间序列{Yt}是一个季节性时间序列，关于{Yt}的季节性模型结构为

2 模型的建立

2.1 数据来源

文中的财政数据来源于中国国家统计局网站，通过对历年财政收入（亿元）的数据进行计算与处理，得到了2004年第一季度到2016年第三季度的中国国家财政收入的51个季度数据，将51个季度数据构成的时间序列记为X。

2.2 数据的平稳性检验和处理[9]

通过软件Eviews8.0对数据的平稳性进行检验，将由2004年第一季度到2016年第三季度的中国国家财政收入的51个季度数据所构成的时间序列X导入到Eviews8.0[10－11]中，对序列X做对数处理，记为Y=log（X），生成新的序列Y，对序列Y作出时间序列折线图（图1）。通过对Y序列折线图的观察，可以发现序列Y具有趋势性和季节性波动。采用ADF单位根检验的方法对序列Y进行平稳性检验（图2），通过观察可以发现，检验t统计量的值为-2.729 691，大于显著性水平为5%的临界值-2.928 142。因此，认为序列Y存在着单位根，是非平稳序列。

图1 Y序列的时间序列折线图

图2 Y序列的ADF单位根检验结果

所以，下面对序列Y做一阶差分处理，记为DY，对DY采用ADF单位根检验的方法进行检验，如图3。可以观察到t统计量的值为-3.210 999，小于显著性水平在5%的临界值-2.928 142，对应的概率为0.025 8，小于0.05，所以认为序列DY不存在单位根，是平稳的序列。通过对DY的自相关和偏自相关分析图（图4）的观察，可以发现，序列DY的趋势基本消除，但季节性依旧存在。

为了消除序列DY的季节性影响，需要对序列DY做一阶季节差分，记为SDY，绘制序列SDY的自相关和偏自相关分析图（图5）。由图观察发现，序列SDY的季节性基本消除，采用ADF单位根检验的方法对SDY进行单位根检验（图6）。从图6中可以看出，统计量t的值为-5.367 031，小于显著性水平1%的临界值-3.592 462，对应的概率为0.000 1，远远小于0.05，所以SDY是平稳序列。

图3 序列DY的ADF单位根检验结果

图4 时间序列DY的自相关和偏自相关图

图5 时间序列SDY的自相关和偏自相关图

图6 序列SDY的ADF单位根检验结果

2.3 模型的识别与建立

笔者发现序列Y经过一阶差分和一阶季节差分之后，序列的周期性和季节性基本消除，所以d=1，D=1。由图5可以知道，s=4的时候，偏自相关系数显著不为0，所以选择P=1。自相关系数显著不为0，所以选择Q=1，初步判断ARIMA乘积季节模型为（p，1，q）×（1，1，1）4。 根据对图 5 关于 SDY 的自相关和偏自相关图的观察，可以发现SDY的自相关和偏自相关图都是拖尾的，结合ARMA（p，q）模型定阶的基本原则，主要考虑的模型[12－13]为 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4，ARIMA（4，1，3）×（1，1，1）4，ARIMA（3，1，3）×（1，1，1）4。 模型选择之后，就要对选择的模型的参数进行显著性检验，并且根据AIC准则选择最优模型。三个模型的参数估计结果分别如图7，图8和图9，比较三个模型的参数检验结果，可以发现模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4为最优模型，AIC=-2.795 602为最小的，SC值也比较小，R2值达到了最大，所以选择第一个模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4是合适的。

图 7 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4

图 8 ARIMA（4，1，3）×（1，1，1）4

图 9 ARIMA（3，1，3）×（1，1，1）4

根据图 7 可以得到模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4的参数估计，从而得到模型的拟合方程为

2.4 模型的检验与诊断[14-15]

通过模型的识别与建立，笔者选择了模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4作为最佳模型。 现在对模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4进行残差检验，如果残差为白噪声序列，说明已经建立的模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4包含了原始序列的所有趋势，提取了原始数据中所包含的信息，则模型通过适应性检验。如果残差序列不是白噪声序列，那么说明模型还需要改建，需要重新进行模型的识别和建立。对模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4的残差序列进行检验，作出模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4残差序列的自相关和偏自相关图（图10），如图所示。残差序列的各滞后阶数的自相关系数和偏自相关系数都接近于零；对残差序列进行单位根检验，检验结果如图11。检验t统计量的值为-6.542 360，小于显著性水平为1%的临界值，残差序列为白噪声序列，所以 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4模型通过了残差检验，该模型可以很好的拟合时间序列的变化趋势。

图10 残差序列的自相关和偏自相关图

图11 残差序列的ADF单位根检验结果

表1 财政收入预测数值与实际数值的比较

2.5 预测

通过运用已经建立的 ARIMA （4，1，4）×（1，1，1）4模型进行预测。将预测的数值进行指数变换，即可得到2015年第一季度到2017年第三季度的财政收入季度数据的预测数值，并将预测数值与实际数值进行比较分析，结果如表1所示。同时，通过模型可以得到X时间序列的所有预测值，画出时间序列X的真实值和模型预测值的时间序列图（如图 12）。

通过对表1的观察可以发现，将2015年第一季度到2016年第三季度的预测数值与实际数值进行比较，相对误差都在 5%以内，说明模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4的拟合效果比较好。同时，由图12可以看出X序列的真实数值和预测数值的变化趋势基本一致，预测数值与实际数值基本吻合。所以，文中建立的模型的拟合效果比较好，预测精度比较高。

图12 X序列真实值和预测值

3 结语

通过对2004年第一季度到2016年第三季度的财政收入数据进行时间序列分析，运用Eviews8.0软件进行探究财政收入趋势性和季节性的内在变化规律，建立 ARIMA 乘积季节模型 ARIMA（4，1，4）（1，1，1）4。该模型很好的拟合了财政收入季度数据时间序列的趋势性和季节性，可以在短期内预测国家的财政收入，对政府制定相应的宏观经济政策和财政政策都具有一定的参考意义。

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