让初中生“画”出几何思维

胡昊+赵临龙+霍小莉

【摘要】几何和代数构成初中数学的两大模块，学生学习几何过程中普遍存在思维障碍，如何培养学生的几何思维成为广大数学教师共同的关注点.几何的学习离不开几何图形，就像鱼离不开水一样，图形构成了几何的灵魂，因此，几何思维的培养也同样离不开图形.拟从“画”图这个角度来说明对培养几何直观、分析、发散思维所具有的重要作用.

【关键词】几何思维；几何图形；画图

思维是人脑对客观现实的概括和间接反应，几何思维是以几何图形为符号语言，以对几何对象的直接感知为基础，建构几何知识和解决几何问题的思维过程[1].初中阶段的学生学习三角形、四边形、圆等的性质，内容上由形象到抽象的过渡，使学生产生一系列的思维障碍.如直观感知的缺乏、逻辑的混乱、知识点的运用等，因此，常常听到学生抱怨说几何难学，成为学习路上的拦路虎.笔者认为这是从小学的“了解”几何到初中的“推理”几何的必然过程，需要从几何认识上升到几何推理.在上升中，由于缺乏相应的几何直观思维、分析思维、发散思维，造成几何难学.

本文所提到的画（作）图主要指的是将题目中的文字语言、符号语言转化为图形语言，这种方法是建立在学生对问题的探究和问题转化之上，就像在解答几何题目前，先进行演算的过程.与尺规作图相比较，画图仍然保持着严格的尺规作图方法，但是又体现着由于学生思维的不同而产生几何图形的差异性，可以说根据题目画图是一种不逾矩的创造能力的体现.现根据题目由学生自己画出几何图形的方式，来逐步培养学生的几何思维做以具体的阐述.

一、由“画”复习知识点，夯实几何直观思维基础

几何知识点就像一块块的砖，是进行几何解题的原料，思维就是对这些原料的加工.如何在题中更好地巩固这些知识，笔者认为让学生自己根据题目要求，做出图形是一种有效的方式.

例1 在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE为AB的垂直平分线，连接BD，试说明BD平分∠CBD.

分析 这是与线段垂直平分线知识点相关的一道习题，教师指导学生自己画出图形.在作图过程中严格要求学生用尺规作图的方法做出其中关键线段DE，相应的回顾垂直平分线的做法，并且有利于学生思考与垂直平分线有关的性质.在本题中正是利用已知角度和垂直平分线性质解题的.画出图形（如图1所示）.

学生通过自己的作图，十分明了AD与BD的关系以及∠A和∠DBE、∠CBD的关系，最终得到∠DBE=∠CBD.说明了BD平分∠CBD.

在学生作图的过程中不仅是复习了相关的知识点，而且由学生自己画图，直接在其脑海中留有图形的直观印象，从而更好地使学生能够反应出知识点，并且运用知识点.

二、由“画”引思，促进几何分析思维

对一个问题产生了疑惑，该从哪些角度入手？或者对问题分几类讨论？这样的思考都是有助于分析能力的提高，在几何中也显得尤为重要.

例2 （2015，江苏宿迁中考）在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.

（1）求证四边形BDFC是平行四边形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积.

分析 原题中已经给出了图形，但是作为一道练习题目，还是要求学生自己作图.如图2，3，4所示.

在作图过程中，学生会联系起∠A=∠ABC=90°，为一组同旁内角，由此得到线段AD，BC之间的平行关系，又因为E是DC中点，由此可根据△DEF≌△CEB（AAS），证得EF=EB，由对角线互相平分可证得（1）.

然而此题的难点在于（2），由△BCD为等腰三角形的条件，求平行四边形BDFC面积.在这里学生难以想到，对等腰△BCD按腰长进行分类，即讨论情况①若DC=BC，②若DB=BC，③若DC=DB.

如何恰当地引导学生自己主动意识到分类进行讨论，这道题无疑是培养学生主动分析几何问题很有价值的载体.我们第一步是要求学生自己画出图形，由于AB长并没有给出，因此，图2可宽可窄（如图3，4所示），通过图明显可以使学生观察出①DC=BC，②DB=BC，使学生感知到应该将条件中等腰三角形按其两腰相等进行分类，共产生三种情况.此题还没有完全解决，但是对学生来讲最困难的部分已经跨越了.接下来就是求平行四边形的面积，只需找到合适的底与高即可.部分学生可能对求高存在一定的问题，观察可发现高其实就是AB的长，在求高的计算过程中，我们就会发现刚才的分类讨论有多么的重要.

在引导学生分类时，通过学生自己画图感知得出关键点，不断地使学生分析问题直至得出结论，打破了传统的由教师直接诉之的做法.在这个过程中学生全身心投入到对问题的思索当中，由他们自己所画而所思，由此可见画图是培养学生进行几何分析思维的有效途径.

三、由“画”引变，促进几何发散思维

在几何图形中，如果一个点的位置有所改变，那么最后得到的结论就会有所改变.

例3 在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.讨论DE，DF，AC之间的关系.

分析 在这道题目里面并没有明确指出点D的确切位置，因此，先以顶角为锐角时，等腰三角形做出图如下所示.

其中图5是学生最容易想到的，但是问题并不止于此，当点D在BC左侧时（如图6所示），当点D在BC右侧时（如图7所示）.点D的位置不同，导致最后结果也不同.

情况①：AC=DE+DF；

情况②：AC=DF-DE；

情况③：AC=DE-DF.

在此题中，根据学生自己作图不仅仅得出DE、DF、AC之间的三种关系，而且还会更加生动的使学生得出，点D位置的改变所带来的不同影响.学生已经探讨了等腰三角形顶角为锐角的情况，自然会引发他们思索在顶角为直角、钝角时是否依旧会得出这样的结论呢？向学生所传递出数学的严谨和求真，学生的发散思维得到充分的训练.

如果没有经过学生亲自作图这个环节，那么他们失去的是一次发现的过程，得出的结论只是别人咀嚼過的残羹剩食.

小结 《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：初中阶段的学生应该具备一定的空间想象能力和基本的作图技能，能借助于图形有利于描述和分析问题，通过形象的图形，同时采用数形结合的策略，把复杂的数学问题变得简洁明了.可见图形中蕴含着巨大的宝藏，要达到课标所要求的，首先需要对学生进行几何思维的培养.通过根据题目由学生自己作图能够达到训练几何的直观思维、分析思维以及发散思维，并且通过学生自己动手画图，学生是真正地参与到解题过程中，在画图时不断地读题达到理解题目的目的.当然方法不是唯一的，而且还有适用性，因此，在具体实践环节针对不同的内容、针对不同的学生要选择合适的教学方法，才能展现出有效的教学效果.

（致谢：感谢赵临龙导师对本文提出的有益建议）

【参考文献】

[1]黄红成.几何思维能力培养的教学路径[J].教学与管理，2016（5）：35-37.

[2]安丽雅.初中生几何图形学习困难的成因分析及对策[J].科学大众（科学教育），2014（5）：22，45.

[3]卢英.初中生几何思维水平的发展研究[D].重庆：西南大学，2014.endprint