数学复习课教学设计中的辅助运用

马燕

【摘要】几何画板作为一款教育软件，其强大的动态演示功能能够较好地为学生提供“数学实验”的环境，软件在课堂教学中的恰当运用能够增强学生的数学体验、拓展学生的探究空间，从而引导学生运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）.数学复习课的核心知识需要学生自主建构，数学思想方法需要强化运用，因此，本文以中考复习课“圆”教学设计为例，以具体的教学内容和设计环节为载体，从开放的平台、探究环境以及实验功能几个方面描述了几何画板软件在本节课教学设计中的辅助运用.

【关键词】几何画板；“四能”理念；数学实验；自主探究；复习课

一、运用几何画板的开放平台，创设问题情境

图1

问题情境 如图1所示，已知圆M的圆心在x轴上，与两坐标轴相交于点A，B，C，D，其中B点坐标为（8，0），D点坐标为（0，-4）.想一想，根据已有信息，你能得到哪些结论，其中运用了哪些数学知识？

生：基本图形，如子母直角三角形、等腰三角形.

生：由D点的坐标（0，-4）及圆的对称性，我得到了C点的坐标为（0，4）.

生：我可以计算出圆的半径为5.

师：你是怎么求的？数学依据是什么？

生：连接MD，由勾股定理可以得到OM=3，圆的半径为5.

生：除了可以得到点的坐标外，我还能计算出线段AC的长度以及BC，AC的函数解析式等.

（一）开放性问题情境的设置体现“四能”教学的基本要求

教师给出了这样一个开放性问题，并且给学生提供一定的时间和空间，旨在引领学生回顾旧知，在学生们都感觉到很熟悉的这个图形中尝试发现问题、提出问题.教师充分运用了学生已有的相关知识，以开放式问题为载体，初步引导学生发现问题、提出问题，进而为分析问题、解决问题做好准备，培养了学生的问题意识，有效地建构知识体系.

（二）几何画板软件的辅助功能

几何画板软件朴实无华的界面，体现了以数学内涵为根本，简单易懂的画图操作实现了添加辅助线与还原图形之间的顺利切换，简单的“动态几何”则完成了基本图形的提取，帮助学生实现了基本方法和基本解题策略的巩固.

二、运用几何画板的探究环境，强化核心知识

（一）操作探究，体验方法

图2

探究性问题1 如图2所示，你能在图中找到一点E，使得弧BE的度数是60°吗？说说你的想法.你能确定弦BE所对的圆周角的度数吗？

在探究性问题1中，学生们由等边三角形的性质顺利完成了点E1，E2的确定，但对于弦BE所对的圆周角的度数问题，却出现了漏解.教师通过请不同学生上来在几何画板中将弦BE1所对的圆周角画出来，并提问：“你们找的这些角的顶点有什么特点？这些圆周角的顶点一定要在优弧上吗？”学生们顿悟，角的顶点也可在劣弧上.

（二）规律探究，选择策略

图3

探究性问题2 如图3所示，若点I为圆M上的任意一点，你能尝试探索∠BIC和∠ADC的数量关系吗？

在探究性问题2中，学生们都注意到了分类的问题，分别在圆上取了I1和I2两个点，主动地探索两种情况下角的数量关系.

生：我的思路是将动点I1与D点重合，此时两个角的和为90°，理由是直径所对的圆周角为直角.

师：这个想法很好，先从特殊的位置观察，猜想结论.

生：连接AI1，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠ADC=∠AI1C，从而转化为直径所对的圆周角解决.

师：很好，还有其他的方法吗？大家可别忘了在圆中扮演着圆心角和圆周角之间媒介作用元素是什么？

（学生们说道：“是弧！”）

师：那我们是否可以尝试从弧的角度去解决问题呢？

（教师引导学生感受将问题转化为弧的度数即半圆的度数，解决了此题.）

师：在这些方法中你最喜欢哪个？它们之间有联系吗？

（三）推理探究，体现角度

图4

探究性问题3 如图4所示，若要使过点C的直线l为圆M的切线，需要添加一个怎样的条件，请说明理由.

生：可以添加条件，使得∠DCA=∠CBA，连接CM，可证得CM⊥CD.

师：很好，还有别的方法吗？

生：我是通过倒推的思路，若CM⊥CD，则有△MCO与△MDC相似，可计算出DM的长度，从而确定D点的坐标.

生：因为∠MCO=∠CDM，故可以利用∠MCO的正切值计算出OD的长度.

在强化核心知识的教学环节中，教师分别设置了操作探究、规律探究和推理探究几种类型的探究性问题.通过这些问题的设置，一方面，是让学生主动暴露知识的漏洞和思维的不足；另一方面，也体现了复习课的特征，即构建知识网络的同时理解数学核心知识之间的内部联系，感受分类、转化等重要的数学思想方法，进而把数学基础知识与技能转化为分析问题、解决问题的能力.

① 几何画板较好的画图操作性得到了体现，对于问题1，我们可以在软件中运用相关的功能，像使用圆规、三角板一样方便地完成作图，教师在讲解时可当堂操作，为帮助学生经历观察、归纳等活动创设了良好的几何背景.

② 几何画板可以在图形运动中动态地保持几何关系，如问题2，则可以把“形”和“数”的潜在关系及其变化动态的过程显现在屏幕上，从而引导学生在变化的图形中发现不变的几何规律.

三、运用几何画板的实验功能，尝试经验迁移

拓展性问题 我们已经研究了直线和圆的位置关系，如果我们改变研究的对象， 将“圆”改为“正方形”，你会提出哪些问题？用什么方法开展研究？

生：类比于圆和直线的位置关系，我会研究正方形和直线有哪些位置关系.

师：很好，那你觉得会有哪些位置关系？

生：类比于圆和直线的位置关系，我想会不会也有相离、相交和相切呢？

师：大家如何想这个问题？又该如何研究呢？

生：我觉得可以看正方形和直线的交点的个数.

生：我觉得可以看正方形的中心到直线的距离.

师：大家说得很好，能够由学习“直线和圆的位置关系”的经验出发，提出非常有价值的研究问题，而且还能够设计出类似的研究思路和方法，太了不起啦！请大家课后尝试思考，如果继续改变研究对象，你还会有怎样的想法？

（一）拓展性问题设置体现“四能”教学的深层意义

最后，以“正方形和直线的位置关系”这一新问题进行拓展，这就进一步提供了培养问题意识的契机.我们不难看出，学生们已经具备了研究两种图形位置关系的简单想法.稍加点拨，学生们就會尝试将这些研究方法运用在新的研究对象上，这种数学基本活动经验的迁移对于培养学生的整体逻辑思维是大有裨益的.

（二）几何画板软件的实验平台

学生可以通过自主画图并运用几何画板中的计算和动态演示功能进行实验，自觉地将解决“直线和圆的位置关系”中的经验进行迁移，这种“数学实验”的环境，使学生由过去枯燥乏味的“听数学”转变为真正的“做数学”.

应该说，本节复习课努力以问题为主线，注意启发学生思考，引导学生开展数学探究活动，使他们经历观察、实验、猜测、推理、反思等理性思维的基本过程，而几何画板的辅助功能使学生更加主动地、富有探索性地学，逐步培养学生的问题意识，提升解决问题的能力.endprint