“数学分析”课程中数列极限与函数极限的教学探索

肖黎明

【摘要】极限理论是“数学分析”课程的基础，也是“数学分析”课程教学中的重点和难点，本文根据作者多年讲授“数学分析”课程的教学经验，对数列极限的ε-N定义、函数极限的ε-M定义及ε-δ定义提出了自己的教学见解，愿与讲授“数学分析”课程的其他教师分享彼此的教学体会.

【关键词】教学探索；数列极限的ε-N定义；函数极限的ε-M定义；函数极限的ε-δ定义

【基金项目】广东技术师范学院校级教研课题（项目号：57202020244；57202020118）.

一、引 言

“数学分析”课程研究的对象是函数，所用的方法是极限的方法，极限理论自然成为“数学分析”课程的基础，而数列极限的ε-N定义、函数极限的ε-M定义及ε-δ定义是学生学習极限理论必须学习的内容，也是“数学分析”课程的重点和难点.本文将对数列极限的ε-N定义、函数极限的ε-M定义及ε-δ定义的教学做出相应的教学探索，与大家分享自己多年的教学体会.

数列极限的ε-N定义、函数极限的ε-M定义及ε-δ定义是“数学分析”课程的重点和难点，也是“数学分析”课程中的重要基础，学生必须通过这一关才能更好地学习“数学分析”课程中其他教学内容.如何破解学生学习数列极限ε-N定义、函数极限的ε-M定义及ε-δ定义的困难是所有“数学分析”教师普遍关心的问题.下面首先对数列极限的ε-N定义的教学过程进行详细的研讨，然后对函数极限的ε-M定义及ε-δ定义进行讨论.

二、数列极限ε-N定义的教学探索

（一）数列极限的描述性定义

考察数列1n，1+（-1）nn.对数列1n，由于当n越来越大时，1n越来越小，因此，可以想象当n→+∞时，1n的极限为0，即 limn→+∞1n=0.对数列1+（-1）nn，由于当n越来越大时，（-1）nn的绝对值（-1）nn=1n越来越小，可以想象当n→+∞时，数列（-1）nn的极限为0，因此，数列1+（-1）nn的极限为1.由上述两个例子可引导出一般数列{an}当n→+∞时以常数a为极限的描述性定义.

数列极限的描述性定义：如果当n→+∞时，数列{an}越来越接近常数a，则称常数a为数列{an}当n→+∞时的极限.

（二）数列极限的精确定义

按照前面数列极限的描述性定义，当n越来越大时，1+（-1）nn越来越接近于1，这句话只能意会，不能言传，不是精确的数学定义.下面就如何从数列极限的描述性定义引导出数列极限的精确定义做进一步的讨论.

两个实数a与b之间的接近程度可以用两个实数之差的绝对值|a-b|来度量，|a-b|越小，a与b就越接近.对数列1+（-1）nn来说，由于1+（-1）nn-1=（-1）nn=1n，当n越大时，1n就越小，1+（-1）nn就越来越接近于1，只要n足够大，1+（-1）nn-1=1n可小于事先任意给定的充分小的正数，如给定1100，欲使1n<1100，只要n>100，即从第101项起，能使不等式1+（-1）nn-1=1n<1100成立.同样地，如果给定11 000，则从第1 001项起，能使不等式1+（-1）nn-1=1n<11 000成立.一般地，无论事先任意给定正数ε多么小，总存在着一个正整数N，当n>N时，不等式1+（-1）nn-1=1n<ε成立.这就是数列1+（-1）nn 当n→∞时越来越接近于1的实质，这时1称为数列1+（-1）nn 当n→∞时的极限.从上述讨论过程可诱导出数列极限的下述精确定义.

数列极限的精确定义：

设{an}为一数列，如果存在常数c，对事先任意给定的正数ε（无论ε多么小），总存在正整数N，当n>N时，不等式|an-c|<ε都成立，则称当n→∞时数列{an}以常数c为极限.

（三）数列极限ε-N定义的几何解释

数列极限 limn→+∞an=c的精确定义为：ε>0，存在正整数N，当n>N时，|an-c|<ε，即c-ε0，存在正整数N，数列{an}落在ε-邻域（c-ε，c+ε）之外的项最多为N项（如图1所示）.

图1 数列极限ε-N定义的几何解释

由此可得出数列极限 limn→+∞an=c的几何定义：如果数列{an}和常数c满足：ε>0，存在正整数N，数列{an}落在ε-邻域（c-ε，c+ε）之外的项最多为N项，即数列{an}从N+1项开始以后所有的项都落在ε-邻域（c-ε，c+ε）之中，则称数列{an}当n→+∞时以常数c为极限.

（四）数列极限ε-N定义的否定形式

为加深理解数列极限 limn→+∞an=c的ε-N定义，下面讨论数列极限 limn→+∞an=c的ε-N定义的否定形式.数列极限 limn→+∞an=c的ε-N定义为：ε>0，存在正整数N，当n>N时，|an-c|<ε.将数列极限 limn→+∞an=c的ε-N语言反过来表述就得到数列极限 limn→+∞an=c的ε-N定义的否定形式：ε>0，对任意正整数N，n>N，满足|an-c|≥ε，则称当n→+∞时数列{an}不以常数c为极限.

在课堂教学中应通过某些教学实例向学生进一步解释数列极限的否定形式.

（五）数列极限ε-N定义的应用举例

数列极限 limn→+∞an=c的精确定义或ε-N定义为：ε>0，存在正整数N，当n>N时，|an-c|<ε.为学生易于理解，在应用数列极限的ε-N定义讨论具体数列极限问题时，常常是从不等式|an-c|<ε出发找N，先用分析法找出解决问题的思路，然后再用综合法写出整个证明过程，下面就用具体数列极限例子来说明这一点.

例1 证明： limn→+∞3n2n2-3=3.

分析 由于3n2n2-3-3=9n2-3=9（n-3）（n+3），当n≥3，n-3>1，3n2n2-3-3=9（n-3）（n+3）<9n+3<9n，ε>0，要3n2n2-3-3<ε，只需9n<ε，即n>9ε，从上面分析为了保证不等式n-3>1及n>9ε同时成立，取N=max9ε+1，3，于是用综合法写出整个证明过程如下：

ε>0，取N=max9ε+1，3，当n>N时，3n2n2-3-3=9n2-3<9n<ε，因此，limn→+∞3n2n2-3=3.

注：例1中学生不易理解为何取N=max9ε+1，3，这时要注意给学生强调这样取N的目的是为了保证不等式n-3>1及n>9ε同时成立.

例2 证明： limn→+∞nn=1.

分析 令αn=nn-1，則αn≥0，nn=1+αn，

n=（1+αn）n=1+nαn+n（n-1）2α2n+…≥n（n-1）2α2n.

由此得0≤αn≤2n-1，n≥2.

ε>0，要|nn-1|=|αn|=αn<ε，只需2n-1<ε，

即n>2ε2+1，

因此，应取N=2ε2+1+1，由于N≥2，当n>N时，自然成立n≥2，将上述分析过程用综合法写出来如下：

ε>0，取N=2ε2+1+1，当n>N时，|nn-1|=αn≤2n-1<ε.由数列极限ε-N定义可得 limn→+∞nn=1.

注：例2中利用二项展开式找N的方法应注意向学生解释，“数学分析”课程中数列极限一类问题都可以用该方法进行处理.

三、函数极限ε-M定义的教学探索

讨论了数列极限ε-N定义之后，按教育心理学中知识迁移理论，应接着讨论函数极限的ε-M定义，之后再讨论函数极限的ε-δ定义，这是因为从数列极限ε-N定义到函数极限ε-M定义是近迁移，从数列极限ε-N定义到函数极限ε-δ定义是远迁移，知识点之间近迁移容易，远迁移困难.

（一）函数极限ε-M定义的描述性定义

下面以函数极限 limx→+∞f（x）为例加以讨论，对函数极限 limx→-∞f（x）及 limx→∞f（x）也可类似地进行讨论.考察函数f（x）=1x当x→+∞的变化情况.当x越来越大时，f（x）=1x就越来越小，可以想象当x→+∞时，函数f（x）=1x的极限为0.由此例子可引导出函数f（x）当x→+∞时以常数A为极限的描述性定义：如果当x→+∞时，函数f（x）越来越接近于常数A，则称常数A为函数f（x）当x→+∞时的极限.

（二）函数极限ε-M定义的精确定义

下面就如何从函数极限的描述性定义引导出函数极限的精确定义做进一步讨论.当x→+∞时，f（x）=1x就越来越接近于0，只是一种描述性语言，不是精确的数学定义，这里，当x→+∞时，f（x）=1x越来越接近于0，可用数学语言来表述.如，要1x-0=1x<110，只要x>10就可做到，要1x-0=1x<1100，只要x>100就可做到.ε>0，一般要1x-0=1x<ε，只要x>1ε就可做到.这样就有函数f（x）当x→+∞时以常数A为极限的精确定义：f（x）为一函数，A为一常数，如果ε>0，M>0，当x>M时，|f（x）-A|<ε成立，则称函数f（x）当x→+∞时以常数A为极限，记为 limx→+∞f（x）=A或f（x）→A（x→+∞）.

注1：函数极限精确定义中的可任意小的正数ε事先可任意给定，但给定就给定了（ε有相对稳定性），ε是可任意小的正数，ε的作用在于控制函数f（x）与常数A之间的距离|f（x）-A|使其任意小，即使函数f（x）越来越接近于常数A.

注2：ε>0，要使不等式|f（x）-A|<ε成立，自变量x必须大于某一正数M，一般来说，ε越小，M就越大，M常记为M=M（ε）.但对ε>0，使不等式|f（x）-A|<ε成立的M并不唯一.

（三）函数极限ε-M定义的几何解释（几何定义）

函数极限 limx→+∞f（x）=A的精确定义为：ε>0，M>0，当x>M时，|f（x）-A|<ε成立，即A-ε0，M>0，当x>M时，函数y=f（x）的几何图像落在两条直线y=A-ε与y=A+ε之间（如图2所示）.

图2 函数极限ε-M定义的几何解释

由此可得出函数极限 limx→+∞f（x）=A的如下几何定义：如果函数y=f（x）与常数A满足ε>0，M>0，当x>M时，函数y=f（x）的几何图像落在两条直线y=A-ε与y=A+ε之间，则称函数f（x）当x→+∞时以常数A为极限.

（四）函数极限ε-M定义的否定形式

为深刻理解函数极限 limx→+∞f（x）=A的ε-M定义，有必要讨论函数极限 limx→+∞f（x）=A的否定形式.函数极限 limx→+∞f（x）=A的ε-M定义为：ε>0，M>0，当x>M时，成立|f（x）-A|<ε.将上述函数极限 limx→+∞f（x）=A的ε-M语言反过来叙述就得到函数极限 limx→+∞f（x）=A的ε-M定义否定形式：ε>0，M>0，xM>M，满足|f（xM）-A|≥ε，则称函数f（x）当x→+∞时不以常数A为极限.

在课堂教学中需进一步用某些教学实例向学生解释函数极限ε-M定义的否定形式.

（五）函数极限ε-M定义的应用实例

例1 证明： limx→+∞1x=0.

分析 因x→+∞，可设x>0，ε>0，要不等式1x-0=1|x|=1x<ε成立，只需x>1ε.用函数极限的ε-M定义写出证明过程如下：ε>0，取M=1ε，当x>M时，1x-0=1|x|=1x<ε.因此， limx→+∞1x=0.

例2 证明： limx→+∞arctanx=π2

分析 ε>0，要不等式arctanx-π2<ε成立，即要不等式

π2-ε

成立，此不等式右半部分对任何x都成立，只要考察其左半部分x的变化范围，因ε是事先任意给定的充分小正数，可限制ε<π2，从左边不等式π2-ε

ε>0ε<π2，取M=tanπ2-ε，

当x>M时，即x>tanπ2-ε，

arctanx>π2-ε，π2+ε>arctanx>π2-ε，

ε>arctanx-π2>-ε，

|arctanx-π2|<ε.

因此，limx→+∞arctanx=π2.

四、函数极限ε-δ定义的教学探索

（一）函数极限ε-δ定义的描述性定义

考察函数f（x）=2x在x=1附近的变化情况，这里f（1）=2.对ε=110，要|f（x）-f（1）|=|2x-2|=2|x-1|<110，只需|x-1|<120；

对ε=1100，要|f（x）-f（1）|=|2x-2|=2|x-1|<1100，只需|x-1|<1200；

对ε=11 000，要|f（x）-f（1）|=|2x-2|=2|x-1|<11 000，只需|x-1|<12 000.

一般地，对事先任意给定的充分小正数ε，要|f（x）-f（1）|=|2x-2|=2|x-1|<ε，

只需|x-1|<ε2，即x越接近于1，f（x）=2x越接近于2.由此可引导出函数极限的ε-δ描述性定义：设函数f（x）在x0的某一去心邻域内有定义，如果当x→x0时，函数f（x）越来越接近于某一常数A，则称常数A为函数f（x）当x→x0时的极限.

注：函数f（x）在x=x0处是否存在极限与函数f（x）在x=x0处是否有定义无关.

（二）函数极限ε-δ定义的精确定义

仍考察函数f（x）=2x在x=1附近的变化情况，对ε=1100，当自变量x满足不等式|x-1|<1200时，不等式|2x-2|=2|x-1|<1100成立；对ε=11 000，

当自变量x满足不等式|x-1|<12 000时，不等式|2x-2|=2|x-1|<11 000成立.由此可引导出函数极限ε-δ定义的精确定义：设函数y=f（x）在x0的某一去心邻域内有定义，如果函数y=f（x）与常数A满足：ε>0，δ>0，当0<|x-x0|<δ时，|f（x）-A|<ε，则称常数A为函数f（x）当x→x0时的极限.

注：上述定义中不等式0<|x-x0|<δ意味着函数y=f（x）在x0处可以无定义，即函数f（x）在x=x0处是否存在极限与函数f（x）在x=x0处是否有定义无关.

（三）函数极限ε-δ定义的几何解释（几何定义）

函数极限 limx→x0f（x）=A的精确定义为：ε>0，δ>0，当0<|x-x0|<δ时，|f（x）-A|<ε.上述定义的几何解释为：ε>0，δ>0，当x0-δ

图3 函数极限ε-δ定义的几何解释

由此可得出函数极限 limx→x0f（x）=A的几何定义：ε>0，δ>0，当x0-δ

（四）函数极限ε-δ定义的否定形式

为深入理解函数极限 limx→x0f（x）=A的ε-δ定义，下面对函数极限ε-δ定义的否定形式加以讨论.函数极限 limx→x0f（x）=A的ε-δ定义为：ε>0，δ>0，

当0<|x-x0|<δ时，|f（x）-A|<ε.将函数极限ε-δ定义的以上表述形式反过来叙述就得到函数极限ε-δ定义的否定形式：如果函数y=f（x）与常数A满足ε>0，δ>0，xδ满足0<|xδ-x0|<δ，但是|f（xδ）-A|≥ε，则称当x→x0时函数y=f（x）不以常数A为极限.

（五）函数极限ε-δ定义的应用举例

例1 证明： limx→23x=6.

分析 ε>0，找正数δ=？当0<|x-2|<δ时，|3x-6|<ε，即3|x-2|<ε，|x-2|<ε3.从上述分析过程应取δ=ε3，用综合法写出证明过程如下：ε>0，取δ=ε3，当0<|x-2|<δ时，|3x-6|=3|x-2|<ε.

因此， limx→23x=6.

例2 证明：limx→3x2=9.

分析 ε>0，找正数δ=？当0<|x-3|<δ时，

|x2-9|=|（x-3）（x+3）|=|x-3||x+3|<ε.

为找上述δ，首先在以3为中心，1为半径的邻域内考虑该问题，即限制|x-3|<1，从该不等式得到|x|-|3|≤|x-3|<1，由此不等式推出|x|<4（要使该不等式成立，x必须满足|x-3|<1）.这时有|x2-9|=|x-3||x+3|≤|x-3|（|x|+3）<|x-3|（4+3）=7|x-3|，由7|x-3|<ε，得到|x-3|<ε7.为保证不等式|x-3|<1和|x-3|<ε7同时成立，应取δ=min1，ε7，用综合法写出证明过程如下：ε>0，取δ=min1，ε7，当0<|x-3|<δ时，

|x2-9|=|x-3||x+3|≤|x-3|（|x|+3）<|x-3|（4+3）=7|x-3|<ε.因此，limx→3x2=9.

注：在例2中，ε>0，为找合适的正数δ使当0<|x-3|<δ时，|x2-9|<ε成立.

首先在以3为中心，1为半径的邻域内考虑该问题，即限制|x-3|<1，从该不等式得到|x|-|3|≤|x-3|<1，由此不等式推出|x|<4，通过计算发现应取δ=min1，ε7，例2的方法对应用ε-δ定义讨论一类函数极限问题具有一定代表性.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册）：第4版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]同济大学数学系.高等数学（上册）：第6版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]高興佑，向长福.如何破解极限定义教学难题[J].数学教育学报，2011（5）：96-99.