巧用分离常（参）数法进行等价转化

高慧明

分离（常数）参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目，相当一部分题目都可以避开二次函数，使用分离变量，使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用，越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.

一、分离常数法

分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围.

1. 用分离常数法求分式函数的最值

例1. 函数f（x）=（x≥2）的最大值为_________.

【解析】f（x）=1+≤1+1=2，即最大值为2.

2. 用分离常数法求函数的值域

分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有y=，y=，y=，y= 等，解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.

例2. 函数y=（x>1）的最小值是（ ）

A. 2+2 B. 2-2 C. 2 D. 2

【解析】∵x>1，∴x-1>0.

∴y===

==x-1++2≥2+2.

3. 用分离常数法判断分式函数的单调性

例3. 已知函数f（x）=x2+2ax-lnx，若f（x）在区间[，2]上是增函数，则实数a的取值范围______.

【解析】∵f′（x）=x+2a-≥0在[，2]恒成立，即2a≥-x+在[，2]恒成立，

∵（-x+）max=，∴2a≥，即a≥.

二、分離参数法

分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.

1. 用分离参数法解决不等式恒成立问题

例4. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n+1-2.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=log2a1+log2a2+…+log2an，求使（n-8）bn≥nk对任意n∈N？鄢恒成立的实数k的取值范围.

【解析】（1）因为Sn=2n+1-2，所以Sn-1=2n-2，（n≥2）

所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1-2-（2n-2）=2n.

又a1=S1=22-2=2，满足上式，所以数列{an}的通项公式an=2n（n∈N？鄢）.

（2）bn=log2a1+log2a2+…+log2an=1+2+3+…+n=.

由（n-8）bn≥nk对任意n∈N？鄢恒成立，即使≥k对n∈N？鄢恒成立.

设cn=（n-8）（n+1），则当n=3或4时，cn取得最小值为-10，所以k≤-10.

例5. 若x+1+x-3>k对任意的x∈R恒成立，求实数k的取值范围.

【解析】要使得不等式x+1+x-3>k对任意的x∈R恒成立，需f（x）=x+1+x-3的最小值大于k，问题转化为求f（x）的最小值，首先设f（x）=x+1+x-3，则有f（x）=-2x+2，x≤-14，-1≤x≤3 2x-2，x≥3当x≤-1时，f（x）有最小值为4，当-1≤x≤3时，f（x）有最小值为4，当x≥3时，f（x）有最小值为4，综上所述，f（x）有最小值为4，∴k<4，故答案为（-∞，4）.

例6. 已知数列{an}是等比数列，首项a1=1，公比q>0，其前n项和为Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列.

（1）求{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足，Tn为数列{bn}前n项和，若Tn >m恒成立，求m的最大值.

【解析】（1）由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2），∴S3-S1+S3-S2=a1+a2-2a3，

即4a3=a1，于是=q2=，∵q>0，∴q=. ∵a1=1，∴an=（）n-1.

Tn=1×1+2×2+3×22+…+n·2n-1……① ∴ 2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n·2n……②

∴①- ②得：-Tn=1+2+22+…+2n-1-n·2n=-n·2n=（1-n）2n-1，∴Tn=1+（n-1）2n.

∵Tn >m恒成立，只需（Tn）min≥m∵Tn+1-Tn=n·2n+1-（n-1）·2n=（n+1）·2n>0，

∴{Tn}为递增数列，∴当n=1时，（Tn）min=1，∴ m≤1，∴ m的最大值为1.

例7. 记max{m，n}表示m，n中的最大值，如max{3，}=. 已知函数f（x）=max{x2-1，2lnx}，g（x）=max{x+lnx，-x2+（a2-）x+2a2+4a}.

（1）设h（x）=f（x）-3（x-）（x-1）2，求函数h（x）在（0，1]上零点的个数；

（2）试探讨是否存在实数a∈（-2，+∞），使得g（x）

【解析】（1）设F（x）=x2-1-2lnx，F ′（x）=2x-=，令F ′（x）>0，得x>1，F（x）递增；令F ′（x）<0，得0

∴F（x）min=F（1）=0，∴F（x）≥0，即x2-1≥2lnx，∴f（x）=x2-1.

设G（x）=3（x-）（x-1）2，结合f（x）与G（x）在（0，1]上图像可知，这两个函数的图像在（0，1]上有两个交点，即h（x）在（0，1]上零点的个数为2.

（2）假设存在实数a∈（-2，+∞），使得g（x）

则x+lnx

即lnx-x<4a，（x+2）（x-a2）>0，对x∈（a+2，+∞）恒成立.

（i）设H（x）=lnx-x，H′（x）=-=，

令H′（x）>0，得02，H（x）递减.

∴H（x）max=h（2）=ln2-1.

当0ln2-1，∴a>.

∵a<0，∴a∈（，0）.

故当a∈（，0）时，lnx-x<4a对x∈（a+2，+∞）恒成立.

当a+2≥2，即a≥0时，H（x）在（a+2，+∞）上递减，∴H（x）

∵（ln（a+2）-a-1）=-≤0，∴H（a+2）≤H（0）=ln2-1<0.

故当a≥0时，lnx-x<4a对x∈（a+2，+∞）恒成立.

（ii）若（x+2）（x-a2）>0对x∈（a+2，+∞）恒成立，则a+2≥a2，∴a∈[-1，2].

由（i）及（ii）得，a∈（，2）.

故存在实数a∈（-2，+∞），使得g（x）

2. 求定点的坐标

例8. 已知直线l： （2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R，求证：直线l恒过定点.

【解析】直线l的方程可化为x+y-4+m（2x+y-7）=0，设直线l恒过定点M（x，y），由m∈R，得x+y-4=02x+y-7=0？圯M（3，1），∴直线l恒过定点（3，1）.

【点评】综合上面的例题，我们可以看到，分离参（常）数是通过将两个变量构成的不等式（方程）变形到不等号（等号）两端，使两端变量各自相同，解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法. 两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知，解决问题的关键是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题. 分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据需遵循.

例9. 已知抛物线C的标准方程为y2=2px（p>0），M为抛物线C上一动点，A（a，0）（a≠0）为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N.当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为18.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）记t=+，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由.

【解析】（Ⅰ）由题意，S△MON=·OA·MN=··2p==18，∴p=6，抛物线C的标准方程为y2=12x.

（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），

设直线MN的方程为x=my+a，联立x=my+a，y2=12x，得y2-12my-12a=0，

∴△=144m2+48a>0，y1+y2=12m，y1y2=-12a .

由对称性，不妨设m>0，

（1）a<0时，∵y1y2=-12a>0，∴y1，y2同号，

又t=+=+，

∴t2=·=·=（1-），

不论a取何值，t均与m有关，即a<0时，A不是“稳定点”；

（ii）a>0时，∵y1y2=-12a<0，∴y1，y2异号.

又t=+=+，

∴t2=·=·=·=（1+），

∴仅当a-1=0，即a=3时，t与m无关.

题组练习：

1. 若函数f（x）=m+log2x（x≥1）存在零点，则实数m的取值范围是（ ）

A.（-∞，0] B.[ 0，+∞） C.（-∞，0） D.（0，+∞）

2. 函数f（x）=loga（2-ax2）在（0，1）上为减函数，则实数a的取值范围是（ ）

A.[ ，1） B.（1，2） C.（1，2] D.（，1）

3. 定义在R上的函数f（x）对任意x1，x2（x1≠x2）都有<0，且函数y=f（x-1）的图像关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2-2s）≤-f（2t-t2），则当1≤s≤4时，的取值范围是（ ）

A. [-3，-） B. [-3，-]

C. [-5，-） D.[-5，-]

4. 1+11+111+…+之和是____________.

5. 設f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则t实数的取值范围是 .

6. 若不等式x2<│x-1│+a在区间（-3，3）上恒成立，则实数a的取值范围为 .

7. 当x∈（-2，-1）时，不等式x4+mx2+1<0恒成立，则实数m的取值范围是 .

答案简析：

1. 由题意得：求函数m=-log2x（x≥1）的值域，由x≥1？圯log2x≥0？圯m≤0，所以选A.

2. 设u=2-ax2，由题设知， a>0且a ≠1，所以u=2-ax2在（0，1）上为减函数，且u>0在区间（0，1）上恒成立，所以有 a>1，2-a≥0？圯1

3. 设x10，即f（x1）>f（x2），所以函数f（x）为减函数. 因为函数y=f（x-1）的图像关于（1，0）成中心对称，所以y=f（x）为奇函数，所以 f（s2-2s）≤-f（2t-t2）=f（t2-2t），所以s2-2s≥t2-2t，即（s-t）（s+t-2）≥0.因为=1-=1-， 而在条件（s-t）（s+t-2）≥0，1≤s≤4下，易求得∈[-，1]，所以1+∈[，2]，所以∈[，6]，所以1-∈[-5，-]，即∈[-5，-]，故选D.

4. 因为=×=，所以1+11+111+…+=[（10-1）+（102-1）+（103-1）+…+（10n-1）]=（10+102+103+…+10n）-=×-=.

5. ∵ f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，∴当x<0，有-x>0，f（-x）=（-x）2，∴ -f（x）=x2，即f（x）=-x2，∴ f（x）=x2，（x≥0）-x2，（x<0）∴ f（x）在R上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（x），∵不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，∴ x+t≥x在[t，t+2]恒成立，解得x≤（1+）t在[t，t+2]恒成立，∴ t+2≤（1+）t，解得：t≥，则实数t的取值范围是[，+∞）.

6. x2<│x-1│+a在区间（-3，3）恒成立，∴ x2-│x-1│

8. x4+mx2+1<0？圯m<-（x2+），x2∈（1，4），而-（x2+）>-，∴ m≤-.

责任编辑 徐国坚