函数与方程思想的综合运用

罗文军

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，然后通过解方程或不等式来使问题获解. 函数与方程有着密切的联系，函数与方程的思想是要用运动和变化的观点，分析研究数学中的数量关系，建立函数关系，然后通过研究方程去分析、转化问题，使问题获得解决. 本文通过以下具体例子来说明函数与方程思想在高中数学中的应用.

一、 函数中的函数与方程思想

函数是高中数学的主干知识，函数的零点问题，函数的根的分布，利用导函数研究函数的单调性、极值、最值问题中常常涉及函数与方程思想.

函数F（x）=f（x）-g（x）的零点就是方程f（x）=g（x）的实根，即函数y=f（x）的图像与函数y=g（x）的图像交点的横坐标.

例1. 设x0是方程（）x =的解，则x0所在的范围是（ ）

A. （0， ） B. （， 1） C. （， ） D. （， ）

【解析】构造函数f（x）=（）x -，所以f（0）=（）0-= 1>0，f（）=（）-=（）-（）>0，f（）=（）-=（）-（）<0，所以由零点的存在性定理可得函数 f（x）=（）x -在区间（， ）内存在零点，故选D.

【评注】本题把求方程（）x =的解x0的范围问题，转化为求函数f（x）=（）x -的零点x0所在区间的问题，考查了函数与方程的思想，也考查了函数零点的存在性定理.

例2. 设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f（x）+xf′（x）>0，则不等式>f（）的解集为____________.

【解析】因为f（x）+xf′（x）>0，所以（x·f（x））′>0，故函数y= g（x） = x·f（x）在R上是增函数，所以·f（）>f（）=·f（）， g（）=g（），所以>，即x+1≥0，x≥1 或x≤-1，x+1≥x2-1，

解得1≤x<2，故答案为[1， 2）.

【评注】本题从具体的题设背景中，联想导数的运算法则： [f（x）·g（x）]′=f′（x）·g（x）+f（x）·g′（x），抽象出函数g（x）=xf（x），体现了数学抽象的核心素养.本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数解不等式，属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.

二、 圆锥曲线中的函数与方程思想

圆锥曲线中常涉及静态问题和动态问题，静态问题是需要根据已知条件求出点的坐标或线的方程，动态问题为在图形变化过程中求定值、最值或定点. 运用函数与方程思想分析圆锥曲线题目，思路清晰，能很快找到解题的突破口.

例3. 已知椭圆？祝：+=1（a>b>0）经过点E（， ），且离心率为.

（1）求椭圆？祝的方程；

（2）直线l与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且与椭圆？祝相交于不同的两点A，B，求 |AB| 的最大值.

【解析】（Ⅰ）由已知可得 +=1，=，解得a=2，b=1，所以椭圆？祝的方程为+y2=1.

（Ⅱ）当直线l垂直于x轴时，由直线l与圆O：x2+y2=1相切，可知直线l的方程为x=±1，易求 |AB| =.

当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=kx+m，由直线l与圆O：x2+y2=1相切， 得=1， 即m2=k2+1， 将y=kx+m代入+y2=1，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，设A（x1， y1），B（x2， y2），则x1+x2=，x1x2=，

|AB| =|x1-x2|=

==4.

又因为m2=k2+1，

所以 |AB| =≤=2，

当且仅当|k|=，即k=±时等号成立，

综上所述， |AB| 的最大值为2.

【评注】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用. 第（1）问和第（2）问的解答过程中，都是借助几何图形进行的代數运算，考查了运算求解能力，体现了数学运算的核心素养.解析几何的运算通常集“繁、长、巧”于一体，让很多同学望而生畏. 究其原因，主要是同学们在运算长度的判断上出了问题：不能预估选择的解题方向会有怎样的运算及运算长度.若在解题过程中，用函数与方程思想分析圆锥曲线大题，能思路清晰，轻快找到解题的突破口，解题时首先选择适当的量作为变量，并求出变量的取值范围，然后想办法将所需求的量用上述变量表示，然后对函数求最值.

例4. 已知双曲线x2-=1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则 · 的最小值为_______.

【答案】-2.

【解析】由题意可知A1（-1， 0），F2（2， 0），设P（x， y）（x≥1），则 =（-1-x， -y），=（2-x， -y），·=（-1-x）（2-x）+y2=x2-x-2+y2=x2-x-2+3（x2-1）=4x2-x-5，

因为当x≥1时，函数f（x）=4x2-x-5的图像的对称轴为x=，

所以当x=1时，· 取得最小值-2.

【评注】本题先利用双曲线方程得出左顶点和右焦点坐标，设出P点坐标，根据向量的数量积的坐标运算表示·，再结合双曲线把式子化为二次函数，问题转化为求二次函数当x≥1时的最小值，体现了函数与方程的思想.

三、 数列中的函数与方程思想

数列作为一种特殊的函数，利用函数与方程思想可以求出数列的某一项、判断数列的单调性以及求出数列的前n项和的最值.

例5. 在等差数列{an}中，a1=-2014，其前n项和为Sn，若-=2，则S2014的值等于________.

【解析】由于是关于n的一次函数，又S1=a1=-2014，

所以（1， ），（10， ），（12， ），（2014， ）共线，

所以=，=1，解得S2014= -2014.

【评注】由于首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和公式为Sn=na1+d=n2+（a1-）n，=n+（a1-）是關于n的一次函数，本题利用直线的斜率公式求解，体现了函数与方程思想.

例6. 已知等差数列{an}满足a3=-13，a7=3. 设这个数列的前n项和为Sn，则数列S1，S2，…中哪一项最小？并求出这个最小值.

【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则

a1+2d=-13，a1+6d=3，解得a1=-21，d=4，

于是Sn=-21n+·4=2n2-23n=2（n-）2-，

故当n=6时，Sn取得最小值，最小值为S6=-66.

【评注】等差数列的通项公式及前n项和公式中，共涉及五个量，知三可求二，如果已知两个条件，就可以列出方程组解之. 本题先由基本量法列出方程组，解出a1和d. 由等差数列的前n项和公式Sn=na1+d可得到Sn=n2+（a1-）n，Sn是n的不含常数项的二次函数，本题求Sn 的最小值利用了二次函数的知识求解的.

四、 三角函数中的函数与方程的思想

三角函数是一种重要的函数，运用函数与方程的思想可以求三角函数的最值等问题.

例7. 函数f（x）=sin 2 x+cosx-，（x∈[0， ]）的最大值是_____.

【解析】f（x）=1-cos 2 x+cosx-

=-cos 2 x+cosx+

=-（cosx-）2 +1，x∈[0， ]，那么cosx∈[0， 1]，

令f（t）=-（t-）2 +1，则t∈[0， 1]，所以当t=时，即cosx=时，函数取得最大值1.

【评注】本题以正弦函数、余弦函数为基本函数，很据同角函数基本关系式，构造一个新函数二次函数，问题转化为求二次函数在闭区间上的最大值问题，考查了函数与方程的思想.问题设计为求新函数的最大值，函数形式简单，只要熟悉正弦函数与余弦函数间的转换关系，就可以将所给函数适当变形求解本问题.

例8. 已知x， y∈[-， ]，且

x5+5sinx+2m=0，16y5+5siny cosy-m=0，m∈R， 求cos（x+2y）的值.

【解析】16y5+5siny cosy-m=0可变形为（2y）5+5sin2y=2m，

构造函数f（t）=t5+5sint，则f（t）为单调奇函数，

由已知得f（x）=-2m，f（2y）=2m，

因为f（x）+f（2y）=0，所以x+2y=0，

所以cos（x+2y）=cos0=1.

【评注】函数的单调性与奇偶性是函数最基本的性质.本题已知条件为三元方程组，将已知条件变形后，通过观察两个式子的共同特点，发现并构造了一个新函数，由于这个函数是单调奇函数，根据单调奇函数的性质，得出最终结果，本题体现了函数与方程的思想，可以看出函数的单调性和奇偶性是解决本题的关键.

五、空间向量中的函数与方程思想

运用空间向量解决立体几何问题可以降低思维难度，而利用空间向量求线面角、二面角、点到直线的距离都涉及平面的法向量，求平面法向量的过程求体现了函数与方程的思想.

例9. 已知点A（1， 2， 3），B（2， 1， 2），P（1， 1， 2），O（0， 0， 0），点Q在OP直线上运动，当 · 取得最小值时，点Q的坐标为_______.

【解析】设=？姿=（？姿， ？姿， 2？姿），故Q（？姿， ？姿， 2？姿），故=（1-？姿， 2-？姿， 3-2？姿），=（2-？姿， 1-？姿， 2-2？姿），则·=6？姿2-16？姿+10=6（？姿-）2-，

当 · 取最小值时，？姿=，此时Q点的坐标为（， ， ）.

【评注】本题考查了空间向量的坐标运算，空间向量的数乘运算和空间向量的数量积，将求 · =的最小值化归为求二次函数的最小值，体现了函数与方程的思想.

例10. 若A（0， 2， ），B（1， -1， ），P（-2， 1， ），是平面？琢内的三点，设平面？琢的法向量=（x， y， z），则x ∶ y ∶ z=___________.

【解析】因为 =（1， -3， -），=（-2， -1， -），

又因为·=0，·=0，

所以x-3y-z=0，-2x-y-z=0，解得x=y，z=-y，所以x ∶ y ∶ z=y ∶ y ∶ （-y）=2 ∶ 3 ∶ （-4）.

【评注】本题根据法向量性质列出方程组，再把x、z分别用y表示，再求出x ∶ y ∶ z的值.

六、不等式中的函数与方程思想

不等式恒成立问题是不等式学习中的一种重要题型.通常運用函数与方程思想，要把函数问题与恒成立问题巧妙结合起来，解题时先把参数分离，从而把恒成立问题转化为函数最值问题.特别的对于给定区间上的不等式恒成立问题，一般可根据以下几个步骤：

（1）整理不等式，分离参数；（2）构造函数g（x）；（3）求函数g（x）在给定区间上的最大值或最小值；（4）根据最值构造不等式求参数.

例11. 若关于x的不等式4x-2x+1-a≥0在[1， 2]上恒成立，求a的取值范围.

【解析】由题意知a≤4x-2x+1在[1， 2]上恒成立，

令y=4x-2x+1=（2x）2-2·2x+1-1=（2x-1）2-1，

因为1≤x≤2，所以2≤2x≤4，

令t=2x，则2≤ t ≤4，y=（t-1）2-1，

当t=1时，即2x=2时，y有最小值0，

所以a的取值范围为（-∞， 0].

【评注】恒成立问题是不等式中最常见的一类问题，分离变量后借助函数的最值进行转化是破解这类问题的一种重要方法.本题中分离变量后，将问题化归为求二次函数在闭区间上的最小值问题，突出了函数与方程思想.

例12. 设a>0，b>0，（ ）

A. 若2a+2a=2b+3b，则 a>b B. 若2a+2a=2b+3b，则 a

C. 若2a-2a=2b-3b，则 a>b D. 若2a-2a=2b-3b，则 a

【解析】因为a>0，b>0，所以2a+2a=2b+3b>2b+2b，

令f（x）=2x+2x（x>0），则函数f（x）为单调函数，所以a>b.

【评注】本题将等式转化为不等式，再借助函数单调性解不等式，着力体现了函数与方程思想.

七、概率与统计中的函数与方程思想

概率与函数交汇命题也是概率命题的一个方向，这类题目既考查了概率的公式，也考查了函数的知识.线性回归方程的求解过程就体现了函数与方程思想.

例13. 在[-6， 9]内任取任取实数m，设f（x）=-x2+mx+m-，则函数f（x）的图像与x轴有公共点的概率等于______.

【解析】若函数f（x）=-x2+mx+m-的图像与x轴有公共点，则？驻=m2+4（m-）≥0， 又m∈[-6， 9]， 得m∈[-6， -5]或m∈[1， 9]，

故所求的概率为P ==.

【评注】本题主要考查与长度有关的几何概型问题，也考查了一元二次不等式的解法，考查了函数与方程的思想.

例14. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据；

（1） 求回归直线方程 =bx+a，其中b=-20，a=-b；

（2） 预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）

【解析】（1）由于=（x1+x2+x3+x4+x5+x6）=8.5，

=（y1+y2+y3+y4+y5+y6）=80，

所以a=-b=80+20×8.5=250，从而回归直线方程为=-20x+250.

（2）设工厂获得的利润为p元，依题意得，

p = x（-20x+250）-4（-20x+250）

=-20x2+330x-1000

=-20（x-）2+361.25，

当且仅当x=8.25时，p取得最大值，故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.

【评注】本题第（1）问利用线性回归方程的知识可求解，体现了方程思想；第（2）问是求二次函数的最大值应用问题，体现了函数与方程的思想.

责任编辑 徐国坚