青山不改，绿水长流

雷小华

三角函数是描述大量生产与生活中带有周期现象的重要数学模型，而解三角形是寻求三角形中边、角、周长、面积的值或相关数量关系.由这两部分组成的高考三角題，不仅能考查考生的理性思维品质，且可检测解决数学问题的能力.因此数学高考中始终少不了以能力立意且逐年创新的三角题.本文是对近三年全国新课标Ⅰ卷理科数学中的三角题作些分析，并对2018年三角题作些预测.

一、试题回顾

二、试题分析

仔细品味近三年这一板块的试题，发现试题立足课本知识，计算适宜，难易适中，若不是压轴题，一般难度不大，毎年分值稳定在15～17分之间，题量有3道小题的，也有1个小题加1道大题的.试题不断创新，考生在从已知到未知的求索心路中，感到似熟非熟，似生非生.试题做到了对知识与能力、推理与运算的综合考查.可谓：

测知识储备多少，检求索能力大小；移形换位生计算，数形结合添活力；难可压轴品素养，正解三角现能力；青山不改惟核心，绿水长流永创新！

（一）测知识储备多少，检求索能力大小

纵观近三年高考这一板块所出现的试题，有直接套用公式计算即可作答的基础题，也有出现在第12题或第16题位置的不易求解的压轴难题，命题方向对准三角基础知识的考查与探索求解的能力检测.

如2015年的第2小题，给你sin20°cos10°-cos160°sin10°这个表达式，若你储备了正弦或余弦的和角与差角公式，做下一步的思路应该自然想到，通过对比，会进一步思考对cos160°的处理方法，检测诱导公式中cos（180°-？琢）=-cos？琢的掌握与否，最后测试特殊角的三角函数求值能力.在这一过程中，知识的储备量决定思路的开宽程度，熟练操作决定解题的敏捷程度！

「解题思路导图」

「解析」sin20°cos10°-cos160°sin10°

=sin20°cos10°-cos（180°-20°）sin10°

=sin20°cos10°+cos20°sin10°

=sin（20°+10°）

=sin30°=. 答案选D.

启示：

1. 能力中包括理解记忆能力.对课本基础知识包括概念、定义、公式、性质等的理解与记忆一个都不能少！除了会，最好还要熟！

2. 解题时，你所储备的每一个知识都可以成为你求解的指路明灯，照你前行！

变式题组一：

1. sin（40°+）cos（10°+）+cos（140°-）sin（10°+）=（ ）

A. - B. C. - D.

2. 若0≤≤π，且sin（+）cos-cos（-）sin=，则=（ ）

A. B. C. 或 D. 或

[答案]1. D；2. D.

（二）移形换位生计算，数形结合添活力

由于三角函数及图像是历年高考中的一个常考知识点，需熟知y=Asin（x+）（A>0， >0），的图像及其各种变换. 试题中出现过定形析数的，也出现了定数解形的，当然还要关注动形求数等数形结合的题型.

1. 移形换位生计算

（1）定形析数

对于2015年高考数学中的第8小题，已知了函数f（x）=cos（x+？覬）的部分图像，如图所示.若要求出f（x）的单调递减区间，必须知道f（x）的一个周期内的波峰横坐标x1与波谷横坐标x2，这样f（x）的单调递减区间就可以写成（kT+x1， kT+x2），k∈Z，T为周期.

「解题思路导图」

「解析」由x2==，故x1=2×-=-，而周期T=2（x2-x1）=2[-（-）]=2， 故f（x）的单调递减区间就可写为（2k-， 2k+）， k∈Z， 答案选D.

（2）定数解形

在2017年高考数学中的第9小题，已知了曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），需要考生判断由曲线C1的图像得到曲线C2的图像的正确的变换方式，考察异名三角函数之间转换的一组诱导公式与三角函数图像之间的变换方式.

「解题思路导图」

「解析」

方法一：

由曲线C1：y=cosx=sin（x+）=①=>C1：y=sin（2x+）.

=②=>C1：y=sin[2（x+）+]=sin（2x+）即为曲线C2.

其中变换①为f（x）→f（2x），即把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变；变换②为g（x）→g（x+），即把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2.

方法二：

由曲线C2：y=sin（2x+）=cos[（2x+）-]=cos（2x+）.

故C1：y=cosx=③=>C1#： y=cos2x=④=>C1##： y=cos[2（x+）]，即为曲线C2.

其中变换③为h（x）→h（2xx），即把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变；变换④为k（x）→k（x+），即把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2.

不管走哪条路，我们都可以选出答案D.

此外，还有动形求数等表现形式，放在变式题组中练习提高.

2. 数形结合添活力

在2015年高考数学中的第16小题中，给出了平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，求AB的取值范围. 最巧妙的解法是让满足条件的四边形ABCD动起来，观察其变化中的极端情况所得到的值而作答！

「解题思路导图」

「解析」如图所示，延长BA、CD交于A2，平移AD至A′D′、A″D″、AD，…，其极限与点A2重合时，AB最长，此时，在Rt△BA2H中，BA2==，解得：BA2=+；同理，平移AD至时A1C，AB最短，此时，在Rt△BKC中，BK=BCcos75°=2sin15°，故BA1=2BK=-. 所以AB的取值范围为（-，+）.

启示：

1. 熟知y=Asin（x+）（A>0，>0）的图像及其各种变换，提高定形析数、定数解形、动形求数与数形结合的能力；

2. 能用运动变化的思想灵活巧妙解题.

变式题组二：

1. 将函数y=2sin（2x+）的图像向左平移个周期后，所得图像对应的函数为（ ）

A. y=-2sin2x B. y=2sin2x C. y=-2cos2x D. y=2cos2x

2. 已知动点E、F分别在矩形ABCD的AB边、AD边上移动，AB=3，AD=2，AE=AF，设∠CFE=. 则当？驻CFE的面积最大时，cos=（ ）

A. B.

C. D.

[答案]1. D ；2. A.

（三）难可压轴品素养，正解三角现能力.

1. 难可压轴品素养

所谓的压轴题，即大多数考生面对所给条件茫然不解以至无从下手或对所给条件分解处理后仍无法有机结合寻求突破.除了前面2015年第16小题外，2016年的第12题也可算是一道压轴题.要对这道题作出正确选择需要具备三层功力，第一是具备了扎实的基础知识；第二，在解题对局时，中局不迷茫，能够从开局产生的小成果与新局势作出较好的运算与推理，决择出正确的新的推算方向；第三，具备了仔细谨慎不骄不躁内敛前行的数学品质，能绕开暗礁，迎风破浪驶向胜利的彼岸！

2016年高考卷的第12题在给定函数y = sin（x+） （>0， ||≤）的条件下，再给另外满足① x=-为f（x）的零点；②x=为y= f（x）图像的对称轴；③f（x）在（， ） 单调这三个条件，要求出的最大值.

「解题思路导图」

「解析」由题意知：-+=r， r∈Z+=s+， s∈Z两式相减得：=2k+1，其中k∈Z.

∵ f（x）在（， ）单调， ∴ ≥-=，即≤12，

接下来验证：

若=11， =-，此时f（x）=sin（11x-）. 当x∈（， ）时，（11x-）∈（， ）=（， ]∪（， ），先增后减，不单调，故不合题意，舍去=11.

若=9，=，此時f（x）=sin（9x+）. 当x∈（， ）时，（9x+）∈（， ）， 单调递减，满足f（x）在（， ）单调. 故选答案B.

2. 正解三角现能力

2016年与2017年连续两年第17大题为难度中等的三角大题，都设有两问，像登山一样，爬上一个小山头之后再上另一个更高的山顶. 目的是考查是否具备一定的基础知识，包括正弦定理、余弦定理、面积公式等；是否具有较好的数学能力，包括运算能力、转化与化归的能力、分析问题与解决问题的能力等；是否能把知识进行联系，能给沟壑搭一座座彩桥？是否能对解题时出现的“断路”（即解题无法推进）与“短路”（即错因得错果）自我修复，并朝正确的方向继续前进？

先来看2016年第17大题的第（1）问，如何对条件① 2cosC（acosB+bcosA）=C（“山下”）进行转化，朝求∠C这个结果（“山头”）靠拢？

「第1小问思路导图」

「解析」（1）由题意知：2cosC（acos B+bcos A）=c，由正弦定理得：2cosC（sin A·cos B + sin B·cos A） = sin C，即2cosC·sin（A+B）=sin C，∵ A+B+C=？仔，A、B、C∈（0，），∴ sin（A+B）=sin C>0，∴ 2cosC=1，cosC=，∵ C∈（0，？仔），∴C=.

对于第（2）问，需站在刚上的小山头基础上再向上攀登，即求出△ABC的周长.

「第2小问思路导图」

「解析」（2）由余弦定理得：c2=a2+b2-2ab·cosC，即7=a2+b2-2ab·，即（a+b）2-3ab=7；又S=ab·sinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2-18=7，故a+b=5，因此△ABC的周长为a+b+c=5+.

再来看2017年第17大题，已知△ABC的面积为，首先要求sinBsinC的值.

「第1小问思路导图」

「解析」（1）方法一：由题设得：S△ABC=absinC=，即bsinC=，再由正弦定理得：sinBsinC=，即sinBsinC=.

方法二：由已知可得：S△ABC=bcsinA=，即bcsinA=，再由正弦定理得：sinBsinCsinA=，即sinBsinC=.

方法三：由已知可得：S△ABC=acsinB=，即csinB=，再由正弦定理得：sinBsinC=，即sinBsinC=.

原来，三种方法殊途同归！

「第2小问思路导图」

「解析」（2）由题设及（1）得：cosBcosC-sinB· sinC=-，即cos（B+C）=-，即cos（？仔-A）=-，故cosA=，∵A∈（0，？仔），故∠A=.

由已知得：bcsinA=，又a=3，故bc=8，由余弦定理得：b2+c2-bc=9，即（b+c）2-3bc=9，故（b+c）=，所以△ABC的周长为3+.

启 示：

解好三角形靠的是基础知识与数学能力.要善用知识间的联系给沟沟壑壑搭一座座彩桥，要快速修复解题时的“断路”与“短路”，并继续爬山越岭，勇攀高峰！

变式题组三：

1. 已知函数 f（x）=cos（x+）（>0， ≤），x=-为 f（x）的零点，x=为y=f（x）图像的对称轴，且f（x）在（，）单调，则的最大值为（ ）

A. 7 B. 5 C. 3 D. 1

2. 已知动点E、F、G分别在矩形ABCD的AB边、AD边、CD边上移动，且满足AE=AF=CG. AB=3，AD=2，设∠GFE=，△EFG的面积为f（）. 则当f（）最大时，cos=（ ）

A. B.

C. D. -

【答案】1. C；2. B.

（四）青山不改唯核心，绿水长流永创新

解三角题，不仅需要正确的思维方法，有一定的逻辑思维能力，还要有敏锐的洞察力和整体把握能力，以及对创新试题出现的新情景的驾驭能力和较好的运算能力等等.

“年年高考题不同，三角如棋局局新.”虽然毎年高考对三角题都有涉及，但是试题外形包装却题题不同！虽然年年三角题外形包装各有不同，但是试题要考查数学能力为主线的核心内涵却年年相同！这一特点已成为了中学数学教学的导向.

从近三年的高考可以看到，三角题在考查基础知识的同时，重在考查考生分析问题与解决问题的能力，这是高考三角题始终不变的主题！

波利亚所说“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”.在有限的高考时间里，若你想拥有高效率的答题而事先没有“货源充足和组织良好的知识仓库”是不可想象的！

因此，平时要打牢数学基础知识的底盘，深刻理解概念本质，理解其内涵与外延，不停留在表层，对概念、公式、定理、法则等心中有数，运用娴熟.养成逻辑推理、顺理成章、言必有据的好习惯.其次，对观察、试验、归纳、演繹、类比、猜想、比较、分析、综合、间接、抽象、概括等常用到的思维方法能运用得当，发挥自如，侧重如何分析问题、解决问题的训练，提高思维能力.

正如有正确的方向与较好的体能就能爬上一座座山顶，解三角题从已知到未知的探索过程就好比爬山登顶，同样需要正确的思维方法与较好的推算能力才能获得正解.如下图.

正所谓：年年高考题不同，三角如棋局局新；周长面积连边角，谋定而后解三角；扎实基础现思路，方法手段捷径走；相信青山终不改，来年绿水仍长流！

三、对2018年三角题的预测

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，B，C成等差数列，2a，2b，3c成等比数列.

（1） 求A；

（2） 若A为锐角，点D是以AB中点O为圆心，半径为a的圆上的动点，且│+│+││的最大值为5，试求△ABC的面积.

【简答】（1）方法一：

由A，B，C成等差数列，故2B=A+C，即B=60°.

2a，2b，3c又成等比数列，故4b2=2a·3C，即2b2=3ac. 根据正弦定理可得：2sin2B=3sinAsinC，

因为A+C=120°， B=60°，所以sinAsin（120°-A）=.

由两角差公式与二倍角公式可得：sin2A-cos2A=，即sin（2A-30°）=.

∵ 0

【简答】（1）方法二：

同法一得：B=60°，与2b2=3ac.根据余弦定理：b2=a2+c2-2accosB，三式联合可得：c=2a，或a=2c.故c=2a，b=a或a=2c，b=c. 即A=30°或90°.

【简答】（2）若A为锐角，则A=30°，B=60°，C=90°.

如图，在以AB中点O为圆心，半径为的圆中，D′D为过圆心O的直径，则四边形AD′BD为平行四边形； 连结CO并延长交圆于C′.则

│+│=││=a，││max=││=a+a=a. 故│+│+││的最大值为a，所以a=5a=2，由此S△ABC=ab=×2×2=2.

责任编辑 徐国坚