基于波长330 nm激光激发多色激光导星回波光子数的数值计算与探讨∗

刘向远 钱仙妹 朱文越 刘丹丹 范传宇 周军 杨欢

1)(中国科学院安徽光学精密机械研究所,中国科学院大气光学重点实验室,合肥 230031)

2)(皖西学院电气与光电工程学院,原子、分子与应用光学研究中心,六安 237012)

1 引 言

采用波长589 nm的激光激发大气中间层的钠原子用于自适应光学波前校正,获得了高分辨率成像,解决了高阶波前校正所需信标导星的全天空覆盖问题.但是,关于自适应光学成像的全倾斜校正,人们往往选择一定亮度的自然星来提供全倾斜信息[1].这种方法虽然在等晕区内所需要的自然星亮度不高,一定条件下能够实现全倾斜探测,但是不能够实现全天空覆盖.因此,Foy等[2]提出了多色激光导星的概念,起初的设想是采用589 nm和569 nm的激光联合激发大气中间层的钠原子,产生级联辐射,获得多种波长的光子,用于自适应光学系统全倾斜波前探测.然而,进一步的实验研究表明这种方法获得的330 nm的回波光子数仅仅为589 nm回波光子数的1/100,如果要获得足够的回波光子数,则要求激光能量较高,并且569 nm激光器只能采用染料激光器[3,4],因此,这种方法激发多色激光导星并不理想.为此,Pique等[5]提出采用单一波长330 nm的激光激发大气中间层钠原子的理论,经过理论分析认为330 nm波长激光激发多色激光导星有很多优点,例如所需的激光能量相对很低;330 nm的激光容易通过固体激光器实现;激光的发射系统能够得到简化等等.但是,Pique等的分析没有考虑激光大气传输的实际情况,本文在理论计算的基础上,选择较高激发态概率的激光带宽,考虑了高斯光束激光大气传输受到大气的吸收、散射和大气湍流的影响,计算了多色激光导星的回波光子数,探讨了脉冲激光重频率、激光发射初始光斑直径以及大气透过率对多色导星回波光子数的影响.以此为多色激光导星的进一步实验研究提供有益的参考.

2 理论模型

330 nm激光与钠原子作用,能够将钠原子由基态3S1/2激发到4P3/2的激发态.处于激发态的钠原子能够产生级联辐射,获得波长为330 nm,2207 nm,1140 nm,1138 nm,589 nm和589.6 nm的回波光子.波长为330 nm和2207 nm的回波光子常常用于全倾斜波前探测.激光与钠原子作用激发和衰减的过程如图1所示.

图1 330 nm激光与钠原子作用的激发和衰减过程Fig.1.Process of excitation and decay for interaction between laser at 330 nm and sodium atoms.

图1中虚线向上的箭头表示钠原子受到激发向高能级跃迁,实线箭头表示激发态钠原子向低能级跃迁,1,2,3,4,5表示钠原子精细结构的对应能级,数字表示激发或衰减对应的波长.图1描述的激光与钠原子作用过程可以用速率方程表示[5]:

在方程(1)—(5)中,n1(t),n2(t),n3(t),n4(t),n5(t)分别表示钠原子处于1—5个能级的钠原子数,它们都是随时间t变化的变量;τ2-1,τ3-1,τ4-2,τ5-1,τ5-4,τ4-3,τ4-2分别表示处于不同激发态钠原子的寿命;σ1→5表示钠原子的峰值吸收截面;g1,g2分别表示第1能级和第5能级的简并度;I表示总的激光光强;hv1-5表示330 nm光子的能量;σ(ν′−ν),g(ν)分别表示钠原子均匀吸收截面和激光的线型;ν′和ν为多普勒频移.钠原子的均匀吸收截面线型为

(6)式中,∆ν是钠原子均匀吸收截面的半峰值全宽.∆ν=1/(2πτ),根据Chatellus等[6]的理论分析,得到τ表示第i能级激发态的级联i辐射寿命.设置激光的线型为高斯线型.

(7)式中,∆νL为激光的半峰值全宽.激光与钠原子的作用,除了考虑以上因素,还要考虑大气中间层钠原子处于热运动状态的麦克斯韦速率分布,不同速率群的钠原子数可以表示为

(8)式中,N0表示激光照射范围内总的钠原子数,∆νD是钠原子分布的半峰值全宽,根据Milonni等[7]的理论,能够计算其中,λ是发射激光的波长,k是玻尔兹曼常量,T′是大气中间层钠层的温度,m为钠原子质量.

3 数值计算方法与参数

3.1 数值计算方法

当激光与大气中间层钠原子作用,处于激发态的钠原子会向基态跃迁,辐射出光子,形成多色激光导星.对于脉冲激光,假设脉冲间歇期足够大,在足够长的时间内被激发的钠原子全部衰减,则单一脉冲激光激发钠层中钠原子单位立体角辐射的光子数可以表示为

其中,CNa为钠层中钠原子的柱密度,p为钠原子的激发态概率,S为激光照射钠层的面积.根据(9)式,则单位时间内单位面积接收面上获得的多色激光导星回波光子数为

上式中,T0为垂直地面方向大气透过率,θ为天顶角,L为地面到大气中间层钠层中心的垂直高度,f为脉冲激光的重频率.为了便于数值计算,将上式写成数值形式.

其中,∆Si表示激光照射得很小的面积,pi表示∆Si内钠原子的激发态概率.

对于连续激光,激光激发钠原子达到稳态,激发态概率达到稳定值,则单位时间内单位面积接收面上获得的多色激光导星回波光子数为

其中,τ′是钠原子激发态的辐射寿命.

根据(11)和(12)式计算多色激光导星的回波光子数,需要知道钠原子的激发态概率pi.如果考虑激光大气传输受大气湍流的影响,还要模拟激光传输到大气中间层光强的随机分布.

由麦克斯韦电磁场理论,将大气的折射率表示为n=1+n1(n1表示折射率的涨落)能够得到光传播的亥姆霍兹方程[8],

在旁轴近似的情况下,假设光场E=ueik1z,Z为激光传输的路径,u表示光场的振幅,k1表示波数,忽略后向散射,波动方程(13)可做抛物线近似:

这里采用多相位屏法[9−11]求解方程(14),能够得到激光传输到大气中间层光场的随机分布.

当激光在大气中传输时,由于大气分子的吸收和散射会导致激光能量的衰减.对于紫外光的大气传输,要考虑多种大气分子的散射和吸收作用以及气溶胶的影响,特别是大气对短波长激光的散射[12,13].在不考虑大气辐射的情况下,光传输的大气透过率计算式为

其中,ρ为光传输路径上大气的密度,λ是指光波长,L′为光的传输路径,k′(λ,l)为消光截面,k′(λ,l) 描述了吸收和散射两种独立的物理过程对光传输辐射强度的影响.目前,关于大气透过率计算的软件有多种,使用Modtran5可以快速计算任意两点间大气光谱透射率[14].

3.2 计算参数

330 nm激光激发多色激光导星回波光子数的计算涉及到激光的大气传输、钠原子本身的特性、钠层的柱密度、激光的能量、重频率和带宽等参数,如表1所列.

表1 多色激光导星数值计算的参数Table 1.Parameters of polychromatic laser guide stars in the numerical calculation.

表1中,钠原子均匀吸收截面σ1→5和激光的波长λ参照了Pique等[5]和Moldovan[15]的研究结果,这里采用了Moldovan的计算数据.激光采用无偏振等匀激光,对于脉冲激光和连续激光都采用无模激光器[16],脉冲激光的时间线形为方波形状,初始激光能量分布为高斯光束.激光的发射方式为准直发射[17].另外,在模拟激光大气传输光强分布时,用到了Greenwood大气湍流模式[18],此时大气相干长度为12.8 cm(对于波长500 nm).参考Pique等[5]的研究结果,这里激光到达大气中间层的能量设定为1 W.

4 钠原子激发态概率的计算

4.1 脉冲激光与钠原子的作用

为了得到不同能级的钠原子数,这里将方程(1)—(5)简化为矩阵微分方程

这里,

aij是方程(1)—(5)中n1(t),n2(t),n3(t),n4(t),n5(t)前对应的系数.其中,ξ由(6)和(7)式积分得到,

考虑使用Matlab求解矩阵微分方程(16)比较简便,结合方程(6)—(8)以及初始条件n(0)=能够获得不同时刻处于1—5能级上的钠原子数,再对所有速率群积分,然后得到钠原子的激发态概率

脉冲激光的单一脉冲功率很大,为了了解不同带宽脉冲激光激发钠原子激发态概率的变化,这里选择带宽0.4,0.6,1,2 GHz激光与钠原子作用.计算得到这四种带宽激光激发钠原子概率的曲线如图2所示.

图2 (a)四种带宽激光激发钠原子概率的曲线;(b)1 GHz带宽激光激发钠原子概率的拟合Fig.2.(a)Probability curves of excited sodium atoms for four linewidth laser;(b) fi tted curve of excited probability for laser with 1.0 GHz linewidth.

由图2(a)可知,2 GHz带宽的激光激发钠原子的激发态概率小于1 GHz的激光.0.4,0.6,1 GHz的激光相比较,在激光光强6000 W/m2以下,0.4,0.6 GHz的激光激发钠原子激发态概率略高于1 GHz的激光.原因在于激光激发钠原子的激发态概率与激光能量密度随带宽的分布有关[19].当激光光强小于6000 W/m2时,对于窄带宽的激光,能量集中在一定的带宽范围内,能够获得较高的激发态概率.当激光光强大于6000 W/m2时,1 GHz带宽的激光激发钠原子的激发态概率较高.考虑50 ns宽度的激光,到达大气中间层的平均功率为1 W,单个脉冲的发射功率能够达到数千瓦以上,发射高斯光束激光的光强在大气中间层能够达到6000 W/m2以上并且所占的权重较大.因此,对于50 ns宽度的脉冲激光,选择1 GHz的激光与钠原子作用较好.

图2(b)中,使用1 GHz激光与钠原子作用的数据进行非线性拟合,得到钠原子激发态概率与光强变化的非线性关系.

4.2 连续激光与钠原子作用

连续激光与钠原子的作用,在很短的时间内,钠原子的激发态概率会达到稳定.取激光带宽0.6 GHz,通过求解方程(1)—(8)以及方程(16),得到钠原子激发态概率随时间演化的曲线,如图3所示,其中,I表示总的激光光强.

图3 激发钠原子的激发态概率随时间的演化Fig.3.The temporal evolutionary curves of excited probability for sodium atoms.

由图3可知,连续激光与钠原子作用在0.8µs之后,随着时间的增加激发态概率趋于稳定,又由于连续激光的功率很低,发射高斯光束的激光到达大气中间层平均功率为1 W时,光强分布的峰值一般不超过300 W/m2,因此,选择0—300 W/m2光强下1µs时间内计算钠原子的激发态概率,如图4所示.

由图4的计算结果可知,0.6 GHz带宽的激光激发钠原子的激发态概率较高,这时激光能量相对激光带宽分布能够获得较高的激发态概率.经过数值拟合,得到0.6 GHz带宽激光激发钠原子的激发态概率与光强呈线性关系.

图4 四种带宽的激光激发钠原子的激发态概率Fig.4.The excited probability of sodium atoms for laser with four linewidths.

5 数值计算结果

根据表1中的数据和以上计算结果,采用脉冲激光与钠层中的钠原子作用,激光的带宽为1 GHz.选择激光到达钠层的能量为1 W,则发射单个脉冲激光的能量为:因为激光传输到大气中间层的光强分布受大气湍流影响,而钠原子的激发态的概率又与不同空间位置光强的大小有关,因此,考虑Greenwood大气湍流模式,大气相干长度为12.8 cm(对于波长500 nm),在求解方程(14)的基础上,模拟激光光强在大气中间层的分布.选择模拟参数,网格数256×256,网格边长为0.008 m.考虑大气湍流的变化,模拟了100次不同的光强分布.然后,根据(11)和(17)式计算多色激光导星回波光子数的平均值和标准偏差.考虑图1中,钠原子第5能级的激发态寿命,钠原子4P3/2→3S1/2和4P3/2→4S1/2的辐射寿命分别为320 ns和160 ns,则钠原子4P3/2→3S1/2的辐射速率是钠原子4P3/2→4S1/2辐射速率的0.5倍.

对于连续激光,当激光的发射能量为4.88 W以及大气透过率为0.205时,到达大气中间层的激光能量约为1 W.选择激光带宽为0.6 GHz,采用与脉冲激光相同的数值计算方法,应用(12)和(18)式计算多色激光导星回波光子数的平均值和标准偏差.考虑图1中钠原子4P3/2→3S1/2和4P3/2→4S1/2的辐射寿命,计算330 nm和2207 nm的光子数时,分别取τ′=320 ns和160 ns.为了便于比较,脉冲激光和连续激光激发多色激光导星回波光子数的平均值和标准偏差列表在表2中.

由表2的计算结果能够看出,当到达大气中间层激光能量为1 W时,连续激光激发多色激光导星的回波光子数比脉冲激光激发的要多47%,原因在于连续激光的光强与钠原子激发态概率之间是线性关系,不会产生饱和现象;而脉冲激光光强很大,脉冲激光的光强与钠原子的激发态概率间是非线性关系,在激光光强很大的情况下产生饱和现象.

表2 脉冲激光和连续激光激发多色激光导星回波光子数的平均值和标准偏差Table 2.The return photons and standard deviations of polychromatic laser guide star for the pulse laser and the continuous wave laser with 330 nm wavelength.

6 讨 论

6.1 脉冲激光的重频率对回波光子数的影响

脉冲激光的频率越高,则单个脉冲的能量就越少.为了了解激光的重频率对多色激光导星回波光子数的影响,取激光带宽1 GHz,在Greenwood大气湍流模式下,根据表1中的数据和(11)式,计算了5—100 kHz重频率的激光激发多色激光导星获得330 nm回波光子数的平均值Φ330,如图5所示.

图5 重频率对激光激发多色激光导星回波光子数的影响Fig.5.In fl uence of repetition on the return photons of polychromatic laser guide star.

图5的计算结果表明,提高脉冲激光的重频率能够增加回波光子数,但是,当重频率高于50 kHz时,回波光子数增加的幅度趋于有限值.例如100 kHz重频率时的回波光子数仅仅是50 kHz重频率时的1.03倍.原因在于对于激光到达中间层的能量为1 W的情况,尽管激光的重频率增加了,但是每个脉冲的功率减小,导致钠原子的激发态概率总体减小了.

6.2 激光初始光斑直径对回波光子数的影响

激光发射初始光斑直径(这里指的是光腰)的变化会导致激光在大气中间层的光强分布随之改变,根据表1中的数据,选择脉冲激光带宽1 GHz,连续激光的带宽0.6 GHz,假设发射口径大于激光光斑的初始直径,计算了连续激光和脉冲激光激发多色激光导星330 nm回波光子数Φ330随激光发射初始直径的变化,如图6所示.

图6 激光初始光斑直径对330 nm回波光子数的影响Fig.6.In fl uence of laser start diameters on the return photons at 330 nm from polychromatic laser guide stars.

由图6可以看出,相同激光初始光斑直径的情况下,连续激光激发的回波光子数要比脉冲激光多,当发射初始光斑直径为5 cm时,最少增加量约为30%.总体上看,连续激光激发的回波光子数不会随激光初始直径而变化;脉冲激光激发的回波光子数随激光初始光斑直径变化呈现抛物线变化.在激光发射初始光斑直径为20 cm时获得的回波光子数很少,而在激光发射初始光斑直径为5 cm和60 cm时回波光子数较多.这是由于大气湍流和光束衍射的共同作用,5 cm和60 cm的激光发射初始光斑直径导致激光在大气中间层光斑较大[20],光强峰值较低,降低了激光激发钠原子的饱和程度.

6.3 大气透过率对回波光子数的影响

由于大气对紫外波长激光的散射,造成激光光强和330 nm回波光子数严重衰减.以上多色激光导星回波光子数计算过程中,应用Modtran5计算了大气透过率T0,选择中纬度地区冬季大气模式,能见度为15 km、无云无雨、乡村气溶胶模式的大气透过率,臭氧的垂直柱密度为8.06911 gm/m2,水汽的垂直柱密度为0.85171 gm/m2.为了了解大能见度对大气透过率的影响,表3中列出了能见度与330 nm和2207 nm激光大气透过率的对应数据,根据表1中数据和(11)式,计算了脉冲激光激发多色激光导星330 nm的回波光子数Φ330.

由表3的数据可以看出,大气能见度对330 nm激光大气透过率有明显的影响,而对2207 nm大气透过率影响很小.在能见度为10 km的情况下,330 nm激光大气透过率仅为0.148,回波光子数为3.642×103ph/m2/s,此时的回波光子数不能满足波前探测的要求[21,22].根据方程(11)和(17)计算,如果增加脉冲激光发射的能量为7.725 W,才能够得到4.2×103ph/m2/s的330 nm回波光子数,即使用自然星全倾斜探测所需回波光子数.能见度为5 km时,激光发射能量为34.1 W才能满足此回波光子数的要求.因此,对于脉冲激光,在能见度低于5 km的情况下,要获得4.2×103ph/m2/s的330 nm回波光子数,大约需要34 W以上的激光发射能量,并且要求无云无雨的天气.

表3 能见度与330 nm和2207 nm激光大气透过率以及330 nm的回波光子数Table 3.The atmospheric transmittance of laser with 330 nm and 2207 nm wavelength,the atmospheric visibility and the return photons at 330 nm.

对于连续激光,在能见度为10 km的情况下,根据方程(12)和(18)计算,得到330 nm回波光子数为7.13×103ph/m2/s,对应的激光发射能量约为6.76 W.在能见度为5 km的情况下,计算得到330 nm回波光子数为3.18×103ph/m2/s.如果需要获得4.2×103ph/m2/s的330 nm回波光子数,大约需要20 W以上的激光发射能量.

7 结 论

基于330 nm激光与钠原子作用的速率方程,计算了脉宽50 ns的脉冲激光和连续激光激发钠原子的激发态概率以及多色激光导星330 nm和2207 nm的回波光子数.探讨了脉冲激光的重频率、激光初始光斑直径(光腰)以及大气透过率对多色激光导星回波光子数的影响.根据以上分析,得到以下结论.

1)脉冲激光和连续激光激发钠原子的激发态概率与激光带宽有关.对于50 ns的脉冲激光,选择1 GHz的激光带宽激发钠原子的激发态概率较高;对于连续激光,选择0.6 GHz的激光带宽激发钠原子的激发态概率较高.

2)到达大气中间层的激光能量为1 W时,选择较高激发态概率的激光带宽,采用连续激光激发多色激光导星获得的330 nm回波光子数要比脉冲激光激发的回波光子数多30%以上,并且连续激光激发多色激光导星的回波光子数几乎无起伏.

3)脉冲激光的重频率和初始光斑直径能够影响多色激光导星的回波光子数.多色激光导星的330 nm回波光子数随激光重频率增加而增加,但是脉冲重频率增加到50×103Hz以上时,回波光子数增加的幅度有限.在Greenwood大气湍流模式下,脉冲激光激发的回波光子数随初始光斑直径变化呈现抛物线变化.

4)大气透过率是影响330 nm激光大气传输能量衰减和多色激光导星330 nm回波光子数的重要因素.考虑Greenwood大气湍流模式,在能见度小于5 km且无云无雨的条件下,若要获得满足自然星全倾斜探测的回波光子数,脉冲激光的发射能量需要34 W以上,连续激光的发射能量大约需要20 W以上.

产生的原因可以归结为:一方面与激光大气传输过程中大气吸收、散射和大气湍流以及激光与钠原子作用的物理机制有关;另一方面与激光在大气中间层的光强分布以及光强较大造成的饱和程度有关.

总之,采用330 nm激光激发多色激光导星,要考虑多种因素的影响,特别是大气透过率的影响.连续激光与脉冲激光相比较,连续激光比脉冲激光有更多的优点.

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