落实基础，积淀方法，发展思维——以《方程的应用》为例谈数学中考复习的策略

江苏省太仓市沙溪实验中学 吴存红

布鲁姆认为：有效的教学过程应从准确地知道希望达到的目标是什么开始。初中数学复习课应该从制定复习目标开始，再经过适当的教学活动以及有效的评价，这样才能实现比较有效的复习过程。而中考复习课是站在整个初中阶段的高度，是以中考为目标的，它以某一知识为基准，不仅要对知识和方法的内在联系进行横向构建，而且要对蕴含的数学思想进行纵向剖析。那如何在中考复习课中既能落实知识点、提炼方法，又能上升到数学思想呢？下面笔者以《方程的应用》为例谈谈数学中考复习的一些思考。

一、精准定位，以考纲定复习目标

中考作为义务教育阶段的终结性考试，其具有毕业鉴定与升学选拔的双重性任务。各地区依据初中毕业升学考试改革的有关精神以及《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《标准》），编写了具有本地区特色的考试纲要。中考复习的时候，教师应认真研究纲要，并严格根据纲要和《标准》对中考复习进行精准定位，做到复习的时候目标明确、有的放矢。比如，江苏省苏州市2017年数学中考考试纲要上面对方程（组）的要求包括：①能够根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；②经历估计方程解的过程；③能解一元一次方程、可化为一元一次方程（或一元二次方程）的分式方程；④了解解分式方程时有可能产生增根，并掌握验根的方法；⑤掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组（或由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组）；⑥理解配方法，能用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；⑦会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；⑧＊能解简单的三元一次方程组；⑨＊理解一元二次方程的根与系数的关系。从中可以看到，中考对方程的考查范围不仅包括解方程，而且包括一元二次方程根的判别式等知识点的应用，更重要的是考查方程作为一个数学模型在具体问题中的应用。

二、精选习题，以要求定问题组链

中考对方程的要求，不仅要会解方程，而且包含了一些与方程相关的知识点，更是作为一种解决问题的模型和工具来对待。在设计《方程的应用》中考复习的时候，我们可以设计以下问题组链，逐层突破（以苏科版教材为例）：

1.基本要求，解方程

【解析】本题主要考查了分式方程的解法，解分式方程的基本思路是：将分式方程转化为整式方程，再利用整式方程的解法求解。解题过程分为三步：（1）去分母，在方程的两边同时乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程；（2）解整式方程；（3）验根，把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母为0，则整式方程的解不是原分式方程的解，否则这个解就是原分式方程的解。

2.常规要求，用方程的解

【解析】本题考查了一元二次方程根的判定，共有三种情况：关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根b2-4ac=0；关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根b2-4ac＞0；关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根b2-4ac＜0。

例3 （2017·江苏南京，2分）已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为-3和-1，则p=____ ，q=____ 。

【解析】本题可以利用一元二次方程的根与系数的关系来求解：-3+(-1)=-p，-3×(-1)=q；也可以由方程的根写出一元二次方程进行求解：这个方程可以写为(x+3)(x+1)=0,整理得x2+4x+3=0；还可以把两个根代入原方程进行求解。

3.能力要求，列方程

例4 （2017·江苏盐城，10分）某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒。2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒。

（1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？

（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？

【解析】本题考查的知识点：利用分式方程解决实际问题；运用一元二次方程解决有关增长率的问题。

（1）设出未知数以后,本题的等量关系是“购进了与2014年相同数量的礼盒”，并由此列方程；（2）“增长率相同”的实际问题，呈现数学中的“指数模型”，数量a以相同的增长率x连续增长n年以后的结果是a(1+x)2，连续增长2年相当于n=2。

4.高阶要求，方程模型

【解析】本题考查了反比例函数、平行四边形、相似三角形等知识点。题中需要求出未知点C的坐标才能求解，联想到“BC∥AE”可以得到△ADF∽△CBF，从而可以列出一个方程求出点C的坐标。在这类函数综合题中，方程模型显得非常重要，当问题中存在未知量的时候，都可以尝试挖掘问题中隐含的等量关系列出方程进行求解。

我们在进行中考复习的时候，应该要打开章节之间的通道，建立知识点之间的联系，层层推进。从上面的问题链中，可以清晰地看到对方程的要求分为四个层次：基本要求，解方程；常规要求，用方程的知识解决相关问题；能力要求，列方程解决问题；高阶要求，利用方程模型解决问题。这不仅仅是知识点的四个层次，也是解决数学问题的方法的四个层次：解方程→用方程→列方程→方程模型，更是对学生数学思维的一次提升：原来方程真正的价值在于方程模型，方程可以作为一种解决问题的数学工具来使用。

三、研究教法，以学生定教学方式

《标准》强调“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。”

有效的中考复习同样不能弱化甚至忽略学生的学习主体地位，更不能老师一讲到底，在数学中考复习的时候，可以在多种教学形式中切换，以求高效。比如在复习《方程的应用》的时候，如果班级学生总体水平较好，对于前面提到的四个层次中的“解方程、用方程”，我们可以让学生采取小组合作学习的方式展开，这样更利于学生有针对性地查漏补缺；在最后一个层次“方程模型”的教学过程中，又可以鼓励学生充分发表不同的意见和想法，学生会发现不管采取什么方法求BC的长，都会利用列方程解决问题。在这样的对比中，学生更容易体会到方程作为一种解决问题的数学工具的价值所在。

教师也可以多采用讲练结合的教学方式，比如在前面的问题链后面穿插相应的巩固练习，不仅让学生及时得到了巩固，也能增强学生的学习信心。五道例题后面配套的巩固练习如下：

【小试身手】

2.（2017·江苏扬州）一元二次方程x2-7x-2=0的实数根的情况是（ ）

A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.没有实数根 D.不能确定

4.（2017·江苏无锡）某地新建的一个企业，每月将生产1960吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：

？

已知商家售出2台A型、3台B型污水处理器的总价为44万元，售出1台A型、4台B型污水处理器的总价为42万元。求每台A型、B型污水处理器的价格。

数学中考复习也是一个整体，这个整体体现在课程标准与考试纲要的统一、落实基础与积淀方法的统一、发展思维与发展学习素养的统一、教与学的统一。如果我们多关注这几个方面的统一，我们的数学中考复习一定会更加有效。