带有三体相互作用的S=1自旋链中的保真率和纠缠熵∗

2018-03-18任杰顾利萍尤文龙

物理学报 2018年2期

任杰顾利萍尤文龙

1)(常熟理工学院物理系,常熟 215500)

2)(苏州大学物理与光电·能源学院,苏州 215006)

1 引言

在过去的二十年中,量子自旋系统中的量子相变一直是物理学家研究的热点之一[1].这些研究当中,自旋S=1海森伯模型也吸引了不少研究者的注意[2−4],其中原因之一是系统的基态为著名的Haldane相.这个相最显著的特征之一是有非局域的弦序参量.另外一个特点是基态和自旋三重激发态之间是非简并的,这点和自旋为1/2的海森伯自旋链有着很大的差别.实验上发现很多材料为S=1的准一维自旋链,例如Y2BaNi5[5],CsNiCl3[6],Dy2BaNiO5[7],Nd2BaNiO5[8].然而完美的一维海森伯自旋链在材料中很少出现,或多或少会出现一些各向异性或者杂乱性以及其他类型的复杂相互作用,如次近邻相互作用甚至多体相互作用.值得一提的是,很多准一维材料具有锯齿形结构,次近邻格点间的距离与最近邻格点间的距离相比差别并不是很大,所以研究带有次近邻的相互作用以及多体相互作用的S=1自旋链是一件有现实意义的事情.最近,很多研究利用从量子信息中衍生出来的概念来研究量子多体系统的基态相变问题,其中最常见的是利用量子纠缠熵和保真率探测量子多体系统中的量子临界点.大量的研究表明,这两个观测量在强关联体系中对相变探测都是非常有效的[9−17],这是因为系统发生相变时,系统的基态性质会发生剧烈的变化,从而使得这两个物理量也会相应地发生剧烈的变化.基于这两个量子信息观测量的普适性,本文将利用它们研究有近邻相互作用以及多体相互作用的S=1自旋链中的量子相变.

2 研究模型

系统的哈密顿量如下:

其中Si为i格点上的S=1的自旋算符;参数J1为近邻的相互作用,假设J1=1;参数J2,J3分别代表次近邻相互作用和三体相互作用;符号h.c.表示前一项的转置共轭.此外,本文中采用了开放的边界条件,N代表自旋链的长度.

3 量子信息度量与算法

量子保真度,一个来自量子信息理论的概念,可以用来探测物理系统中的量子相变.假设一个简单系统,其系统的哈密顿量可以写成H(J3)=H0+J3HI,其中H0为主要部分,HI为驱动部分,J3为HI的大小.如果ρ(J3)代表系统基态的密度矩阵,那么两个基态ρ(J3)和ρ(J3+δJ3)之间的保真度定义如下:

其中 δJ3是一很小的变化量.对于一个纯态,方程(2)可以写成

其表示两个态的交叠程度.当δJ3=0,保真度会达到其最大值F(J3,0)=1.为了δJ3避免任意性,一般采用平均保真率,其定义如下:

其与量子相变之间的关系已经得到证实[10,11].

另一方面,纠缠熵被人们用来度量系统的两体纠缠,其定义如下.假设|ψ0〉表示系统的基态,系统可以分成A,B两个部分,一般情况下,把第一个自旋到第L个看成A部分,剩下的部分就是B部分.其中A部分的约化密度矩阵可以表示为

A,B部分之间的两体纠缠可以表示为

众所周知,研究强关联系统的一个典型难题就是系统希尔伯特空间的维度随着粒子数的增加呈指数性增长.值得庆幸的是,利用密度矩阵重整化群的方法,可以得到大尺度的一维强关联系统的近似基态[18,19],从而便于研究系统的特性.利用有限系统密度矩阵重整化群的方法,计算哈密顿量公式(1)的基态,采用双精度数据并保留了200个态,使得截断误差在10−8以下.

4 数值结果

利用密度矩阵重整化群的方法计算了系统(1)基态的保真率随J3的变化,其中系统的N达到55.图1表示不同大小的系统的基态保真率与三体相互作用J3之间的关系.不同大小的系统的保真率都存在一个峰值,并且这个峰值随着系统的增大而变大.峰值对应的J3随着N的增大而减小.众所周知,保真度是度量两个态的相似度,而量子相变发生的时候,量子临界点两侧的量子态相似度最低,所以保真率的峰值恰好对应系统的相变点,这正是我们用保真率探测相变的原因.保真率峰值对应的J3有着如下的关系:

其中a1,b1是常数,这个结果在图1的插图中显示.得到a1=0.0352,b1=−0.247,.当J3=0,系统处于Haldane相,当J3很大时,系统处在二聚物相.就是上述这两种相的相变点,这个结果和以前的研究结果一致[20].

图1 平均保真率随三体相互作用J3的变化关系其中J2=0,插图为平均保真率极值对应的的尺度效应,直线为拟合线Fig.1.The fi delity susceptibility per site is plotted as a function of the three-site interaction J3for different system sizes with J2=0.Inset: fi nite-size scaling ofof the fi delity susceptibility.The line is the fi t line.

此外,还研究了系统左边部分和右边部分之间的纠缠熵,其中L=(N+1)/2.图2表示系统左边部分和右边部分之间的纠缠熵随J3变化的关系.可以看出纠缠熵随J3增大到达一个峰值,随着J3的进一步增大,纠缠熵迅速下降到0.此时J3=0.167,且不随系统变化而变化.这表明这个点就是系统的Majumdar-Ghosh(MG)点.对于任意的自旋,其MG对应的位置可以表达为J3/J1=1/[4S(S+1)−2][21],这里S=1,很容易得到J3/J1=0.167,这验证了本文结果的正确性.

一般情况下,纠缠熵的极值对应点就是系统的相变点.拟合纠缠熵峰值对应的位置随系统N的变化关系,始终没有得到这个点.这说明在此系统中该结论不成立.有时纠缠熵的极值对应点不是系统的相变点,而是纠缠熵一阶导数的极值对应点是系统的相变点[15,16,21].这是因为系统能量的二阶导数部分往往对应密度矩阵的一阶导数.图2(b)表示纠缠熵的一阶导数随三体相互作用J3之间的关系.在J3=0.12附近纠缠熵的一阶导数有极小值.通过(6)式拟合,很容易就得到,a2=0.029,b2=−0.195[见图2(b)插图].

图2 (a)纠缠熵和(b)其一阶导数随三体相互作用J3的变化关系其中J2=0,(b)当中的插图为纠缠熵一阶导数极值对应的J3的尺度效应,直线为拟合线Fig.2.(a)The entanglement and(b)its fi rst deviation are plotted as a function of the three-site interaction J3for different system sizes with J2=0.Inset(b): fi nite-size scaling ofcome from the fi rst deviation of entanglement entropy.The line is the fi t line.

为了进一步验证本文的结果,数值模拟了弦序参量,其结果在图3中显示.弦序参量的定义如下[22]:

弦序参量可以探测Haldane相,因为在Haldane相中弦序参量为正值.从图3可以看出,随着J3的增长,弦序参量迅速下降为零,这表明系统从Haldane相变化到二聚物相.发现不同大小的系统弦序参量随1/N呈线性关系,见图3插图.本文展示了J3=0.105和J3=0.115这两种情况.若将N推广到无穷,也就是1/N=0,研究发现Ox(J3=0.105)＞0,Ox(J3=0.115)＜0,这就表明在这两种情况下系统处在不同的相.

图3 弦序参量随三体相互作用J3的变化关系其中J2=0;插图为弦序参量的尺度效应,其中J3=0.105,J3=0.115Fig.3.The string order parameter is plotted as a function of the three-site interaction J3for different system sizes with J2=0.Inset:scaling of string order parameter with J3=0.105,J3=0.115.

进一步研究J2=−0.3的情况,得到类似的结果(见图4).通过图4(a)研究发现保真率的峰值停留在J3=0.212位置上,几乎不随系统N的改变而变化,说明Haldane相与二聚物相间的相变点就在此点.图4(b)揭示了纠缠熵与J3变化关系,很容易看出纠缠熵为零的点也就是到MG点在J3=0.267.图4(c)可以通过纠缠熵的一阶导数的极值探测到量子相变点.在此基础之上,研究不同J2情况下的保真率和纠缠熵随J3的变化关系,并得到其相变边界.因此,本文进一步展示了系统的相图随J2以及J3的变化关系(见图5).J2＞0,J3＞0部分的相图已经在文献[20]中显示.当J2=0时,系统相变发生在J3=0.111,此相变属于二级相变.随着J2的增长,此相变会从二级相变转化成一级相变.随着J2的进一步增长,会出现次近邻的Haldane相与Haldane相的一级相变.众所周知,保真率在探测一级相变会出现比二级相变时更尖锐的峰值[23,24].此外出现的次近邻的Haldane与二聚物相之间的二级相变非常类似于Haldane相与二聚物相之间的相变,保真率也能成功探测此相变.为了避免重复,这里不再展示J2＞0,J3＞0部分的相图,本文中只展示了J2＜0,J3＞0部分的相图.随着J2＜0的出现,系统相变仍属于二级相变,只是相变点增大.对于MG点也类似的结论,并且相变点和MG点之间的差距也越来越小,最后重合在一起,成为相变边界.

图4 (a)平均保真率,(b)纠缠熵,(c)纠缠熵的一阶导数随三体相互作用J3的变化关系(J2=−0.3)Fig.4.(a)Fidelity susceptibility per site,(b)entanglement entropy,(c)the fi rst deviation of entanglement entropy are plotted as a function of the three-site interaction J3for different system sizes with J2= −0.3.

图5 系统的相变图其中J2＜0,J3＞0;黑线为Haldane与二聚物相变边界,红色线为MG点Fig.5.Phase diagram of a spin-1 Heisenberg chain with the interactions J2＜0 and J3＞0.The black indicates the boundary between Haldane phase and dimerized phase,and the red line indicate the MG pionts.

5 结论

研究了带有次近邻相互作用和三体相互作用的自旋S=1一维自旋链中量子纠缠熵和量子保真率,并分析了这两个量子观测量与该系统中的量子相变之间的关系.研究结果表明系统存在的Haldane相与二聚物相之间的相变可以通过保真率以及纠缠熵的一阶导数观测到.这两个量子信息观测量在S=1的自旋链中被证实都是很不错的量子相变的指针,可以帮助我们进一步了解该系统.应用这两个量子信息观测量来确定量子相变临界点的优越性在于它们可以帮助我们进一步判定其他的序参量是否可靠.

[1]Sachdev S 1999Quantum Phase Transitions(Cambridge:Cambridge University Press)p133

[2]den Nijs M,Rommelse K 1989Phys.Rev.B40 4709

[3]Chen W,Hida K,Sanctuary B C 2003Phys.Rev.B67 104401

[4]DegliEspostiBoschiC,ErcolessiE,OrtolaniF,Roncaglia M 2003Eur.Phys.J.B35 465

[5]Darriet J,Regnault L 1993Solid State Commun.86 409

[6]Buyers W J L,Morra R M,Armstrong R L,Hogan M J,Gerlach P,Hirakawa K 1986Phys.Rev.Lett.56 371

[7]Singh K,Basu T,Chowki S,Mahapotra N,Iyer K K,Paulose P L,Sampathkumaran E V 2013Phys.Rev.B88 094438

[8]Zheludev A,Tranquada J M,Vogt T,Buttrey D J 1996Phys.Rev.B54 7210

[9]Li W,Andreas W,Delft J V 2013Phys.Rev.B88 245121

[10]You W L,Li Y W,Gu S J 2007Phys.Rev.E76 022101

[11]Cozzini M,Ionicioiu R,Zanardi P 2007Phys.Rev.B76 104420

[12]Ren J,Zhu S Q 2008Eur.Phys.J.D50 103