关注几何证明，培养逻辑思维——几何证明中分析条件，研究求证，规范过程

马 雯

（南京市栖霞区摄山初级中学，江苏 南京）

一、几何证明在初中数学学习中的重要地位

学生在小学就已经初步接触过几何，到了初中阶段，不仅要求学生进一步掌握这些图形的相关性质，还要在概念与性质基础上进行“推理与证明”。根据《义务教育数学课程标准》，7至9年级这一学段，“图形与几何”是非常重要的一部分，而其中的“推理与证明”更是数学的标志性思维方式，学生在七年级就要开始培养“合情推理”的能力。

二、从“已知”到“求证”，再从“求证”到“已知”

1.对已知条件的充分分析，具备一定的“联想发散”能力

著名数学教育家波利亚的解题理论告诉我们——解题要做到“七分构思（读题，审题，发散，归纳），三分表述（书写，运算，订正，反思与回顾）”。因此解题无外乎就是建立从已知到未知的桥梁，而这个桥梁必须承载着教材中的定理、定义以及公式，整个过程中最难的无外乎找对出路，正确搭桥。这就要求我们的学生掌握点对点之间联系的能力，就是我们所谓的“联想发散”。

如，我们在讲解“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一性质时：

例 1.如图 1，已知 OP平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，求证PA=PB

师：我们来分析一下，首先由第一个已知条件OP平分∠MON你能得到什么？

生：角之间的大小关系，∠MOP=∠NOP

师：那由第二个已知条件PA⊥OM，PB⊥ON，你又能得到什么？

生：∠PAO=∠PBO=90°

……

图1

通过师生这样的对话，在无形间引导学生的思维，学生能够在教师的“问题”下慢慢形成思考问题、分析问题的一种模式，从而由表及里学会分析已知条件，挖掘更多隐藏的条件。

2.对求证内容的精准把握，具备一定的“逆向推导”能力

“证明”对学生来说应该是比“推理”简单得多，因为要求我们证明的结论一定是正确的，这相当于多给了我们一个已知条件，有的时候我们从“已知”到“求证”较为困难的时候，不妨可以调换顺序，从“求证”出发，依据数学中的定义、定理进行转化，一步一步向已知条件“倒推”，直至最后能够联系到一个给出的已知条件。

例 2.如图 2，已知∠1＝52°，∠2＝128°，∠C＝∠D，求证∠A=∠F。

师：本题中我们要证明∠A=∠F，也就是要证明什么？

生：AC∥DF。

师：那证明两直线平行，我们一般是通过什么？

生：角之间的相互关系。

师：那证明∠C+∠DEC=180°就是证明什么？

生：∠D+∠DEC=180°（等量代换）

师：已知条件中有吗？没有的话，如何继续转化？

生：也就是证明BD∥CE。

师：也就是证明什么？

生：∠1+∠2=180°

……

图2

本题中在面临第二次由AC∥DF转化到∠C+∠DEC=180°的时候，由于本题中还存在内错角，可能不少学生会转化成∠ABD=∠D或者∠C=∠CEF，这种转化当然也是可以的。不过不少题目中，如果你转化时，“选择”不恰当，会多走弯路，甚至走进死胡同。因此我们在转化时有一个原则——尽量向已知靠拢，这样才能尽快地转化到最终的已知条件。

这种“逆向推导”能力非常符合我们数学最近比较流行的“需求理论”，从我所需求的出发，将未知一步步向已知靠拢，最后能得到一个已知的条件或已知条件的推论。

3.规范解题，具备几何证明的“逻辑性”

即便掌握了已知与求证的双向关系，不少学生还是拿不到满分。是不是课堂上我们演示出一个规范的解题过程就够了呢？当然，我们不能否认一个规范的演示过程对学生发挥着一定的作用，学生在不太了解证明的时候，一开始只能“依葫芦画瓢”，但可惜模仿跟理解之间的差距还是很大的，因为他们根本就不知道什么是解题的规范性，什么是“因为”与“所以”之间的逻辑性。关于逻辑性是否断开的问题，我们可以以下面这个学生对例2的部分证明过程为例。

生：∵∠1＝52°，∠2＝128°（已知）

∴BD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）不少教师简单地认为这一学生的解题过程错在“跳步骤”，而笔者认为“因为所以”之间缺乏逻辑性，错在学生不理解什么是“同旁内角互补，两直线平行”。

既然平行是通过两个角的数量关系得到的，我们就必须呈现这两个角的关系，而不是仅仅呈现这两个角的大小。

应改为：∵∠1＝52°，∠2＝128°（已知）

∴∠1+∠2=180°

∴BD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）

“证明”作为初中数学学习中的一个重要里程碑，是基础的又是重要的，基础在于我们必须掌握这个技巧，才能达到解题的目的。而重要体现在它不仅要求我们规范解题，还提供了我们很多数学的思想方法，让我们提升了自我的数学修养，从中体会到数学之美。