2017年中考“综合与实践”专题命题分析

2018-03-16孙延洲易爱华

中国数学教育（初中版） 2018年3期

孙延洲，易爱华

（湖北省教育科学研究院；湖北省荆门外语学校）

一、考点分析

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出，综合与实践是指一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.通过“综合与实践”内容的学习，学生应初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并从不同角度体验和经历分析问题和解决问题.学生对问题的解决，将不再是单一的利用某一类知识去解决问题，而是需要综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法，通过自己的思维来分析、判断、综合，选择最优的途径来解决问题.一般而言，主要包括数学探究、数学建模及数学实际应用三种形式.

数学探究就是综合运用所积累起来的学习经验、思想、方法、知识，去尝试、探索未知的领域；数学建模就是综合所学习的知识与技能，思想与方法，数学活动经验，将社会生活中的问题数学化的过程；数学实际应用就是综合运用数学知识和方法等解决实际问题，增强应用意识，提高实践能力.因此，“综合与实践”无论是从数学学习内容本身，还是对培养学生的应用意识、创造意识和数学模型思想都有着重要的教育价值，对学生的数学思维发展与数学素养的养成给予了极大的关注.

近几年“综合与实践”类的中考试题，突出的特点体现在如下三个方面：一是与学生的生活实际或学习实践紧密联系；二是在关注学生的基础知识和基本技能的前提下，问题的设置具有一定的挑战性和综合性；三是具有更多的知识内涵或更为丰富的方法性、思考策略性的价值，关注学生数学活动经验的积累.2017年全国各地中考试题在该领域的命题还具有选材丰富、综合设计、兼顾创新、注重思想、紧扣《标准》等特点.题型表现为难度不太大的选择题、填空题，分值在3～5分之间；题型表现为考查学生综合能力和数学素养的解答题（包括压轴题），分值一般在8～15分之间，试题分值与全卷总分值的比为25%左右.命题者在较为注重考查学生知识和技能的基础上，注重对学生的应用创新能力和探究能力的考查.为突出“综合与实践”内容的特点，命题的内容和形式往往在学生学习过程中所积累起来的基本思想方法和基本活动经验方面加大力度，以此提高试题的信度与效度.

二、命题思路分析

依据《标准》，2017年全国各地中考的许多命题者都力图以问题情境、导向启发、思想、方法渗透等诸多方式，来实现对“综合与实践”领域重要目标的考查.其命题的思路大多重在综合考查学生在掌握基础知识后，所表现出来的创新精神和综合素养，考查学生面对新的问题时所表现出来的分析问题和解决问题的能力，大体上以归纳与概括、抽象与建模、实验与操作三种形式来呈现.

1.归纳与概括

通过考查学生的归纳概括能力，可以把学生经历数学思维活动的过程较好地呈现出来，考查学生从特殊到一般的探究能力，利用合情推理的方式进行有效发现的能力，以及提高对合情推理与演绎推理之间关系的认识水平.

（1）设置问题情境，考查学生归纳概括的能力.

对归纳能力的考查，是实现数学能力考查非常重要的一种考查方式.从2017年的中考试题来看，各地的试题越来越多地体现了针对基本数学思想方法之归纳方法的直接考查.

例1 （浙江·温州卷）我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图1），已知点P1(0,1)，P2(-1,0)，P3(0,-1)，则该折线上的点P9的坐标为（）.

图1

（A）（-6，24）（B）（-6，25）

（C）（-5，24）（D）（-5，25）

【评析】此题的立意是考查学生能否运用“归纳—概括—应用”来解决简单问题.通过合理设置问题，启发学生思考，引导学生自主探索，能较为有效地考查学生理解和掌握基本的知识与技能、数学思想和方法的程度，以及发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.这类试题无论是从效度、信度来讲，还是从教育性来说，都具有良好的教育导向作用.

（2）结合类比猜想考查学生归纳概括的能力.

在很多数学教学活动中，经常需要结合类比猜想，来实现对学生学习能力和创新能力的培养.而在这一类问题中，特别注意的是结合类比猜想的基本数学活动思路，来体现对学生归纳概括能力的考查，这种结合形式的问题，能更好地体现出学生对数学活动经验的积累，体现综合能力的形成.

例2 （山东·烟台卷）【操作发现】（1）如图2，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D.在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF.

①求∠EAF的度数；

②DE与EF相等吗？试说明理由.

【类比探究】（2）如图3，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D.在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，在线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF，试直接写出探究结果.

①求∠EAF的度数；

②求线段AE，ED，DB之间的数量关系.

图2

图3

【评析】此题试图通过学生对数学问题的阅读、理解、观察、操作、思考，并在此基础上借助类比获得猜想，命题的基本立意点在于类比，当然，对学生分析推理的能力也要有相应的要求，这是对学生的综合性能力的考查.从第（2）小题可以看到，对第（1）小题的归纳概括是后续应用的前提条件，通过对知识的迁移与应用达到解决问题的目的.所以，此题注重把数学的学习看作是数学活动的学习，考查学生综合应用知识解决问题的能力，倡导了培养学生用数学的方法去思考问题，力求让学生感受数学的学习需要的思考过程，而不仅仅是追求一种结果.这样的命题方式使得此题具有较好的效度和可推广性.

（3）从关注学生解题过程完整性的角度，重点考查归纳与演绎的综合.

初中数学的基本思想主要有两种，即归纳与演绎.命题者往往会设置由特殊到一般探索结论的问题背景，并提出由此演变过程而得到的新问题，同时要求对新结论进行验证，既实现了对以归纳为主要形式的合情推理能力的考查，又检验了学生演绎推理的能力.

例3 （辽宁·抚顺卷）如图4，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，C，连接AB，PB.

（1）如图4（1），当P，Q两点都在射线ON上时，试直接写出线段AB与PB的数量关系.

（2）如图4（2），当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，试写出证明过程；若不存在，试说明理由.

（3）如图4（3），∠MON=60°，连接AP，设，当P，Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，试直接写出k的最小值；若不存在，试说明理由.

图4

【评析】解答此类试题需要经历从特殊到一般化，先用类比，而后归纳，再到概括的研究过程.这样的过程有利于考查学生的数学综合素养及创新的意识，使得此题具有较好的效度、信度和区分度.

2.抽象与建模

设置抽象与建模类型的问题，在一定程度上可以考查学生的学习经历及创新意识和实践能力.

（1）利用从特殊到一般的认识过程考查学生的抽象能力.

建立数学模型的常用方法，就是从具体的事物（活动）到抽象出数学问题，从特殊表达到一般性的表述.这种从具体到抽象、从特殊到一般的过程是考查学生数学能力的一个重要方面，是学生思维能力过程化、抽象化、数学化的必要历程，也是学生建立数学模型和应用数学模型解决具体问题能力的基础，命题者也往往喜爱在此着笔.

例4（湖北·仙桃、潜江、天门、江汉油田卷）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME.

（1）如图5（1），当∠ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是_____.

（2）如图5（2），当∠ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论.

（3）如图5（3），当∠ADC=α时，求的值.

图5

【评析】此题利用从特殊到一般的认识规律，设计了一个研究几何图形中的两条线段间数量关系的情境.这样的过程在一定程度上能对学生的抽象能力形成有效考查，是具有一定代表性的研究深层次问题的试题类型.

（2）借助对几何模型的分析探究，考查学生建立代数模型的能力.

数学建模的核心问题是要用数学语言表述出数学关系，成功的建模需要学生具有一定的观察、分析、综合、类比、归纳与概括的能力.这为通过建模问题考查学生数学能力发展的情况提供了前提.

例5（四川·达州卷）探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，可通过构造直角三角形利用图6（1）得到结论P1P2=；他还利用图6（2）证明了线段P1P2的中点P()x,y的坐标公式

（1）试帮小明写出中点坐标公式的证明过程.

运用：（2）①已知点M(2,-1)，N(-3,5)，则线段MN的长度为____.

②直接写出以点A(2,2)，B(-2,0)，C(3,-1)，D为顶点的平行四边形顶点D的坐标.

拓展：（3）如图6（3），点P(2,n)在函数（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，试在OL，x轴上分别找出点E，F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值.

图6

【评析】此题提供了包括问题背景、设计方案思路、观察计算结果，以及探索归纳总结在内的与建立数学模型相关的信息，有助于考查学生通过分析、总结、概括，从问题背景中抽象出相应的数量关系，进而建立模型解决问题的能力，具有较好的可推广性.

（3）借助几何问题情境，考查学生建立几何模型的能力.

从实际情境出发建立几何模型是把实际问题模型化、直观化的过程，同时也是对一般问题进行抽象并数学化的过程，体现了各地对几何模型建立能力的重视.

例6 （江苏·盐城卷）【探索发现】如图7（1），是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE，EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为____.

【拓展应用】如图7（2），在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为_____（用含a，h的代数式表示）.

【灵活应用】如图7（3），有一块缺角矩形ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积.

【实际应用】如图7（4），现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M，N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积.

图7

【评析】此题通过建立几何模型，从不同的角度综合考查了学生运用所学知识，从几何图形中抽象出几何模型的能力，突出了对抽象与建模能力的考查.

3.实验与操作

设置实验与操作类问题的试题，可以体现出数学活动经验的过程性，在某种程度上也可以考查学生积累的数学活动经验的水平，以及应用意识和能力发展的情况.

（1）通过操作发现知识间的内在联系，考查学生对数学整体性的认识.

数学知识之间有着密切的联系，数学能力与数学学习能力很重要地表现在对数学的这种联系与整体性的认识上.

例7（浙江·台州卷）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根.比如对于方程x2-5x+2=0，操作步骤如下.

第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A(0,1)，B(5,2)；

第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；

第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图8（1））；

第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n即为该方程的另一个实数根.

（1）在图8（2）中，按照“第四步”的操作方法作出点D（保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）.

（2）结合图8（1），试证明“第三步”操作得到的m就是方程x2-5x+2=0的一个实数根.

（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的实数根，试直接写出一对固定点的坐标.

（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P(m1,n1)，Q(m2,n2)就是符合要求的一对固定点？

图8

【评析】此题设计新颖，突出知识之间的联系，不仅较好地发挥了考查的功能，也对教师的教学，以及学生的学习具有积极的启发作用.

（2）从条件特征入手进行相关的几何实验操作，考查学生的探究能力.

在很多几何问题中，其条件有明显的可实验操作的起始特征（或其条件本身提供了与问题相关的同类性质，或条件本身就是展开探究活动的实验问题基础），这样的一些问题基于实验与操作的前提下，可以在操作实验过程中体现学生对解决问题的策略和方法的考查.

例8（山西卷）背景阅读：我们把三边的比为3∶4∶5的三角形称为（3，4，5）型三角形.例如，三边长分别为9，12，15或32,42,52的三角形就是（3，4，5）型三角形.用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形.

实践操作：如图9（1），在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm.

第一步：如图9（2），将图9（1）中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平.

第二步：如图9（3），将图9（2）中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF.

第三步：如图9（4），将图9（3）中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平.

图9

问题解决：（1）试在图9（2）中证明四边形AEFD是正方形.

（2）试在图9（4）中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明.

（3）试在图9（4）中证明△AEN是（3，4，5）型三角形.

探索发现：（4）在不添加字母的情况下，图9（4）中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？试找出并直接写出它们的名称.

【评析】在一个具有某种变换特征意义的图形中，解答此题的基本思路是在数学变换的思想指导下，能利用操作实验进行探究.关注图形本身的数学变换基础条件是十分重要的探究前提，相关的对称变换（折叠）的探究，正是很好的数学实验和实验探究过程，解决此题正是基于这样的基础.在数学实验中对问题形成过程思路的考查和对学生探究能力的考查，使试题有了更深的立意，因而使试题具有了较好的效度.

三、复习建议

为体现《标准》的引领作用，在“综合与实践”的教学过程中，教师要特别关注问题、过程和综合三个方面的设计与考查，要加强对数学活动的延伸与深化，对学生的实践能力、思维能力、运算能力、探究能力和创新能力提出了恰如其分的要求.因此，在复习教学中除了要夯实基础外，特别要注意如下几点.一是要提“好问题”，即让学生实践感悟、经历设计、体验实施和问题解决的过程，努力设置实际问题情境，引导学生进入问题场，让学生在自己实际经历和体验中发现和提出问题，建立数学模型；二是提好“问题”，即结合实际问题情境，逐层递进提出问题，让学生通过对有关实际问题的思考、探讨、分析和综合，在相关学科知识之间建立起联系，再综合应用相关知识，体验数学抽象、逻辑推理和模型应用，发展创新意识.

1.加强“四基”，重在落实

各地“综合与实践”类型的试题，大多是对学生的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验（以下统称“四基”）的综合性考查，在复习中要强化“四基”的教学和训练，不能流于形式.一是要让学生对所学的概念、公式、定理掌握扎实，不能似是而非；二是让学生充分经历知识的发生、发展、形成的过程，对问题的结构特点、逻辑推理、可能的技巧方法感悟通透；三是鼓励学生质疑，及时解决学生学习过程中遇到的困惑和疑问；四是通过课堂检测和适量的综合性的活动，检查每位学生“四基”知识是否能融会贯通.

2.提升思维，重在立能

如果把数学问题解决看成是“目”，那么数学思维就是“纲”，纲举目张.在复习中，一是要加强思想方法的渗透，开阔学生的思维视野，拓宽学生的观察角度，让学生在潜移默化中日积月累，自觉养成良好的数学思维素质，提高综合性的数学思维能力；二是要善于创设知识发生的问题情境，对具有数学思想方法背景的教学环节充分预设，鼓励学生独立思考，在此基础上，提高学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力；三是试题形式千变万化，但是“万变不离其宗”，因此，我们要引导学生探究问题解决中思想方法的共性，处理好通法和技巧的关系，少想怪招，多找共性、通法，切实提高学生的思维品质.

3.研究习题，重在迁移

中考“综合与实践”类问题多数取材于教材，是在教材例、习题的基础上通过类比、延伸或扩展加工改造而成.所以我们要回归教材，研究教材中的例、习题，挖掘教材例、习题的基础示范、拓展延伸功能，加强对问题解决后的反思迁移.一是研究教材例、习题与《标准》的要求，以及本地中考考试说明之间的关系，找出其可能命题的对应点、渗透点、辐射点和拓展点，悟出“综合与实践”类试题的命题的发展趋势；二是引导学生解题后反思，即让学生清楚解决问题的难点、关键点，解决这类问题的常规方法有哪些，以及改变这个问题的条件或结论又可以得到哪些新的问题，这个问题与以往做过的哪些问题有联系，共同的本质是什么？通过反思迁移，对解决问题的过程与结果进行再审查、再总结、再升华，让学生做一题，通一类，从而构建良好的认知结构，完善学生已有的知识体系.

另外，教师在“综合与实践”复习的教学设计和实施时可以模拟微科研的过程，采取包含选题、开题、做题、结题这四个环节.

选题——问题引领：在数学的学习过程中，可以由教师和学生以数学的眼光来观察世界，提出一些有价值的、且学生可以实际参与的问题或问题串.

开题——探寻途径：在教师引领下，学生通过实践、感悟、体验、讨论、分析、观察，进一步明确题意，运用相关数学知识或模型，提出比较合理的思路或方案.

做题——实践操作：学生通过实验体验、自主探究、合作学习、推理演算、归纳验证等环节解决问题.

结题——交流评价：在教师的组织下，学生将自己的成果推介给大家，共同分享，及时交流评价，归纳总结.

总的来说，“综合与实践”的实施是以问题为载体的学习活动，重在实践，重在综合，不是学生单纯运用单一知识进行的探索活动，而是在基础知识、基本技能、基本思想方法，以及基本活动经验上进行综合运用中形成对数学知识的理解和有效的学习.我们需要始终坚持重视夯实“双基”的传统教育，突出基本数学思想的教学引领，通过好问题的设置与探究，让学生在数学活动经验积累中提升数学思维和数学素养.

四、模拟题欣赏

1.利用函数y=(x-1)(x-2 )的图象（如图10（1））和性质，探究函数的图象与性质.下面是小东的探究过程，试补充完整.

（2）如图10（2），小东列表、描点画出了函数y=图象的一部分，试补全函数图象.

图10

图11

（3）x1＜x3＜x4＜x2.

2.问题背景：如图12（1），在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH.从而得到四边形EFGH是正方形.

类比研究：如图12（2），在等边三角形ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）.

（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，试选择其中一对进行证明.

（2）△DEF是否为等边三角形？试说明理由.

（3）进一步探究发现，图12（2）中的△ABD（如图12（3））的三边存在一定的等量关系，设BD=a,AD=b,AB=c,试探索a，b，c满足的等量关系.

图12

答案：（1）略.

（2）△DEF为等边三角形，理由略.

（3）c2=a2+ab+b2.

3.操作体验：用一张矩形纸片折等边三角形.

第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（如图13（1）），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（如图13（2））.

第二步，如图13（3），再一次折叠纸片，使点C落在EF上的点P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC.

（1）△PBC是_____三角形.

图13

数学思考：（2）如图14（1），小明画出了如图13（3）所示的矩形ABCD和等边三角形PBC.他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图14（2）中的更大的等边三角形.试描述图形的变化过程.x3，x4，且x3＜x4. 若1＜b＜2，则x1，x2，x3，x4的大小关系为______（用“＜”连接）.

图14

答案：（1）x≤1或x≥2；

（2）补全的函数图象如图11所示；

（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为acm.对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形.试画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围.

问题解决：（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为____.

答案：（1）△PBC是等边三角形.

（2）答案不唯一.例如，如图15，以点B为中心，在矩形ABCD中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度，得到△P1BC1；再以点B为位似中心，将△P1BC1放大，使点C1的对应点C2落在CD上，得到△P2BC2.

（3）答案不唯一，如图16所示.

图15

图16

4.问题提出：（1）如图17（1），△ABC是等边三角形，AB=12,若点O是△ABC的内心，则OA的长为____.

问题探究：（2）如图17（2），在矩形ABCD中,AB=12，AD=18,如果点P是AD边上一点，且AP=3,那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，试说明理由.

问题解决：（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图17（3）所示.管理员王师傅在点M处的水管上安装了一个喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水.于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌）.同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了.

如图17（3），已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交于点E，又测得DE=8m.根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少为多少时，才能实现他的想法？为什么（结果保留根号或精确到0.01m）？