广泛联系·突出思想·适度创新<br/>——2017年中考“图形与坐标”专题命题分析

广泛联系·突出思想·适度创新
——2017年中考“图形与坐标”专题命题分析

2018-03-16谷晓凯张海营

中国数学教育（初中版） 2018年3期

谷晓凯，张海营

（河南省许昌市普通教育教学教研室，河南省基础教育教学教研室）

2017年全国各地区中考考试内容确定的主要依据为《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）.图形与坐标是《标准》中图形与几何部分的三大版块之一，主要包括坐标与图形位置、坐标与图形运动.一方面，这部分内容是用代数方法研究图形的基础，是几何问题由直观到量化的飞跃；另一方面，许多代数问题也可以借助图形与坐标的思想方法来研究.因此，图形与坐标部分试题的命制必然要关注与其他知识的广泛联系，在联系中突出对数形结合等思想方法的考查，并在联系中适度创新.下面笔者将对2017年全国各地区部分中考试卷中有关图形与坐标的试题进行归纳分析，并在此基础上提供复习建议，给出模拟试题.

一、试题考点分析

《标准》中规定的第三学段课程内容条目共155条，其中图形与坐标部分共9条，约占5.8%.从每个条目中描述目标的行为动词来看，有5条属于结果目标要求的“掌握”，有2条属于过程目标要求的“探索”.因此，对于此部分试题应该更多关注坐标知识在新情境中的运用，通过与其他知识相结合来命制试题；同时，试题应具有丰富的思想性，以考查学生的探索能力.

通过对2017年全国各地区100余份中考试卷的分析，发现图形与坐标部分试题的设计，与《标准》的要求基本一致.

（1）分值方面.绝大多数试卷以图形与坐标为核心考查对象的部分约占总分的6.0%.但是，考虑到此部分试题的广泛联系性，相关题的分值占比有较大差别.例如，湖北咸宁卷、山东日照卷、山东菏泽卷、江苏常州卷都超过了25.0%，而安徽卷、湖南张家界卷、湖南永州卷都只占约10.0%.

（2）题量及题型方面.各地不一，多数设置3～4道题目；选择题、填空题、解答题都有涉及.

（3）难度方面.侧重考查单一知识点的容易题较少，综合考查坐标与一次函数、反比例函数相结合的中等题较多，坐标与反比例函数、几何图形（性质、运动）相结合的较难题常作为选择题、填空题中的压轴题出现，而坐标与二次函数相结合的难题常被放置在解答题的压轴位置，总体上容易题、中等题、较难题的比例约为2∶4∶4.

（4）考查内容方面.《标准》规定的9个条目都有相应的题目.其中，用有序数对表示物体的位置，平面直角坐标系的有关概念，用方位角和距离刻画两个物体的相对位置.位似背景下点的坐标变化规律等知识点常单独考查，而根据坐标确定点的位置，由点的位置确定坐标，图形运动（平移、对称、旋转）中点的坐标变化等知识点的考查方式比较丰富，其中以广泛联系下的综合考查为主.

由于坐标概念本身兼具数（有序数对）的属性和形（坐标系中的点）的属性，因此数形结合思想的体现就是此部分试题命制的应有之义，而对于图形的运动，主要研究的是变化过程中的不变性.在这里，这种不变性主要是通过坐标转化为数的变化规律，以更精确的研究图形运动的本质，这是典型的变与不变思想的体现；另外，当点在图形上运动时，满足某些特定条件的特殊位置是需要特别关注的，而这样的特殊位置往往不止一个，这就需要分类讨论，通过坐标确定这些特殊位置常需要设出未知量，继而列方程求解，这又体现了方程思想的运用.

创新意识是《标准》提出的十个核心概念之一，在设计试题时，应该关注并予以适当体现.在2017年中考试卷中，部分地区的命题人在图形与坐标部分设计了体现创新意识的题目.例如，内蒙古呼和浩特卷第16题、湖南益阳卷第21题、浙江台州卷第24题等.这些创新型试题的设置不但提高了试卷的信度，更有助于引导师生跳出题海，关注本质，起到了良好的导向作用.

二、命题思路分析

综观2017年全国各地区中考试卷在图形与坐标部分的命题思路，一如既往地围绕对核心知识和主要数学思想方法的考查，有较好的稳定性，并在稳定的基础上有所创新，体现出广泛联系、突出思想、适度创新的特点.以下结合典型例题进行分析.

1.广泛联系

（1）与作图的联系.

例1（四川·眉山卷）在如图1所示的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1.格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别是(-4,6),(-1,4).

图1

（1）试在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；

（2）试画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

（3）试在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标．

此题围绕一个放在正方形网格中的格点三角形展开，第（1）小题要求建立平面直角坐标系，指向《标准》对此部分的基本要求，根据题中给出的顶点A，C的坐标，可确定平面直角坐标系的位置.对于第（2）小题的求解需要先确定点B的坐标，然后再根据关于x轴对称的点的坐标关系，确定△A1B1C1的顶点坐标，画出图形，此小题符合《标准》中以正半轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标的要求.第（3）小题与最短路径问题相联系，关键是要找出点B1或点C关于y轴对称的点的坐标.总体来看，试题的设计有效考查了学生对图形与坐标部分基本内容的理解.

类似地，广西南宁卷连续三年在第21题的位置设置了同类题目，分别对坐标与三角形平移、坐标与三角形对称、坐标与三角形位似、坐标与三角形旋转进行了考查，只是在最后一道小题中与不同的知识进行了联系（一次函数、三角函数、扇形面积等）.

除了例1这样的设计形式外，对此部分基本内容进行考查的试题，更多被设计为选择题和填空题.例如，贵州六盘水卷第19题是通过给出围棋棋盘中两个棋子的坐标，要求写出黑棋C的坐标，用填空题的形式考查用有序数对表示物体的位置；河北卷第10题通过设置简单的情境，要求判断乙船的航向，用选择题的形式考查用方位角和距离刻画两个物体的相对位置；湖南长沙卷第16题是把给出三个顶点坐标的△ABO以原点O为位似中心，缩小为原来的,并给出点B′的坐标，要求写出点A′的坐标，以填空题的形式考查位似图形顶点坐标的变化.

（2）与图形的性质联系.

图形的性质是组成图形元素之间稳定的关系.一方面，把图形放在平面直角坐标系中，可以量化这种关系，从而为用代数方法解决几何问题搭建平台；另一方面，当给出图形中点的坐标时，常根据坐标的定义，过点向坐标轴作垂线，从而给图形增添了元素，并丰富了元素之间的关系.

例2（江苏·南通卷）如图2，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数的图象经过点A(5,12),且与边BC交于点D，若AB=BD，则点D的坐标为_____．

图2

此题把▱OABC放在平面直角坐标系中，给出点A(5,12),为了使平行四边形唯一确定，引入了一条过点A的双曲线，与边BC交于点D，且AB=BD.问题设置为求点D的坐标，实际上等价于求点B的坐标，即确定出平行四边形的位置.

解决此类问题的通法是设未知数，列方程求解.具体来说，可设点D的坐标为(m,),再把AB和BD分别用含m的式子表示，然后根据条件AB=BD列出关于m的方程，求解即可；当然，也可以设AB=BD=m，再用含m的式子分别表示出点D的横、纵坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征，列出关于m的方程.题中给出的点A(5,12)有两个作用：一是确定平行四边形的边OA的长；二是确定反比例函数的解析式.求点D的坐标可启发学生根据坐标的定义向x轴作垂线，构造相似三角形.由此可见，点的坐标在此题的设计中起着沟通数和形的作用.值得注意的是，此题是由2016年江苏南通卷第28题改编而来的，两道试题从考查的知识点到思想方法，都有较大的一致性.

像此题这样，把几何图形放在平面直角坐标系中，通过点的坐标与反比例函数图象结合设计试题的方式，备受命题者的青睐.例如，湖北荆门卷第12题是把等边三角形与反比例函数图象结合；辽宁辽阳卷第17题，是把正方形与反比例函数图象结合；浙江温州卷第15题是把矩形与反比例函数结合.

（3）与图形的变化联系.

《标准》中图形的变化部分包括图形的平移、对称、旋转和相似，而在图形与坐标部分，对坐标与图形的运动（平移、对称、位似）提出了基本要求.除此之外，还有一部分试题是把图形的变化放在平面直角坐标系中，以便从数的角度对图形进行更精确地研究.

例3（黑龙江·牡丹江卷）如图3，矩形ABCD的边BC在x轴上，点A在第二象限，点D在第一象限，AB=23,OD=4,将矩形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则点C对应点的坐标是（）.

图3

此题考查的知识点主要有旋转的性质、矩形的性质、解直角三角形，数学思想主要是分类讨论，而平面直角坐标系是将其联系起来的主要工具.题中的坐标系有两个作用：一是通过确定点C对应点的坐标研究矩形旋转的特殊位置；二是提供x轴，引入分类讨论.条件AB=23和OD=4实际上确定了Rt△ODC的大小，进一步即可求出OC的长及点D落在x轴上时矩形旋转的角度，这是计算点C对应点的坐标不可或缺的.

从命题者的角度来看，此题有两点值得商榷：一是试题的选项给了学生进行分类讨论的暗示，若设置成填空题是否更能提高试题的效度？二是题中的矩形并不确定，原因是只给出了AB的长，而没有确定AB的位置.如果把条件AB=23换成给出点A的坐标，是否能增加试题的严谨性？当然，矩形确定后最好把求点C对应点的坐标换成求点B对应点的坐标，这样既使点A的坐标得到了充分运用，又提升了试题的思维含量.

类似地，江西卷第12题是通过联系矩形的折叠求点的坐标；天津卷第24题是通过折叠放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片来设计相关问题.

（4）与函数联系.

点的坐标与函数有着天然的联系.首先，函数的解析式往往需要根据点的坐标，利用待定系数法来求；其次，函数图象上点坐标的特征常为问题的解决提供隐含条件；最后，函数与方程（组）及不等式的联系离不开特殊点的确定.

例4（北京卷）如图4，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与直线y=x-2交于点A(3,m).

图4

（1）求k，m的值；

（2）已知点P(n,n)(n＞0),过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数的图象于点N.

①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；

②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.

此题用已知横坐标的点A(3,m)把函数的图象与直线y=x-2联系起来，第（1）小题设置为求k，m的值，指向对函数图象中点坐标的意义和待定系数法的考查；第（2）小题引入了一个动点P(n,n)(n＞0),再过点P分别作平行于坐标轴的直线，从而构造出线段PM和PN，其中第①问通过令n=1把点P固定，对于线段PM和PN的数量关系，设置成判断并说理的形式指向对简单探究能力的考查；第②问要求根据条件PN≥PM,写出n的取值范围，自然的想法是分别求出PN=,PM=2（PM为定值隐含了变与不变的数学思想），然后解不等式但是这个不等式显然超出了对初中学生的要求，因此题目设置为结合函数图象，直接写出n的取值范围，指向对数形结合意识的考查.

从考查的知识点来看，例4虽然主要涉及函数的相关知识，但是坐标的定义和函数图象上点坐标的特征却是解决这类问题的关键.在近三年的全国中考试卷中，每年都有一半以上的试卷会设计这类题目，并以解答题为主.

2.突出思想

（1）通过规律探究体现数形结合和变与不变的思想.

例5 （辽宁·锦州卷）如图5，Rt△OA0A1在平面直角坐标系内，∠OA0A1=90°,∠A0OA1=30°,以OA1为直角边向外作Rt△OA1A2，使∠OA1A2=90°,∠A1OA2=30°,以OA2为直角边向外作Rt△OA2A3，使∠OA2A3=90°,∠A2OA3=30°,按此方法进行下去，得到Rt△OA3A4，Rt△OA4A5，…，Rt△OA2016A2017，若点A0()

1,0,则点A2017的横坐标为______．

图5

此题把一个角为30°的Rt△OA0A1放在平面直角坐标系中，给出顶点A0的坐标()1,0,这样，这个三角形的位置和大小就能够确定下来，然后按照相同的方法连续向外作相似的直角三角形，出现一系列的顶点A1，A2，…，并要求点A2017的横坐标.设计成求点A2017的横坐标是因为点A2017不能在图形上找到，从而引导学生通过探究系列顶点的规律来推出所求.这里的规律应从数和形两个方面来寻找.首先，从形的方面，要能确定点A2017的位置，结合图形，由30°角可知顶点位置的规律为12个一循环，因此点A2017在射线OA1上；从数的方面，要能找出系列线段OA0，OA1，OA2，…的长的规律，即,再根据形的特征，发现点A2017与落在x轴的正半轴上的点A2016的横坐标相等，可得答案

《标准》中明确指出，为考查学生的探究能力，可以设计探索规律的问题.而结合图形与坐标部分的知识命制探索规律类试题，更能发挥数形结合的优势，多角度的设置问题.例如，黑龙江七台河卷第10题，把例5中直角三角形的斜边设置成给出解析式的直线，与函数的知识联系起来.山东聊城卷第17题，把圆和直线y=x结合起来，其都在不同程度上拓展了设置问题的视野.实际上，这类问题的核心虽然是规律探索，但是规律的本质是数与形在变化中的不变性，即变与不变的数学思想.

（2）通过函数综合体现数形结合和分类讨论的思想.

例6（河南卷）如图6，直线y=-x+c与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，B.

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；

图6

（2）M(m,0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N.

①点M在线段OA上运动，若以点B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；

②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其他两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”.试直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值.

此题是以直角坐标系中相关联的直线和抛物线为背景，探究三角形和点的特殊位置关系的问题.题干设计非常简洁，用给出坐标的交点A把直线和抛物线y=-x2+bx+c有机联系起来，构成题目的基本图形.第（1）小题主要指向用待定系数法求抛物线的解析式，坐标起着提供方程组的作用；第（2）小题引进了一个位于x轴上的动点M(m,0),以及过点M且垂直于x轴的直线，这样随着点M的运动，垂线与直线的交点P，与抛物线的交点N也在运动，进而出现了不断变化的两个三角形△BPN和△APM.第①问求这两个三角形相似时点M的坐标，解决途径是通过相似提供的比例式得出关于m的方程，解方程求出点M的坐标，这里体现了典型的方程思想的运用.另外，两个三角形相似的情况不止一种，需要分类讨论，自然渗透了分类讨论的思想.在这个过程中，通过对坐标提供的数和式子进行运算，确定了图形的特殊位置，正是形缺数时难入微；第②问以赋予点新定义的形式呈现，本质是探究三个点的特殊位置关系，在这里又一次体现了方程思想和分类讨论思想.需要注意的是，通过解方程求出的m的值，应结合图形予以取舍，恰是数缺形时少直观，而数与形的这种完美结合，完全依赖于点的坐标搭建起的桥梁.

据不完全统计，2017年全国各地区中考试卷中，超过80%的试卷出现了这种类型的试题，其中大多数在全卷压轴的位置.究其原因，除了抛物线和各种几何图形的组合易于综合考查多个知识点外，更与试题所蕴涵的丰富的数学思想有关.

3.适度创新

例7（浙江·台州卷）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根，比如对于方程x2-5x+2=0,操作步骤如下.

第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点A(0,1),B(5,2);

第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；

第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图7（1））；

第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n即为该方程的另一个实数根.

（1）在图7（2）中，按照“第四步”的操作方法作出点D（保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）；

（2）结合图7（1），证明“第三步”操作得到的m就是方程x2-5x+2=0的一个实数根；

（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的实数根，试直接写出一对固定点的坐标；

（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P(m1,n1),Q(m2,n2)就是符合要求的一对固定点？

图7

此题是浙江台州卷的压轴题，试题把找一元二次方程根的问题与相似三角形中“一线三直角”模型以动手操作的形式联系起来.这种联系能够成立的根本原因是三角形相似提供的比例式能转化成一个一元二次方程，联系的工具是放在直角坐标系中的三角板（提供互相垂直的两条边）.题面以操作步骤的形式展开，便于学生动手尝试，在操作的过程中，学生可能会产生3个疑问：（1）一对固定点怎么来的？（2）找出来的点的横坐标是方程的根吗？如何证明？（3）能推广到一般情况吗？针对这些疑问，试题设置了4道小题：第（1）小题通过操作找出另一个点，绝大多数学生都能完成，符合压轴题起点要低的要求；第（2）小题通过特例证明，初步回答学生的第（2）个疑问，并为第（4）小题的解决提供思路.两个固定点以坐标的形式给出，意在启发学生根据坐标的定义过固定点向x轴作垂线，构造相似三角形；第（3）（4）小题遵循从特殊到一般的规律，围绕此题的难点（固定点的确定）进行设置，解决了学生的（1）（3）两个疑问.其中，第（3）小题以“直接写出一对固定点的坐标”的形式呈现，学生既可以根据特例通过猜想给出答案（指向对合情推理能力的考查），又可以在解决第（4）小题后根据关系式给出答案（体现了从一般到特殊的数学思想）.对后两道小题的解决，需要学生有较强的观察能力、推理能力和运算能力，符合压轴题能力立意的要求.

总体来看，试题的设计体现了良好的创新意识.首先，题干设计有新意，展现了数学的奇异之美，学生通过阅读和操作，能发现问题并提出问题，这正是创新的基础；其次，4道小题的设置针对学生的疑问，层层递进，自然能引发学生的思考，而思考正是创新的核心；最后，问题的解决遵循先通过操作、类比、分析得到猜想和规律，再加以验证的思路，这正是创新的重要方法.

从命题者的角度来说，这样的创新思路来源于知识点之间的创新性联结.求一元二次方程的根是一个典型的代数问题，从数形结合的角度来看，可以与二次函数的图象结合，但是此题却别出心裁地把一元二次方程通过点的坐标与相似三角形的知识相联结，正是这种创新性联结成就了这样一道极富创新意识的试题.

三、复习建议

结合以上分析，针对2018年图形与坐标部分复习备考，提出如下建议.

1.加强对中考试题的纵向研究

全国各地区的中考试题普遍有明显的传承性，体现出稳中有变，以稳为主的特点，对图形与坐标部分的考查也不例外.例如，广西南宁卷连续五年在第21题的位置上设置了考查坐标与图形运动的同类题；天津卷连续五年的全卷倒数第2题，都是把几何图形的变化放在平面直角坐标系中设置问题，等等.因此，复习阶段加强对中考试题的纵向研究，有助于把握命题方向、认清试题特点、明晰复习重点.

2.关注与其他知识的横向联系

分析发现，单独针对图形与坐标部分命制的试题较少，大多数试题是在与其他知识联系的基础上命制，有一定综合性.因此，复习时应该注意精选例题，把与此部分内容有深度联系的试题作为范例，对例题的分析要注意挖掘平面直角坐标系及点的坐标在题中的作用.

3.注重对思想方法的提炼

在与此部分内容有关的试题中，蕴涵的数学思想异常丰富.首先，几乎每道试题都要用到数形结合；其次，运动变化中的变与不变、图形存在性问题中的分类讨论、求解问题时的方程思想等也经常涉及.当然，解题策略，通性、通法，基本图形等都是需要予以特别关注的.虽然学生对数学思想的感悟和通性、通法的积累主要靠常态的教与学，但是在复习阶段，结合精选的例题及时总结分析相应的数学思想方法，对提高学生的解题能力还是大有裨益的.

4.重视复习课中的运算教学

此部分试题的一个主要特点就是用代数方法研究几何图形，这对学生的运算能力有一定的要求，因此，在复习中要重视运算教学，避免只重视解题思路的明晰，而忽视解题过程的完善及结果的正确等眼高手低的现象.