基于尖点突变理论的拱坝安全性分析

2018-03-16陈迪辉包腾飞金盛杰钱秋培

三峡大学学报(自然科学版) 2018年1期

陈迪辉包腾飞金盛杰钱秋培

(1. 河海大学水文水资源与水利工程科学国家重点实验室，南京 210098； 2. 河海大学水资源高效利用与工程安全国家工程研究中心，南京 210098； 3. 河海大学水利水电学院，南京 210098)

拱坝是在平面上凸向上游的空间壳体结构，能充分利用筑坝材料的强度．由于其具有较好的经济性和安全性，在国内外水利行业得到广泛使用．目前研究拱坝整体安全度的方法有很多，常见的有刚体极限平衡法、有限元法、模型试验法等，有限元法通过突变性判据、塑性贯通判据、收敛性判据等，判断拱坝-地基系统失稳时的安全度[1]．然而采用不同的判据得到的拱坝安全度却存在着差异．研究表明：突变性判据以坝体或坝肩部分岩体的测点位移变化判断拱坝的运行状态．该方法的优点是具有明确的物理意义．但在分析过程中受主观性因素影响较大，并且考虑到失稳部位的不明确，选取的监测点和相应的位移方向没有统一的认识，分析结果存在不确定性；塑性区贯通判据概念清楚，意义明确，但是在有限元计算中，塑性区分布受模型材料的弹性模量和泊松比等参数影响较大，且塑性区贯通没有一个明确的客观指标，因此采用这种方法来判断具有局限性；有限元迭代计算不收敛判据所得结果整体安全度偏高，且干扰因素较多，采用的有限元模型网格形式、计算单元的类型、计算边界范围、不同计算软件、选择的破坏准则等均对模型收敛性有不同程度的影响[2]．

为了解决上述判据的缺点，本文将引入尖点突变模型，以此作为拱坝整体失稳的判据．突变理论是20世纪70年代初期发展起来的理论，可研究连续发展的过程中由量变到质变的突然现象．突变理论的优点在于不需要考虑整个系统的复杂微分方程，仅需几个控制变量就可以分析系统的特性[3，4]．由于突变研究的是系统整体的变化，体现系统在外界作用下的状态，对于拱坝这种复杂非线性系统，可以通过局部特征点的变化来反应出整个拱坝地基系统从稳定状态变为失稳状态时的变化过程[5，6]．因此，选用关键部位的特征变量来判断拱坝整体安全稳定是可以接受并且可信的．

为分析拱坝安全状态随折减系数改变而发生失稳破坏的情况，建立拱坝-地基系统整体安全度分析的尖点突变模型，以特征值Δ的正负作为拱坝整体失稳的判据，Δ>0，拱坝处于稳定状态，Δ<0，拱坝处于失稳状态[7]．此方法可以有效地避免常规判据中主观性的影响，最终实现拱坝安全度的定量分析[8]．

1 尖点突变理论

突变模型有7种不同形式，尖点突变是目前最广泛应用的模型，形式简单，只有两个控制变量，容易构造临界点，且直观性强．尖点突变模型的标准势函数形式为

V(x)=x4+ux2+vx

(1)

式中，x为状态变量；u，v为控制变量．

V(x)表示一种势函数，表征系统储存的能量．尖点突变模型的标准势函数对应的相空间是三维的，当系统处于稳定状态时，势函数仅有一个极值，而当系统处于失稳状态时，势函数有多个极值．通过式(2)求解势函数的极值点，其平衡曲面由式(2)确定，式(2)在对应空间是一个有褶皱的连续曲面，被分为上、中、下三叶．上下叶是稳定平衡区，中叶是不稳定平衡区[9]．

(2)

在平衡状态下，空间相点在上叶或下叶变化，当空间相点到达上下叶的边缘时，瞬间跨越中叶，系统发生突变．体系的奇点集必须符合式(1)一阶导和式(1)二阶导为零的条件，即

(3)

联立式(2)、(3)，消去X，得到分叉集．根据尖点分叉理论，整理得特征值：

Δ=8u3+27v2

(4)

式(4)可以用于表征系统的状态，当Δ>0时，系统处于稳定状态；当Δ≤0时，系统发生突变，处于失稳状态．

对于三维拱坝模型，随着材料强度的折减得出每级强度条件下模型的典型点位移值，假定位移是强度折减系数的连续函数，并进行Taylor公式展开，可得：

V(k)=a0+a1k+a2k2+

a3k3+a4k4+…+ankn+…

(5)

式中，a0，a1，…，an，…为待定系数；k为强度折减系数．一般取(5)式4次截断，可以满足精度要求，得到

V(k)=a0+a1k+a2k2+a3k3+a4k4

(6)

对上式作变量代换，化为尖点突变模型的标准形式．

V=c4x4+c2x2+c1x+c0

(7)

式中：

(8)

当c4>0时，有

V=y4+uy2+vy+c0

(9)

当c4<0时，有

V=-y4-uy2-vy+c0

(10)

根据尖点分叉集理论，得到分叉方程为：

Δ=8u3+27v2=0

(11)

当Δ=8u3+27v2>0，拱坝处于稳定状态；当Δ=8u3+27v2<0，拱坝处于失稳状态[10，11]．

2 拱坝安全度实例分析

2.1 计算模型与计算方法

某混凝土拱坝，最大坝高为55 m，选用的拱坝三维非线性有限元计算模型范围：坝体上游方向取1倍左右坝高(55 m)，坝体下游方向取2倍左右坝高(110 m)，左右岸坝肩岩体各取1倍坝高，河床建基面以下取1倍坝高．整体剖分17 992个结点，单元数为15 668，其中坝体的节点数和单元数分别为1 130和812．整体模型如图1所示．图2为选取的坝体下游面典型点位置分布．边界条件为底面三向固定约束，上下游边界为顺河向约束，左右岸边界为横河向约束．

图1 整体模型的剖分

图2 坝体下游面典型点分布

坝体及地基材料采用基于Mohr-Coulomb屈服准则的弹塑性本构模型，坝体及地基的主要材料参数见表1．

表1 坝体、断层和坝基的材料参数

选用强度折减法分析评价拱坝-地基系统的整体安全度，选取荷载计算工况如下：计算工况为正常蓄水位，其他荷载包括坝体自重和地基自重．施加荷载和边界条件后，以0.5倍强度折减系数为间隔，逐步降低材料强度，直到有限元计算不收敛为止．然后依据有限元计算收敛情况，进一步加密折减系数[12，13]．

2.2 结果分析

在强度折减系数达到6.0时计算不收敛．从5.0开始，以0.1为间隔，加密强度折减系数再次进行计算，折减系数达到5.9时有限元不收敛．

考虑到位移的物理意义更为明确，且在实际工程中，位移观测资料具有测量精度高，便于采集等特点，对坝体-地基系统进行安全性分析时采用关键测点的位移而非应力．选取坝体下游面8个典型点，绘制不同强度折减系数下典型点位移的变化情况．图3为典型点位移随折减系数的变化曲线．

图3 坝体典型点顺河向位移与强度折减系数关系曲线

从图3可以看出，各典型点位移有相同的趋势，在折减系数达到5.0前位移基本保持不变，从5.0开始逐渐减小．由于坝肩部位受水压温度等荷载影响较小，且位移变化不太明显，从图中可以看到右坝肩典型点位移的计算值和变化值均小于拱冠梁截面典型点，对模型的计算精度会产生影响．同时考虑到突变模型应用在实际工程中，位移计的读取精度有限，故选用坝体拱冠梁处的位移进行特征值的分析．

表2 典型点顺河向位移突变特征值Δ

为求解特征值Δ，取对应前5个k与典型点顺河向位移进行四次多项式拟合，代入方程式(1)～(11)，获得不同折减系数ki对应的突变特征值Δ，表2为拱冠梁典型点在不同强度折减系数下的特征值Δ．

由表2可知，在k=5.7时有3个点Δ值大于0，有1个点Δ值小于0．因此，从安全的角度来考虑，通过位移尖点突变模型判据，可以定量地确定该拱坝-地基系统的整体安全度为5.6．

2.3 结论

采用传统的位移突变判据，依据图3可以大致判断出该拱坝-地基系统在正常蓄水位工况下的安全度介于5.5～5.8之间，但无法得出确切的数值．本文引入尖点突变模型，分析典型点位移与折减系数之间的联系，得出拱坝的安全度为5.6，两种判据综合比较可知，位移尖点突变判据的结果在合理范围内，验证了尖点突变理论的可行性．