空间绳系组合体拖曳动力学分析及振动控制

王 班，郭吉丰，易 琳,3，周卫华，樊星星

(1. 杭州电子科技大学机械工程学院，杭州 310018；2. 浙江大学电气工程学院，杭州 310027;3.广东电网有限公司电力科学院, 广州 510080)

0 引 言

在轨捕获技术在空间在轨服务及空间碎片捕获等方面具有重要意义。为适应非合作目标物的捕获需求，柔性捕获的概念逐渐成为近年来研究的热点之一[1-3]。空间绳系捕获系统作为柔性捕获的典型代表，一般采用任务平台+空间系绳+末端捕获装置的方式，其中末端捕获装置可以是绳网或飞爪。末端捕获装置捕获到目标物后，任务平台与目标物通过空间柔性系绳连接，组成一空间绳系组合体，而后通过任务平台的喷气推力将组合体拖曳至指定的坟墓轨道从而完成整个捕获离轨任务。

针对空间绳系组合体的拖曳离轨的研究近年逐渐广泛起来。文献[4]提出了一种包含加速、平衡、旋转和返回的4阶段绳系组合体离轨方案，并进行了仿真分析，为工程实现提供了技术思路；文献[5-7]主要对拖曳过程中的组合体进行了多个自由度之间的耦合分析。文献[8]根据最优控制理论，利用连续常值推力实现了圆形轨道间的轨道转移。针对拖曳过程中组合体的摆动问题，不少学者进行了控制策略研究。文献[9-10]主要针对拖曳过程中组合体的摆动问题，分别设计了分层滑模控制器及高阶滑模控制器；文献[11]进一步在张力受限条件下，基于分层滑模控制器设计了欠驱动张力控制律，实现拖曳绳系组合体姿态稳定控制；文献[12]考虑张力下限约束，利用直接配点法设计了绳长加速率最优控制律；文献[13]对拖曳绳系系统进行了摆动分析，构造了使组合体摆动衰减的期望绳长收放速率并据此设计了一种闭环张力控制律，对拖曳过程中的摆动进行抑制。上述研究在空间绳系组合体拖曳离轨的初步方案、动力学特性及以摆动抑制为控制目标的稳定控制方面做出了贡献。然而，由于系绳弹性的影响及目标物初始速度的扰动，组合体沿系绳方向会出现一定的振动现象，给任务平台带来较大的冲击，并有可能导致系绳的松弛，进而引起系绳缠绕，这是拖曳过程中所不允许出现的，必须采取一定的控制策略对拖曳过程中的组合体进行纵向振动控制。

本文以切向连续推力作用下的空间拖曳绳系组合体为研究对象，利用拉格朗日方程建立组合体面内动力学模型，对无系绳收放控制的组合体横向摆动与纵向振动进行耦合分析，提出一种双闭环振动控制策略，并进行仿真分析与地面实验验证。

1 空间绳系拖曳组合体动力学建模及分析

1.1 动力学模型

如图1所示，任务平台质量为m1，目标物质量为m2，两者由系绳连接，系绳自然长度为l0，考虑弹性形变的系绳长度为l，组合体的质心O运行在轨道半径为R的圆形轨道上，ω为轨道角速度，OeXY为地心惯性坐标系，Oxy为组合体质心轨道坐标系，系绳与x轴夹角为θ，拖曳过程中，任务平台作用有沿组合体质心轨道切向的常值连续推力F。作如下基本假设：

(1) 拖曳绳系组合体运动在二维平面内，暂不计面外运动的影响；

(2) 任务平台和目标物都当作质点进行处理，不计其姿态运动的影响；

(3) 系绳为轻质材料，且直径较小，质量可忽略不计；

(4) 小推力模式下，轨道高度R及轨道角速度ω变化幅度极小，分析时将这两项视为常量；

(5) 不计大气阻力、太阳光压及日月引力等摄动的影响。

根据拉格朗日方程可得空间拖曳绳系组合体的面内动力学方程为：

(1)

其中m=m1m2/(m1+m2)为组合体等效质量，T为系绳张力，对于不同材质的系绳张力T具有不同的形式。这里采用线性弹簧阻尼模型，并考虑到系绳只能受拉不能受压，有：

(2)

其中

δ=l-l0

(3)

为系绳弹性形变，k和c分别表示系绳线性刚度和阻尼系数。由于系绳长度是可变化的，系绳线性刚度系数和阻尼系数与系绳原长成反比[14-15]，所以有：

(4)

其中，E为系绳弹性模量，A为系绳横截面积，cc是绳长为标定长度lc的系绳阻尼系数，可通过实验进行测定。

式(1)中的第一式为空间拖曳绳系组合体纵向振动方程，第二式是空间拖曳绳系组合体横向摆动方程。由式(1)可知，空间拖曳绳系组合体的纵向振动与横向摆动相互耦合，在拖曳过程中将表现出复杂的动力学行为。

1.2 摆振耦合分析

针对无系绳收放控制的空间拖曳绳系组合体(即系绳原长l0保持恒定)进行摆振耦合分析。令：a=F/m1,L0=l0+ma/k,x=l-L0有：

(5)

应用多尺度法，设式(5)的解为：

(6)

将式(5)中的sinθ、cosθ及1/(L0+x)做如下展开

(7)

将式(6)和式(7)代入式(5)并比较ε的一次幂有：

(8)

式(8)的解即为方程(5)的一阶近似解，由式(8)可知横向摆动方程中耦合的纵向振动项系数大小为2ω/L0，纵向振动方程中耦合的横向摆动项系数大小为2ωL0，由于L0一般较大(100米以上)，所以2ω/L0≪2ωL0。即无系绳收放控制时，空间拖曳绳系组的横向摆动与纵向振动存在耦合，且摆动对纵向振动影响较大而纵向振动对横向摆动影响较小。

以上分析与仿真结果表明，无系绳收放控制的空间拖曳绳系组合体，横向摆动对纵向振动的耦合作用较大，在组合体拖曳过程中的稳定控制中，一般需要先将摆动控制到平衡点附近，而后再进行组合体纵向振动控制。

2 纵向振动控制

2.1 控制策略

前面分析已知，由于耦合作用，对拖曳绳系组合体一般先进行横向摆动控制而后进行纵向振动控制，接下来将以组合体的纵向振动控制为目标进行控制系统设计。

(9)

即当组合体的横向摆动处于稳定状态时，短时内组合体的纵向振动不受质心轨道运动及横向摆动的影响，组合体的运动简化为任务平台及目标物质心沿轨道坐标系x轴的一维运动，并设二者相对于轨道坐标的速度分别为v1、v2。考虑通过安装在任务平台上的系绳收放装置控制系绳张力T实现组合体的振动抑制。

系绳收放装置样机所使用的电机为两相导通型三相六状态方波无刷直流电机，设U、Ia、ra、La和Ke分别为两相电枢绕组两端电压、电机电流、相间电阻、相间电感和电机常数。由于电机转速较高，一般需配合减速器才能匹配负载特性，设减速器的减速比为i，传动效率为η，由电机电压平衡方程并结合电机电磁转矩可得

(10)

其中，φ为卷筒旋转角度，卷取系绳方向为正，释放系绳方向为负，r为卷筒半径，τc为卷筒受到的库仑摩擦力矩，b为黏性摩擦系数。

由式(3)可知任务平台与目标物之间的距离减去它们之间的系绳原长得到的就是系绳的弹性形变，当弹性形变为负数时表示系绳自然长度大于任务平台与目标物之间的质心距离，系绳处于松弛状态，此时δ为系绳松弛部分的长度。将式(3)两边同时取时间的二阶导数有：

(11)

由式(9)-(11)可得绳系组合体系统关于δ、φ、Ia的状态方程：

(12)

其中，系绳张力T由式(2)给出，系统以任务平台的推进力F以及电机的电压U作为输入，包含系绳收放装置的组合体模型传递函数可设为W(s)。空间拖曳绳系组合体的控制目标是通过对系绳张力T的控制使任务平台和目标物以相同的速度运动，二者速度差Δv=0，形成稳定组合体。

任务平台与目标物之间的质心距离即为系绳实际长度l，所以有

(13)

代入式(9)可得

(14)

其中Km=m/m1=m2/(m1+m2)为目标物与组合体的质量比，可设计阻尼控制律，令

(15)

则系绳释放速度将会按照指数形式衰减稳定在零点，此时

T=KTpΔv+KmF

(16)

其中KTp=mK为速度衰减系数，质量比Km为喷气力补偿系数。另一方面，系绳收放装置是张力的执行机构，需通过电机电压实现张力的跟踪，据此设计的双闭环振动控制系统如图4所示。设置速度差期望值Δvd=0，与实际速度差比较后经比例控制器(比例系数为KTp)，外环输出经前馈补偿器补偿后作为张力控制内环的输入参考Td，将张力参考输入与张力反馈比较得到张力控制偏差输入张力环PID控制器，控制器的输出量为驱动电机电压U，与推进力F共同作用于空间拖曳绳系组合体。

2.2 算例仿真分析

仍以GEO轨道的拖曳绳系组合体为例，组合体初始参数设置为与1.2节中的参数相同，系绳收放装置根据研制的样机做如下参数设置：电机额定电压U=12 V，电机常数Ke=1.4×10-2V/(rad·s-1)，相间电感La=4.64×10-5H，相间电阻ra=0.36 Ω，减速器效率η=0.81，减速比i=12，卷筒半径r=0.03 m，卷筒库伦摩擦力矩τc=8.31×10-2N·m，粘性摩擦系数b=8.9×10-5N·m/(rad·s-1)。

任务平台与目标物初始存在速度差Δv=0.5 m/s时的仿真结果已在1.2节给出，如图3所示。由仿真结果可知系绳大部分时间处于松弛状态，系绳松弛时较易发生缠绕现象，应极力避免，且此时系绳所受冲击力较大(约为134 N)。

任务平台与目标物初始速度差同样设置为Δv=0.5 m/s，采用双闭环控制的仿真结果如图5所示。系绳最大张力由134 N降到16 N左右，极大地减小了冲击力；初始时刻目标物与任务平台之间的相对速度最大，速度环输出的张力给定也为最大，系绳对两个刚体的拉力作用越大相对速度减速效果也越明显，相对速度以指数函数衰减至0，得到的结果与2.1节中理论分析结果一致；系绳收放装置一共释放了约16 m长的系绳，其放绳动作极大地减小了系绳伸长速率，达到了抑制振动的缓冲效果，且系绳一直保持张力非负的绷紧状态，表明所提出的双闭环振动控制策略是有效的。

2.3 地面验证实验

组合体振动控制地面实验示意图如图6所示，对于重锤，由牛顿定律有

(17)

而式(9)可以写成如下形式

(18)

式(17)与式(18)具有相同的表达形式，根据动力学相似性，可以用如图6(a)所示的重锤下落实验在地面重力环境下验证所提出的组合体振动控制策略的有效性。

实验系统如图6(b)所示，主要由系绳收放装置、电机驱动器、数字控制系统、模数转换模块(ADC)、系绳、重锤和位移检测系统组成。系绳收放装置固定在高度0.76 m的实验台上，实验台两端安装有摩擦阻力很小的滑轮，系绳从系绳收放装置引出在两端滑轮间来回缠绕数圈以增加实验中系绳的长度，系绳末端悬挂有一端面水平的重锤。激光位移传感器固定于重锤的上方，无接触测量重锤端面的位移，激光位移传感器可以输出数字或模拟信号，模拟信号经过ADC模数转换后可以输入控制系统，数字信号则可通过RS485通讯方式将位移信息传输至计算机进行处理和记录。

作为比对，首先将电机电磁刹车抱死使卷筒不能自由转动并切断电机电源，将重锤从高处自由下落模拟组合体初始存在速度差的情形。无张力控制实验结果如图7所示，在t=0.7 s时刻质量为0.9 kg的重锤从493 mm的高度自由下落，到t=0.9 s时到达420 mm高度系绳开始张紧并产生张力，重锤穿过400 mm高度的平衡位置后开始减速直至到达最低点370 mm高度，系绳张力也达到最大约22 N，此后重锤回弹振动(最大振幅约为20 mm)大约2个周期后稳定在张力与重力平衡的位置，整个过程持续1 s左右。可以发现，无张力控制情况下，系绳受到重锤下落的冲击力较大，冲击后纵向振动幅度也较大。

将电机电磁刹车抱闸打开并接上电机电源，通过系绳收放装置对重锤进行双闭环振动控制，重复以上实验过程得到双闭环控制作用下的实验结果如图8所示。重锤开始下落后控制系统通过驱动电机释放系绳来减缓重锤下落速度带来的冲击，张力控制系统根据速度环给定的张力值控制系绳张力，随着重锤速度减小张力也逐渐减小，最后到达平衡位置。从图8(a)中可以看到最终重锤平衡位置比图7(a)中下降了70 mm，推算张力控制机构释放了约70 mm长的系绳，通过释放此70 mm的系绳使组合体的纵向振动被完全抑制，实现了组合体的快速稳定。从8(b)可知系绳最大张力则控制在10 N左右，与无张力控制结果相比，重锤对系绳的冲击力大大减小，实现了防冲击的振动控制目标。

3 结 论

本文针对切向推力作用下的空间绳系组合体的拖曳离轨问题，进行了动力学建模、摆振耦合分析及组合体振动控制策略研究，得到如下结论：

(1) 空间绳系组合体面内拖曳过程中，摆动与纵向振动相互耦合。无系绳收放控制条件下，组合体的横向摆动对纵向振动的耦合作用较强，纵向振动对组合体的横向摆动耦合作用较弱。

(2) 无系绳收放控制条件下，组合体初始横向摆动会导致纵向振动，而初始纵向振动导致横向摆动幅度很小，可忽略不计。因此，空间拖曳绳系组合体在分步稳定控制中，一般应先进行摆动控制，再进行振动控制。

(3) 针对空间两航天器之间存在相向情况下的相对运动，提出一种以张力控制为内环和速度差控制为外环的双闭环振动控制策略，通过系绳的张力控制实现任务平台与目标物的同向同速运动，可有效减小系绳冲击并避免系绳松弛。

[1] Bischof B,Kerstein L.ROGER robotic geostationary orbit restorer[J].Science and Technology Series,2004,109:183-193.

[2] Pearson J, Carroll J, Levin E. Active debris removal: EDDE, the electrodynamic debris eliminator [C]. Proceedings of 61st International Astronautical Congress, Prague, SSI, October 29-31, 2010.

[3] Brophy J R, Culick L, Friedman L. Asteroid retrieval feasibility study [M]. Tucson, Arizona: The University of Arizona Press, 2012.

[4] Liu H T, Yang L P, Zhang Q B, et al. An investigation on tether-tugging de-orbit of defunct geostationary satellites [J]. Sci China Tech Sci, 2012, 55(7):2019-2027.

[5] 赵国伟，张兴民，唐斌，等． 空间绳系拖拽系统摆动特性与平稳控制[J]． 北京航空航天大学学报，2016, 42 (4): 694-702．[ Zhao Guo-wei, Zhang Xing-min, Tang Bin, et al. Properties of pendulum motion of tether tugging system and its stable control [J]．Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2016, 42 (4): 694-702]

[6] 孙亮，赵国伟，黄海，等．面内轨道转移过程中的绳系系统摆振特性研究[J]．航空学报，2012, 33(7):1245-1254．[Sun Liang, Zhao Guo-wei, Huang Hai, et al. Analysis of librational and vibrational characteristics for tethered systems during orbital transfer in plane [J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2012, 33(7):1245-1254.]

[7] Zhao G W, Sun L, Tan S P, et al. Librational characteristics of a dumbbell modeled tethered satellite under small, continuous, constant thrust [J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part G: Journal of Aerospace Engineering, 2013, 227(5): 857-872.

[8] Cho S, McClamroch N H. Optimal orbit transfer of a spacecraft with fixed length tether[J]. The Journal of the astronautical sciences, 2003, 51(2): 195-204.

[9] Sun L，Zhao G W，Huang H． Stability and control of tethered satellite with chemical propulsion in orbital plane [J]． Nonlinear Dynamics, 2013, 74(4): 1113-1131．

[10] 刘贺龙, 何英姿, 谈树萍. 绳系卫星的一种新型高阶滑模控制器设计[J]. 宇航学报，2016, 37(7): 839-845.[Liu He-long, He Ying-zi, Tan Shu-ping. A Novel High-Order Sliding Mode Controller Design for Tethered Satellite [J]. Journal of Astronautics, 2016, 37(7): 839-845.]

[11] 王秉亨, 孟中杰, 黄攀峰. 利用受限张力的拖曳变轨欠驱动姿态稳定策略[J]. 航空学报, 2016, 37(12):3783-3792.[Wang Bing-heng, Meng Zhong-jie, Huang Pan-feng. Underactuated attitude stabilization for space tethered towing using constrained tension.[J] Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2016, 37(12):3783-3792.]

[12] 钟睿, 徐世杰. 基于直接配点法的绳系卫星系统变轨控制[J]. 航空学报, 2010, 31(3):572-578.[Zhong Rui, Xu Shi-jie. Orbit-transfer control for TSS using direct collocation method.[J] Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2010, 31(3):572-578.]

[13] 刘海涛, 张青斌, 杨乐平,等. 绳系拖曳离轨过程中的摆动抑制策略[J]. 国防科技大学学报, 2014, 36(6):164-170.[Liu Hai-tao, Zhang Qin-bin, Yang Le-ping, et al. Oscillation suppression strategy during tether-tugging reorbiting[J]. Journal of National University of Defense Technology, 2014, 36(6):164-170.]

[14] Krupa M, Poth W, Schagerl M, et al. Modeling, Dynamics and control of tethered satellite systems [J]. Nonlinear Dynamics, 2006, 43(1-2): 73-96.

[15] Barkow B, Steindl A, Troger H. A targeting strategy for the deployment of a tethered satellite system [J]. IMA Journal of Applied Mathematics, 2005, 70(5): 626-644.