数学教学中基于最近发展区的目标构造教学法实践

吴志鹏

摘 要：目标构造教学法的三阶段分别为目标形成的最近发展、目标的寻求与构造、目标的实现.教学时教师应明确学生的现有发展水平，在此基础上不断地以新的目标为引导，构造使目标得以实现的方法，自然生成.

关键词：最近发展区；水平；目标； 构造；生成

维果茨基的最近发展区理论告诉我们，教学必须着眼于学生的最近发展区，立足于学生的学习实际即最近发展水平，这样才能有效地超越最近发展区，达到下一个发展区[1].因此教学时应明确学生的现有发展水平，在此基础上不断以新的目标为引导，构造使目标得以实现的方法，自然生成.本文以《 简单的三角恒等变换（一）》一课教学为例，阐述基于最近发展区目标构造教学法的教学三阶段，即“目标形成的最近发展区—目标的寻求与构造—目标的实现”是如何得以执行并实现的.

一、教学过程设计

引入：写出二倍角公式，哪个公式最精彩？（预设：余弦的二倍角公式，因其公式有三种表示方法）

[sin2α=2sinαcosα]

[cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α]

[tan2α=2tanα1-tan2α]

设计意图：复习旧知识，从熟悉的知识背景入手，引出要探究、解决的新问题，直指目标，同时检测学生完成目标要达到的最近发展水平，即是否熟练掌握余弦的二倍角公式.

例1：试以[cosα]表示[sin2α2][，][ cos2α2，][tan2α2].

问题1：观察余弦的二倍角公式[cos2α=2cos2α-1]，角是怎样变化的？（预设：倍角[2α]用单角[α]表示，是常见的角的转化思路）

问题2：倍角[2α]与单角[α]是一个什么样的概念，你能再举例说明吗？那么半角[α2]是否也能用单角[α]表示 ？又如何表示？同样，从余弦二倍角的另一个公式[cos2α=1-2sin2α]，你又能获得哪些结论？

设计意图：以目标为指引，利用已有余弦的二倍角公式，构造出半角[α2]与单角[α]的关系式，即[cosα=2cos2α2-1]，变形得：[cos2α2=1+cosα2]，实现半角[α2]用单角[α]表示，自然生成教材中的半角公式，并且实现降次，也称为降次公式.同样可得：[sin2α2=1-cosα2]，也自然生成例1的结论.

例2：（1）求证[sinαcosβ=12sinα+β+sinα-β].

设计意图：通过证明判断学生的最近发展区水平，从等式的右边入手证明，即判断学生是否懂得两角和与差的正、余弦展开公式.（大部分学生能完成证明任务，说明大部分的学生能达到目标所需最近发展区水平）

教学小实验：让学生观察上述等式（不说明干什么）半分钟，让几个同学上台，同时，教师擦去等式的右边，让上台的学生写出[sinα·cosβ]公式.（上台5个学生只有2个学生写对）

设计意图：从学生的板演，判断学生的知识掌握情况、内化情况，思维是否突破达到下一个发展区，判断学生对知识是否短时记忆、机械识记，还是理解性的识记.

问题3：如何写出[sinα·cosβ]的公式？（教师引导）

①[sinα·cosβ]藏在你学过的哪些公式中，请尽量写下来，并排列整齐.

②观察你所写下来的公式，你能找到實现目标的方案吗？动手做一做.

③想一想，你还能得到哪些“附属物”？

设计意图：通过问题的设计让学生知道目标的构造“源泉”，学会用所学公式去构造目标，解决问题，同时能用所学的方法，去构造新的目标，学以致用.

解析：

[sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ，]

[sinα-β=sinαcosβ-cosαsinβ，]

上述两式相加得：[sinαcosβ=12sinα+β+sinα-β].

同样，学生可类比获得[cosαsinβ]，[sinα sinβ]，[cosαcosβ]等在教材的练习中出现的六个关于积化和差、和差化积的公式（附属物）.

（2）证明：[sinθ+sinφ=2sinθ+φ2cosθ-φ2].

设计意图：走进构造法的大观园，让学生通过已有的构造经验，以目标为导向去创造、去构造，以获得构造的方法，体验构造带给人一种创造性的快乐，从而达到解决新问题的目标.

法一：第（2）小题的结构与第（1）小题相仿，为了构造出与目标结构一样的式子，则只需令[α+β=θ，α-β=φ]，则将[α=θ+φ2，β=θ-φ2]代入（1）式即得[sinθ+sinφ=2sinθ+φ2cosθ-φ2.]（同法构造）

法二：从等式的右边出发，由[sinθ+φ2cosθ-φ2]存在于[sin（θ+φ2+θ-φ2）]和[sin（θ+φ2-θ-φ2）]的展开公式中，再将两个公式相加可得结论.（根据上题思维的“源”，类比构造）

法三：从等式的左边出发，要证的角[θ，φ]，而目标的角为[θ±φ2]，用目标的角构造出所求的角，则有[θ=θ+φ2+θ-φ2，φ=θ+φ2-θ-φ2]，则有[sinθ+sinφ=sin（θ+φ2+θ-φ2）+sin（θ+φ2-θ-φ2）=]

[2sinθ+φ2cosθ-φ2].（对比构造，思维发展，有一定的创造性）

例3：求函数[y=sinx+3cosx]的周期，最大值和最小值.

设计意图：考查学生求三角函数性质所需要的函数解析式[y=Asin（x+φ）]是否能由两角和与差的正、余弦公式逆用获得，最近发展水平是否能达成新目标的取得与突破.

解析：求函数[y=sinx+3cosx]的周期，最大值和最小值，即为求三角函数的性质，可转化为[y=sinx+3cosx=][212sinx+32cosx=2sinx+π3]，再求其性质，即所求的周期[T=2πω=2π]，最大值为2，最小值为[-2].（大部分学生可转化求解）

问题4：将上述函数中的系数一般化可得[y=asinx+bcosx]，又如何将它化为标准形式[y=Asin（x+φ）]求性质呢？动手将[y=Asin（x+φ）]展开，再与[y=asinx+bcosx]进行比较，说说你的发现？

设计意图：通过比较[y=asinx+bcosx]与[y=Asin（x+φ）]式子的结构特征，寻找两种形式的内在联系，化解问题的难点，构造目标并求出系数A，进而转化为三角函数的标准形式求性质.

解析：

[y=Asin（x+φ）=A（sinxcosφ+cosxsinφ）]对比[y=asinx+bcosx]可知[a=Acosφ，][b=Asinφ，]而[cos2φ+sin2φ=1]，则有[（aA）2+（bA）2=1]，得[A=a2+b2且aa2+b2=cosφ，ba2+b2=sinφ，]即得函数[y=asinx+bcosx]=[a2+b2]（[aa2+b2sinx+ba2+b2cosx]），

则有[y=asinx+bcosx]=[a2+b2]（[sinxcosφ+cosxsinφ]）=[a2+b2][sin（x+φ）]，其中[aa2+b2=cosφ，ba2+b2=sinφ.]

二、教学效果及反思

本教学法适用于数学概念的形成或性质、公式等的形成，是一种建构、建模课型，它是以目标达到所需的最近发展区为基础，寻找目标所需的材料（如公式、等价关系、表达式等）为支架，构建实现目标的一种教学方法，因此授课时要有明确的教学目标，要有达成目标所需的知识储备即最近发展区知识作为支撑，教学的第一階段可通过提问、练习、板演等进行简单的测评，看看所学目标的最近发展区知识是否达标，若没达标，则需进行补充或巩固，否则要想对下一个发展区进行突破就成了“无源之水”和“无本之木”；第二阶段为寻找和目标相关的一些知识，用来构造目标，此时应以观察为先导，分析为武器，仔细观察、分析，去发现式与式、数与式、数与数以及问题的各个环节之间的联系、找出“已知”（条件）和“所求（证）”（目标）之间的联系纽带，为构建目标创造条件；有了前面两个阶段的储备，第三阶段目标的生成也就“水到渠成”.

本节课教学对学生学习思维（特别是构造性思维）的开启当属比较成功，教学中教师在三个例题中分别用了“公式中用单角表示倍角，通过二倍角公式，你能用半角表示单角吗？”学生学会了类比构造目标的思维方法；“你知道[sinα cosβ]藏在你学过的哪些公式中？”让学生知道构造思维的“源”，并学会“思”；“比较[y=asinx+bcosx]与[y=Asin（x+φ）]式子的结构，找一找，有什么发现？”学生学会比较构造的思维方法.此类型的教学法是让学生构造思维开启建立在最近发展区的水平上，思维、语言的稚化，则是引导思维突破进入下一个发展区水平的关键，为什么有的教师平时上课时会有许多学生反映，上课听得懂，但自己一动手就不会，其原因之一就在于教师的授课不自然，思维的起点较高，没有稚化，无法建立在学生的现有发展区上，未能遵循其原则[2].如例3，很多教师在授课时直接把辅助角公式给学生或是先提取系数[a2+b2]，再进行说明为什么要这样提取，类似违背最近发展区原则的情况也是常见的，因而导致学生在没教师指导下就不会做题目，而本类课型能够很好地克服教学中的一些缺陷，教学生怎样去“思”，从哪里去捕获思的“源”，让学生知其然，还知其所以然；从学生例2第（1）小题中构造出来的一些附属公式以及例2第（2）小题的分析与解答，也能明显地感知学生构造思维的突破和学习成就感的提升，并能顺利地达到下一个发展区水平.

总之，一种教学法的应用要通过不断地实践与思考，在实践中前行，在总结、反思中发展，笔者通过一阶段的教学实践，欣喜地发现学生的思维有了很好的发展，认为此类教学法是可行的、有益的，提出来与读者分享.

参考文献：

[1]栗彩霞，宋瑞，王双兵.基于模型思想的教学实践与反思——以“任意角三角函数”一课为例[J].中国数学教育（高中版），2016（3）：24.

[2]胡安林.例谈稚化思维的教学策略[J].中学数学教学参考（上旬），2016（1/2）：38.