对“分数除法计算要转化为乘法计算”的思考

葛敏辉 张瑶

摘 要：分数除法的计算教学通常会变成计算法则的传递和应用，对于“为什么要转化为乘以除数的倒数”这一问题师生大多模糊不清，甚至难以理解。本文就“为什么要把分数除法转化为乘法计算”这一上位知识进行分析阐述，把分数除法转化为乘法计算主要是为了提高运算效率，是一种数学的选择，也是培养学生数学素养的需要；同时还提出了可以从乘除法的运算性质、分数的基本性质、分数的意义、分数除法的意义、商不变的规律等维度来理解这个法则，这有助于大家在教学这一内容时能更准确地把握实质，科学施教。

关键词：分数除法；乘法；转化；理解；学生

分数除法的计算教学中有一個重要的问题会让很多教师感到困惑，那就是“为什么要把分数除法转化为乘法计算”，学生对此也很不理解。为什么到第三次学习除法时（前面已经学过了整数除法、小数除法），要把除法转化为乘法来计算？为什么把分数除法转化成“颠倒相乘”（即除以一个不是零的数，等于乘这个数的倒数）？本文试图阐述我们的一点思考，与大家分享交流。

一、把分数除法转化为乘法计算是为了提高运算效率

其实“颠倒相乘”并不是计算分数除法的唯一方法。浙江省新思维教育科学研究院的姜荣富老师在《定义确定法则、转化产生价值》一文中提出，把分数除法转化为分数乘法计算主要是为了提高运算效率。怎么理解呢？我们可以从两个方面来解释：一是分数乘法的计算法则比较简单，分子相乘的积作分子、分母相乘的积作分母，能约分的要先约分。通过约分，又可以把参与运算的数变小来提高运算效率。显而易见，把分数除法转化为乘法来运算是比较简单的。二是转化之后乘法的运算律都可以派上用场了。我们经常会遇到学生问“除法有没有运算定律”之类的问题，可见学生心中也希望除法能像乘法那样，可以使用运算律来提高运算效率。因此，当我们把除法的计算转化为乘法计算时，除法与乘法就合二为一了，运用运算定律可以更好地提高运算效率。

在高等数学的教材中可以发现，通常对于一个数学问题的解决往往只需在加法、乘法的运算演绎中完成。这是因为引进了负数和倒数后，就能将减法和除法的计算分别转化为加法和乘法来处理。而实现这种运算方法之间的第一次转化就出现在小学数学教学分数除法时。可见，分数除法的计算教学对于学生以后的数学学习将产生很大的影响。因此，我们完全有理由抓住这一教学契机，结合计算法则的教学，采用小学生能接受的方式，帮助他们初步地感知这种转化思想及其作用与价值。

二、把分数除法转化为乘法计算是一种数学的选择

正是因为大多数教师不容易解释为什么是“颠倒相乘”，缺乏关注学生的已有经验和思维发展，所以在教学中为什么“颠倒相乘”这一内容就成了一个吞得下却消化不了的“桃核”。其实有理数四则运算的法则，是在大家实践的过程中归纳提炼出来的，分数除法的运算法则也是如此。张奠宙教授指出：“这些运算法则其实是经过人为的选择。分数除法的颠倒相乘，也是一种数学的选择。”

看来，计算分数除法的方法不是唯一的，亦有很多研究者就提出了其他的一些方法，比如“通分法”“分子分母相除法”等。事实上，在中国古代还有在古埃及、古巴比伦都出现过别的计算方法，但随着历史的发展，最终还是“颠倒相乘法”成了人们的选择！让“颠倒相乘法”成为“赢家”的主要原因是因为它的简捷易行，它具有概括性和通适性。你想，如果用别的方法来解决分数除法计算，在算法上会不会出现很多麻烦和复杂的情况呢？特别是在连除或混合运算时，会给学生带来很大的难处和挑战。那么，作为一种运算技能，必然是要往方便操作的方向发展的，因此其他方法就自然被淘汰了。

三、把分数除法转化为乘法计算是培养学生数学素养的需要

因为“颠倒相乘法”的算理解释过于抽象，很难理解，所以出现了“教师不愿上、学生学不会”的尴尬现象。教材编委在编制分数除法和教师在呈现计算教学时，都是希望通过直观的模型来帮助学生理解算理的。但事实证明，大多数学生并没有因此而学得轻松和明白。作为已经学习了整数乘除法、小数乘除法、分数乘法的五年级学生来说，可以通过形式推理和抽象概括的方式来理解算理，这对于他们的数学后续学习和个性思维展现都具有十分积极的作用。浙江省特级教师顾志能老师在《教学，多站在教育的角度》一文中曾指出：“学会抽象化、形式化是学生成长的重要路径，也是数学教育的重要目标。”事实上，不是所有的数学问题都适合通过直观、形象的方式来解释，很多数学知识其实都是数学内部抽象与演绎的结果。因此，逐步从具体直观走向形式抽象，完成数学知识的形式化、结构化理解，这是培养学生数学素养的需要。同时需要指出的是，小学五年级也是发展学生抽象思维和形式推理的关键时段，这就需要我们在课堂上有意识地提供有助于学生抽象思维能力培养的平台。“颠倒相乘法”正是一座能够承载这种使命、影响后续数学学习的桥梁。

那么，怎样可以帮助大家理清这个“转化”呢？可以从哪些维度来通过形式推理和抽象概括理解算理呢？我们觉得至少可以从以下五个维度来理解：

第一，从乘除法的运算性质来理解。

根据分数和除法的关系可以知道：分子相当于除法的被除数，分母相当于除法的除数，即a÷b=■（b≠0），因此我们可以得出如下转化过程。

■÷■

=■÷（4÷5）

=■÷4×5

=■×（5÷4）

=■×■

即■÷■=■×■

第二，从分数的基本性质来理解。

我们知道，分数乘法的计算方法是分子乘以分子，分母乘以分母。那么，分数除法是否也应该是分子除以分子，分母除以分母呢？我们一起来验证。

分数的除法：■÷■

=（8÷9）÷（2÷3）

=8÷9÷2×3

=8÷2÷9×3

=（8÷2）÷（9÷3）

=■

通过再次运用乘除法的运算性质，我们验证发现这种方法是可行的。那么分数除法为什么不选择这种方法呢？如果用这样的算法会常有除不尽的时候，这就给计算带来了麻烦。因此，利用分数的基本性质来理解也是一种变通的方式。

转化（1）：我们在被除数的分子和分母同时扩大相同的倍數时，可以选择除数中分子和分母相乘的积作乘数，这样便于在做除法时分子和分母都能除尽。例如：

■÷■

=■÷■

=■÷■

=■

=■

=■

=■

=■×■

转化（2）：我们还可以使被除数和除数的分子和分母各自同时扩大相同的倍数，这样使得被除数与除数的分母相同（有人称为“通分除”）。例如：

■÷■

=■÷■

=■÷■

=■

=（4×3）÷（5×5）

=■

=■×■

即■÷■=■×■

第三，从分数的意义上来理解。

分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。例如■÷3，就是把■平均分成3份，每份是多少，也就是求■的■是多少。算式是■×■，所以■÷3=■×■。

一个分数的分母扩大到原来的几倍和分子缩小到原来的几分之一，其结果是一样的。相反，分母缩小到原来的几分之一和分子扩大到原来的几倍，其结果也是一样的。例如：

■=1和■=1

■=■和■=■

因此，分数除法的分子部分除以一个数（0除外），也可以变为分母部分乘以这个数；分母部分除以一个数（0除外），也可以是分子部分乘以这个数。例如：

■÷■=■=■=■=■×■

即■÷■=■×■

第四，从分数除法的意义上理解。

一个数的■是6，求这个数。在解答时，我们可以根据分数除法的意义列式为6÷■。就是说，把一个数平均分成3份，取其中的2份是6，求这个数是多少。也可以先求出1份是多少，再求出3份是多少。1份是6÷2=3，3份是3×3=9，所以6÷■=6÷2×3=■×3=6×■。

第五，从商不变的规律来理解。

商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。根据商不变的规律，我们在计算■÷■时，可以把■扩大成1，除数必须乘■。除数乘■，要使商不变，被除数也必须乘■，即■÷■=■×■÷■×■=■×■÷1=■×■。

综上所述，能得出“颠倒相乘法”的路径有很多，用单一的思路框住学生的思维进行模仿操作是不太可取的。正如弗赖登塔尔所言：“理解算法的最好途径是发现它，没有什么比依靠自己的发现更令人信服的。”因此，在深化课程改革的今天，深入分析数学与学生的联系，探讨学生的数学思维发展，尝试进行教学改变就显得很有必要。