浅谈学习数学概念的习惯

孙恒来

【摘要】数学概念是反映事物在量或形方面本质属性的抽象思维形式.各种数学能力，如运算、逻辑思维、空间想象能力等，都以概念为基础.但很多学生在学习中对数学概念学习不重视，或只限于一知半解，把“会解题”作为数学学习的唯一目的，导致在后续学习中很难有提升空间，或在解题中经常出现一些概念性的错误，而无法得到有效纠正.

【关键词】数学概念；策略；理解；表述

数学概念是指反映事物在量或形方面本质属性的抽象思维形式.数学概念是数学内容的基本点，是逻辑导出定理、公式、法则的出发点，是建立理论系统的着眼点.同时，它又是学生认知的基础，是学生进行数学思维的起点.

一、概念学习的策略

概念形成主要依靠对感性材料的抽象概括，而概念同化则主要依靠对感性经验的抽象概括.因此，感性材料或经验是影响概念学习的重要因素.相应的概念学习策略，具体从以下几方面来看：

（一）直观模型的运用

表示概念的符号，除语言文字外，还采用一种与概念相“匹配”的特殊视觉符号——直观模型.直观模型相对于语言媒介来说，直观，易于从知觉上加以理解，使学生迅速正确理解概念的内涵.甚至，仅凭直观模型，也能迅速理解把握概念，这是语言媒介所不及的.从心理学角度分析，当概念与表达概念的直观模型紧密地结合在一起时，这一直观模型将作为概念的代表物贮存在记忆中.当遇到与某一概念相匹配的直观模型时，就能直接领会与之相应概念的本质特征.当需要从记忆系统中提出某个可利用的概念时，常常先再现与之相应的直观模型，然后再进一步唤起对符号意义的回忆.因而，直观图形是知觉的重要媒介，它对学生掌握一类事物的本质特征，具有十分重要的意义.

（二）变式策略

数学概念的抽象、独立、逻辑性强等特点，常常会造成学生在概念学习时以偏概全的现象.所以，学生在学习数学概念时，所呈现的例子应从不同的方面体现出数学概念的本质，使学生达到对数学概念的充分理解.从语言学角度来说，“词感优先于词义”，只有培养了学生对数学概念语言的词感，才能使学生对数学概念充分掌握.

（三）正反例的明智组合

“概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于鉴别的信息.”在对概念进行举例时，为突出概念的本质属性，减少学习困难，应选取典型的概念例证，帮助我们在概念学习中抓住本质属性，理解概念的各个方面.而反例的适当使用可以使学生对概念的理解更加精确，并且还可排除无关属性的干扰，从另一个方面抓住数学概念或规则的本质，弥补正面阐述中的不足.

二、数学概念的理解

1.列举典型，正反例比较：当正面事例和反面事例有明显的区别时，列举典型实例，辨析概念.

2.利用图形、关键词等：借助形使概念形象化，通过对关键词的分析习得概念.

3.用自己的语言表述：如果学生自己用言语来表述相关属性，能更好地习得概念，且较容易把它应用于新的情境.学生若能用言语来表示无关属性，也能从中得益.

4.操作实物或模型：学生若能操纵实物或模型，比只让他们观看更容易习得概念.

5.及时反馈：反馈越是完整，学习效果越好.学生若能知道自己对错原因，将有助于学习.学生反馈信息要精确、完整，任何模棱两可的信息或错误信息，都会干扰概念学习.

6.充分思考：在学生学习概念时，必须为他们提供足够的时间来同化给予他们的信息.

7.融会贯通：许多概念是相互联系在一起习得的.所以理解概念要纵横联系、比较，达到融会贯通、灵活运用的目的.

三、数学语言的表述

从心理学角度看，语言表述实质上是个体内化（获得）以后的外化（理解），整个学习过程，就是个体内化与外化，具体与抽象螺旋式前进的认知过程.要将头脑中的概念传递出来，或者在已有概念的基础上形成高层次的概念，必须借助语言和符号表示.因此，采用恰当的学习策略，准确地进行数学语言的表述，不仅直接影响到逻辑推理的进行，也影响到数学概念的形成.另外，学生能够用自己的语言正确地叙述概念，解释概念所揭示的本质属性，这是学生深刻理解概念的一种标志.

数学语言其形式从广义上来讲可分为文字语言、符号语言、图形语言三种形式.同一个数学概念用文字语言表示则生动，用符号语言表示则简练，用图形语言表示则直观形象，但有些概念又可能用文字语言表示过于烦冗，用符号语言表示又嫌抽象，而图形表达有时又未必全面.学生必须学会将一種语言翻译成另一种语言.在数学概念学习中，各种形式之间的“转译”是数学语言表述的重要策略之一.从转移的途径来看，主要有：（1）数学语言之间的相互转化.如，将文字语言、符号语言转译成图形语言，以形助数，即“数形结合”数学思想的应用：将文字语言、图形语言转译成符号语言，即“符号化”数学思想的应用等等；（2）用习惯的形式符号（语言）来描述新概念.用习惯的形式符号和语言来描述新概念，意味着学生对概念的内涵和外延都有了比较准确和全面的理解，顺利地建立起了符号（语言）与概念的实质内容之间的内在联系，使学生在看到新符号时就能够联想起符号所代表的概念及其本质特征.从转移的过程来看，转移策略实际是发挥了语言在不同抽象层次上的作用，普通语言的通俗、具体；图形语言的直观、形象；符号语言的抽象化、形象化、精确化，使思维活动进行了若干次“具体—抽象—具体”的转折，因而，有助于数学概念的理解.