论高中数学解题后的“三思”

刘婷

[摘 要] 反思对于数学解题来说是极其重要且必要的一个环节，但很多学生因为学习时间紧等诸多因素却往往将其忽略了. 事实上，解题之后如果能对自己的思路与解答进行仔细的检查与讨论，对于解题本身以及自身思维来说都是一种积极的完善.

[关键词] 高中数学；解题后；三思

如果将获得答案作为解题的唯一目的，那么认知体系的结构化、系统化是远远不能达成的. 反思对于数学解题来说是极其重要且必要的一个环节，但很多学生因为学习时间紧等诸多因素却往往将其忽略了. 事实上，解题之后如果能对自己的思路与解答进行仔细的检查与讨论，对于解题本身以及自身思维来说都是一种积极的完善. 那究竟在解题之后应该反思些什么呢？笔者结合自身的体会来具体谈一谈解题后的“三思”.

思考过程，去伪存真

解数学题时因为审题不清、知识缺陷、考虑粗略、计算偏差以及语言表述不规范等因素往往会产生一些错误.因此，解题之后对解题过程与结论进行回顾、评价以及验证是十分有必要的，这个过程对于学生思维的批判性与严谨性培养来说也是极其重要的.

例1：数列{an}，{bn}为等比数列，当n≤3时，bn-an=n. 若数列{an}唯一，求a1的值.

这是某一次统考题中填空题的最后一题，大多数学生解题过程如下：因为n≤3时bn-an=n，所以b1=a1+1，b2=a2+2，b3=a3+3. 由{bn}为等比数列可知b=b1·b3，即（a2+2）2=（a1+1）（a3+3）. 整理得a3-4a2+3a1-1=0. 设等比数列{an}公比是q，则a1q2-4a1q+3a1-1=0. 因为等比数列{an}唯一，则满足条件的公比q唯一，则：（1）Δ=0，不符合题意，舍去；（2）Δ>0且其中一个根是0，得q=4，a1=，经验证，符合题意，综上，a1=.

试卷给出的参考答案与大多学生的答案是一致的.事实上，解题之后对解题过程进行反思就会发现问题：数列{bn}为等比数列，可以得出b=b1·b3，若b=b1·b3，数列{bn}为等比数列这一结论就不一定会得到. 所以，当Δ>0时，必须验证两个公比q是否都符合题意，如果一个不符合，另一个符合，即满足题意.

所以，应该有三种情况：（1）Δ=0，得a1=-1，经验证，b1=0，不符合题意，舍去；（2）Δ>0，且其中一个根是0，得q=4，a1=，经验证，符合题意；（3）Δ>0且其中一个公比q使{bn}中有项为0，且另一个q符合题意.

若b1=0，则a1=-1，关于q的方程有唯一解q=2；

若b2=0，则a2=-2，关于q的方程有两个解q=2或q=；

若b3=0，则a3=-3，关于q的方程有q=；

当q=时，a1=-；当q=2时，a1=-1. 经检验，a1=-，关于q的方程有两个解q=和q=. 当q=时，符合题意. 综上所述，a1=或a1=-.

其实这是一道由高考题改编而来的题目. 原题如下：已知等比数列{an}，{bn}，满足a1=a（a>0），b1-a1=1，b2-a2=2，b3-a3=3.

（1）若a=1时，求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{an}唯一，求a的值.

经比较，我们发现改编题中减少了a1>0这一条件，题目因此变得复杂.

经过上题中解题过程的反思，我们果然发现了问题，在纠正错误的过程中也使得解答更为完善，学生的认识以及思维的批判性、严谨性都得到了提升.

思考思路，提炼方法

验证解题过程的正确性自然是解题后反思的内容，但对题目的条件与结论进行重新审视也应该是包含其中的，这一过程的反思需要学生再次进行思维的动员、组织、辨认以及回忆，很多时候甚至需要学生进行问题构思的重新调整. 波利亚曾经说过这样一段话：有时候我们会很突然地得到一个巧妙的解法，就如一道灵感在我们脑中突然掠过，眼前豁然开朗就像看到了灿烂的阳光.由此可见，我们在解题时应有一题多解的思维意识与方向.

例2：已知函数f（x）=x+sinx，求实数a的取值范围，使不等式f（x）≥axcosx在0，上恒成立.

思路1（变量分离）：

当x=0时，f（0）=0≥0恒成立；

当x∈0，时，分离变量后，原命题等价于a≤在x∈0，上恒成立，设h（x）=，则h′（x）==. 再令函数φ（x）=x+x2sinx-sinxcosx，则φ′（x）=1+2xsinx+x2cosx-cos2x+sin2x=2xsinx+x2cosx+2sin2x>0，所以，函数φ（x）=x+x2sinx-sinxcosx在x∈0，上单调递增，φ（x）>φ（0）. 而φ（0）=0，即h′（x）>0，所以，函数h（x）=在x∈0，上单调递增.

因为===′，所以a≤2.

思路2（作差探究）：

直接构造差函数g（x）=f（x）-axcosx=x+sinx-axcosx.

当a≤0时，f（x）=x+sinx≥axcosx恒成立.

当a>0时，g′（x）=1+cosx-a（cosx-xsinx）=1+（1-a）cosx+axsinx. 注意到0≤cosx≤1，1-a<1，只要1-a≥-1，则（1-a）·cosx≥-cosx，1+（1-a）cosx≥1-cosx≥0.所以，讨论参数a和2的大小就可以了.

①当0

②当a>2时，存在g′（x）<0，显然函数g（x）在0，上不再是单调增函数，在区间0，上存在它的子集（0，x）使得g′（x）<0，而g（0）=0，矛盾产生. 嚴格表述为存在x0∈0，，使得当x∈（0，x0）时，有g′（x）<0，此时g（x）在（0，x0）上为单调减函数，从而g（x）0恒成立.

综上所述，实数a的取值范围为a≤2.

思路3（直接放缩）：

当x∈0，时，sinx

当a≤0时，f（x）=x+sinx≥0≥axcosx恒成立.

当0

当a>2时，g（x）≤x+x-axcosx=（2-acosx）x.

因为a>2，0<<1，0≤cosx≤1，所以存在x0∈0，使cosx0=，当x∈（0，x0）时，cosx>，故2-acosx<0，即g（x）<0，即在x∈0，上函数f（x）≥axcosx不恒成立.

综上所述，a≤2.

解题方法在这样的一题多解中变得更加完美，知识之间的联系也在这样多角度的思考中变得更加密切. 当然，教师也应该提醒学生不能一味强求“多解”，而应提醒学生在每一种解法上进行深入的理解與分析，并最终对各种解法进行提炼、对比和体会，学生思维的灵活性和发散性在分析与提炼各种解法的特点与优劣中得到了最好的锻炼.

思考结论，引申推广

对所研究的问题的背景与本质进行多方位的深化、联想、类比、推广以及引申，有利于揭示知识之间的联系，知识结构也能在这样的过程中建构得更为完美.

例3：若集合A，B满足A∪B={1，2}，试求有多少（A，B）这样的有序组.

解析：因为A∪B={1，2}，所以A？哿{1，2}，则集合A有，{1}，{2}，{1，2}四种情况，根据A∪B={1，2}，写出集合B，即A=，B={1，2}；A={1}，B={2}，{1，2}；A={2}，B={1}，{1，2}；A={1，2}，B=，{1}，{2}，{1，2}.共有9组有序组（A，B）.

反思1（一般化）：如果A∪B={a1，a2，…，an}呢？根据穷举的方法，能够得出一般性解法. 当A=，B={a1，a2，…，an}，一组解；当A={a1}时，B中必须含有a2，…，an共n-1个元素，是否含有a1有两种可能，相当于集合{a1}子集的个数；同理，当A为单元素集合时，集合B有两种可能，所以共有C·2组解. 以此类推，当A是{a1，a2，…，an}的k元子集时，集合B就有2k种可能，所以共有C·2k组解，因此，满足条件的有序组共有C·20+C·21+…+C·2k+…+C·2n-1+C·2n=（1+2）n=3n组.

反思2（特殊化）：由解题结论，联想一般性规律是否存在，若A∪B=，显然，只有1组解；若A∪B={a1}，显然，有3组解；再由例3的结论猜想，若A∪B={a1，a2，…，an}，有3n组解. 这个结论应怎样说明呢？集合A与B如图1所示，在a1，a2，…，an这n个元素中，每一个数只有图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ这3个区域位置可放，且有序组（A，B）在这n个元素放置好后被唯一确定，因此，本题所有有序组有3·3·…·3=3n组.

综上所述，学生如果能够将解题后的反思行为培养成自己解题中的一种习惯，那么，知识的有效迁移、内化、深化以及解题效率与正确率的提高都会有长足的进步与发展.