老师，这类对称性问题椭圆与双曲线可以类比吗

王思俭

很多同学对解析几何有畏难情绪，怕运算的现象由来已久，小题、基本题不愿意做，而综合题又做不出来，特别在考试时面对灵活性或综合性的圆锥曲线试题，多数采取放弃的态度。究其原因，相当一部分同学对圆锥曲线的相关性质理解不深、记忆不牢、运用不灵，导致内心崩溃，形成恶性循环，久而久之，深感数学总是那么难、那么枯燥无味，从而失去信心和勇气，更没有顽强拼搏的精神。鉴于此，笔者邀请几位同学就《合情推理与证明》中有关圆锥曲线相关性质的类比问题进行交流，旨在激发同学们的学习兴趣，唤起学习数学的热情，同时也引导大家关注课本、理解课本、用好课本。

生乙：要去掉B，C两点。

众生：Why？

生乙：因为三角形三个顶点不共线，因此点A不在直线BC上。

教师：很好！生乙的思维是很严谨的。求轨迹方程，一定要注意检验，一点不能多，一点也不能少，这就是轨迹的纯粹性和完备性。

生甲：如果要求的轨迹是双曲线，怎样变换题目条件呢？

教师：你问的很好！你们想一想：动点A的轨迹形状是由什么因素控制的？

生乙：应该是由斜率之积为常数所控制的，可以大胆猜想，当常数改为4/9时，轨迹方程就不是椭圆了，过程为：

教师：很好！你们解题之后一定要进行反思与回顾，生甲的质疑很及时，引起大家进一步思考，这样生乙又有发表自己见解的机会，我们也学到了更多的知识，

生丙：根据上述问题，可以归纳推广为：

教师：猜想很好！有推理过程吗？

当λA

当λ>O时，表示以A，B为实轴端点的双曲线（去掉A，B两点）。

生乙：不严谨，当λ=-l时，表示以A，B为直径端点的圆（去掉A，B两点）。最好还要讨论当-1<λ

教师：生乙补充得很好！细致到位，这种严谨求实的习惯应该坚持下去，同学们对这个问题还有什么想法吗？

生丁：我想研究椭圆中逆命题，看看是否成立？

教师：你的逆命题是什么？你能证明吗？

教师：正确！大家还有没有新的想法？

生戊：由于A，B两点是椭圓长轴端点，我提出新的猜想：A，B两点关于原点对称，斜率之积为定值。

教师：就请你将此猜想写出来，并给出证明。

教师：正确！生戊利用点差法证明了一般的结论，你们还有什么想法？

证明方法如同生成的方法。

生庚：还可以推广到一般的有心二次曲线，一般地：

若已知P1，P2是椭圆AX2+By2=l（A，B为不能同时为负数的常数且AB≠0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上异于P1，P2的任意一点，则直线PP1和直线PP2的斜率之积为定值，即kpp1kpp2=-A/B。

证明方法如同生戊的方法。

教师：很好！生戊提出椭圆中的一般问题，而生己类比出双曲线中的问题，生庚又给出了更一般的问题。这种质疑就是有效的学习，实现了“由薄到厚”量的增加，再“由厚到薄”质的飞跃，从而提高了自己的数学理解能力。

生甲：求解圆锥曲线综合题时可以直接用这些结论吗？

教师：这仅仅为你们提供了研究问题的思路，在具体解题时先证后用，就不会失分了。现在看一道例题：

已知椭圆x2/4+y2/2=l，过原点的直线交椭圆于P，A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B。求证：PA⊥PB。

生乙：这题我证明过的，我是利用直线与椭圆方程联立求出交点坐标，再证明PA，PB的斜率之积为-l，从而得到结论。运算量很大，算到不想算的地步，但最后我还是坚持证明出来了。

生丙：我也是先求出交点，再利用向量法证明的，运算量确实很大！

生甲：我求出交点P，A的坐标后，再写直线AB的方程，太烦琐了，于是就放弃了。

生丁：我是利用设而不求与点差法，找出直线AB与直线PB斜率的关系式，再通过直线AC与直线AP的斜率的关系式，消去相关量，证明了kpB·kpA=-1。

教师：你们几位都讲出了自己的解题策略，也展现了自己的思维过程，这一点很好！你们有没有发现生丁的证明过程中蕴含我们共同探讨的结论？

教师：你抓到问题了的实质，从而使得解题过程更加简洁明了。因此同学们要学会先分析问题，再拟定解决问题的方案和解决问题的具体策略。

生己：我们要不要研究它的逆命题是否成立？

教师：你的想法很好！结论与哪一个条件交换呢？

生己：要想利用上述性质，必须有PA关于原点对称，因此，将“PC⊥x轴”与“PB⊥PA”交换可能会成功的。

教师：很好！请你写出逆命题，并给出证明。

教师：很好！证明过程简洁明了，推理严谨！

生乙：可以探究上述结论是否对所有椭圆都成立。

生庚：不是所有椭圆都成立，例如已知椭圆x2/9十y2/6=l，过原点的直线交椭同于P，A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC并延长，交椭圆于点B.但PA与PB不垂直，看来不能。

教师：由于B点是由C点产生的，因此你们应该探究点C在何处时，才能使FA⊥PB，于是应该在线段PO上找一点Q，过Q点作x轴的垂线，垂足为C，你们试一试。

生庚：我猜想Q点是线段OP的中点，证明如下：

众生：你是怎么猜出来的？

教师：生庚的探究方法是分析法，这是推理与证明的重要方法，许多问题都是先用分析法探索思路，再用综合法书写具体解题过程。这样就得到命题：

生丙：对于椭圆x2/α2十y2/b2=l （α>b>O）满足什么条件？过原点的直线交椭网于P，A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，有PA⊥PB。

教师：你提出的问题很好！你会探究吗？

生辛：根据生庚的思路，我探究出一般的结论：

众生：太厉害了！

教师：很好！解题时往往要先猜后证。

生丁：前一段时间我做过一道题：

已知椭圆x2/4十y2=l，过原点的直线交椭圆于P，A两点，其中P在第一象限，过P点作x，轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B.求证：P点恒在以AB为直径的圆内。

按照前面几位同学的讨论思路是否也可以推广到一般情况？

教师：你可以大胆尝试！

下面该怎么办了？不会做了，请求援助！

教师：生戊的结论更具有一般性，上述的几道题都是它的特例，对于不同的椭圆，点Q的位置各不相同，同时也揭示了由各动点之间的相互制约关系，于是为命题者提供了可靠的依据，所以同学们在平时的学习中，要勇于质疑，不断提出新的问题，探究出新结论，在探索的过程中要大胆猜想，小心证明，从而训练自己的思维能力。