浅谈平面直角坐标系内三角形的坐标面积公式的推导及应用
2018-03-12李春红
【摘要：】本文在平面直角坐标系中寻求一种既能解决定点三角形面积问题，又能解决动点三角形面积问题的方法，并把这种方法以公式的方式固定下来，以提高学生对数形结合的理解能力和解决实际问题的能力.
【关键词：】坐标面积公式、定点、动点、逆向思维
初中阶段求三角形面积的方法有很多，常见的有直接计算法与割补法.本文在此基础上总结出一种利用坐标计算三角形面积的方法，对涉及平面直角坐标系中三角形面积问题时，用这种方法计算能省时省力.
一、平面直角坐标系内三角形的坐标面积公式的推导
例1，如图，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A（xA，yA）、B（xB，yB）、C（xC，yC），求S△ABC.
解：过点A 作EF∥x轴，分别过点B、C作y轴的平行线交直线EF于点E、F，
S△ABC= S梯形EBCF-S△AEB-S△AFC
= （yA-yB+yA-yC）（xC-xB）- （yA-yB）（xA-xB）- （ yA-yC）（xC-xA）
= [（ xA yB + xB yC + xC yA）-（yA xB + yB xC + yC xA）]
把上式中的xA yB 、 xB yC 、 xC yA、yA xB 、 yB xC 、 yC xA分别记为①、②、③、④、⑤、⑥，则三角形ABC的面积公式可以表示为：
则S△ABC= [（①+②+③）-（④+⑤+⑥）]
如果把三角形ABC的三个顶点的坐标按逆时针排序如下：
则公式S△ABC= [（①+②+③）-（④+⑤+⑥）]可以描述为：三角形三个顶点的坐标逆时针排序一周，则这个三角形的面积等于“大跨度积之和”与“小跨度积之和”之差除以2.
如果把三角形ABC的三个顶点的坐标按顺时针排序如下：
则 [（⑥+⑤+④）-（③+②+①）]=- [（①+②+③）-（④+⑤+⑥）]，这时S△ABC= [（①+②+③）-（④+⑤+⑥）]=- [（⑥+⑤+④）-（③+②+①）]，这个公式可以描述为：三角形三个顶点的坐标顺时针排序一周，则这个三角形的面积等于“大跨度积之和”与“小跨度积之和”之差除以2的相反数.
二、三角形坐標面积公式的应用
（一） 求定点三角形的面积
例2，、已知，三角形三个顶点的坐标分别为A（-2，3）、B（6，-1） 、
C（4，5），求S△ABC.
解法一（点的坐标逆时针排序一周）：
∴S△ABC= [（①+②+③）-（④+⑤+⑥）]（三角形坐标面积公式）
= [（2+30+12）-（18-4-10）]
= ×40
=20
解法二（点的坐标顺时针排序一周）：
∴S△ABC=- [（⑥+⑤+④）-（③+②+①）]（三角形坐标面积公式）
=- [（-10-4+18）-（12+30+2）]
=- ×（-40）
=20
（二） 求动点三角形的面积
例3，、如图，在直角坐标系中，直线AB与抛物线y=x2+x的交点A、B的坐标为A （-1，0）、B（1，2）.
（1）在抛物线上是否存在点Q （x，y），且-1 （2）在抛物线上是否存在点P，使S△ABP=2？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）结论：存在. 理由：∵点Q的坐标为（x，y），且在抛物线上， ∴Q点的纵坐标y=x2+x， △ABQ三个顶点的坐标逆时针排序一周如下： ∴S△ABQ= [（①+②+③）-（④+⑤+⑥）] （三角形坐标面积公式） = [（-y +2x+0）-（0+ y-2）] = （-2y +2x+2） =-y +x+1 =-（x2+x）+x+1 =-x2 +1 当x=- =- =0时，S△ABQ最大=1，此时y=x2+x=02+0=0. ∴满足条件的点Q的坐标为（0，0），S△ABQ的最大值为1. （2）结论：存在. 理由：设点P的坐标为（x，y），且在抛物线上， ∴P点的纵坐标y=x2+x， 以上△ABP三个顶点的坐标排序可能是逆时针（x<-1或x>1），也可能是顺时针（-1< x<1）， ∴ [（①+②+③）-（④+⑤+⑥）]=±2（三角形坐标面积公式） [（-2+ y +0）-（0+2x-y）]=±2 y-x-1=±2 （x2+x）-x-1=±2 x2-1=±2 可得两个方程：x2=3，x2=-1（无解）， 解x2=3，得x1=- ，x2= ，从而可得y1=3- ，y2=3+ . ∴满足条件的点P的坐标有两个点P1（- ，3- ）、P2（ ，3+ ）. 总之，三角形的面积用坐标的形式公式化以后，可为学生提供解决定点简单问题和动点复杂问题的通法，对解决实际问题起到事半功倍的作用. 参考书目 初、高中教材 《数学公式大全》 作者姓名李春红，邮编652100，电话13518705803，地址：昆明市宜良县第二中学，邮箱498396017@qq.com
