数学魔术的理论与实践

◎ 文、图︱王志伟（北京魔幻久久文化传播有限公司）

数学魔术，顾名思义，就是魔术背后的秘密是基于数学原理的，代数的、几何的和拓扑的，等等。但因它终归是魔术，所以在表演时，魔术师要借助各种形式上的转换，将数学原理隐藏不露，从而达到让观众大惑不解、惊奇万分的神秘效果。在魔术表演中，纸牌魔术顺理成章地成为数学魔术的理想载体。

接下来给读者呈现的数学魔术，就是以纸牌方式表演的；表演后我会揭示其数学原理。

一、表演过程

魔术师拿出十张扑克牌给观众看，是两组不同花色的A-5，假设是黑花A-5（S1-5）及红桃A-5（H1-5）。魔术师将十张牌按顺序面朝下拢成一摞，进行若干次切牌，然后开始发牌。他拿出最顶上的一张牌，牌面朝下放在桌面上，然后是第二张牌牌面朝下放在第一张的上面，依此类推，将前五张牌放在桌面上后，将手中其余五张牌直接整体面朝下放在桌面上，形成左右两摞牌叠。（图1、2）

图1

图2

图3

图4

图5

魔术师拿出四枚筹码，每枚筹码都代表一次轮换机会。一次轮换是指将某一摞牌的最上面一张放到这摞牌的最下面。这四枚筹码可由观众以任意方案分配给两摞牌，如观众把三枚筹码给了左边一摞，把一枚筹码给了右边一摞。（图3）观众分配好筹码后，魔术师将按筹码数目对牌摞的牌张进行轮换，如放三枚筹码的牌摞，每次轮换后的顶牌要放最下面，共轮换三次，放一枚筹码的，顶牌要放最下面一次。轮换结束后，魔术师将每摞牌最上面一张拿出放在一起，并拿出一枚筹码压住这两张牌。（图4）

图6

图7

第一轮操作后还剩两摞八张牌，每摞四张，以及三枚筹码；第二轮操作同样由观众决定，将三枚筹码在两摞牌上进行分配，魔术师再次按分配对牌张进行轮换，轮换结束后再将每摞牌的最上面一张拿出放在一起，并从三个筹码中拿出一枚压住这两张牌。（图5）

依此类推，将所有筹码用尽，此时两摞牌均剩一张，每枚筹码下均有两张牌。翻开剩下的这两张牌，呈现出两张牌是配对的效果；再依次翻开其他筹码下的牌也是配对成功的。哇！这就是魔术。（图6、7）

二、原理揭秘

这是一个利用数学的余数原理表现的纸牌魔术。

首先，魔术师要将十张牌多次切牌，如果不进行抽洗只是上下切牌，无论多少次，牌与牌之间的相对顺序依旧是不变的。假设切牌前往下数第一到第五张分别为 S1、S2、S3、S4、S5；第六张到第十张依次为H1、H2、H3、H4、H5。若干次完整切牌后，你会发现十张牌的相对顺序还是与之前相同。

假设切牌后是停在了S3、S4、S5、H1、H2、H3、H4、H5、S1、S2，魔术师将第一到第五张牌放在桌面上，从上往下依次为H2、H1、S5、S4、S3，这摞牌设为第一摞，此时将手中剩下的五张牌整个放在桌面上，从上往下依次为 H3、H4、H5、S1、S2，这摞牌设为第二摞。

两摞牌的配对顺序是第一摞牌的第一张对应到第二摞牌的第五张，第二张对应到第四张，以此类推。用数学语言表示如下：

在第一摞牌中从下往上处于数第n张（1≤n≤5，且n∈N*）的牌，在第二摞中处于第（6-n）张。在观众分配筹码时，假设将m个筹码（0≤m≤4，且m∈N）分配给第一摞，则分配给第二摞（4-m）个筹码。

第一摞中的第n张牌经过m次轮换后变为了第（ n-m）mod5（此处取非负整数）张牌，第二摞中的第（6-n）张牌经过（4-m）次轮换后变为了第[6-n-（4-m）]mod5（此处取非负整数）张牌。

假设（n-m）≡k[mod，（0≤k≤4且k∈N）]

[6-n-（4-m）]≡p（mod5），

（0≤p≤4，且p∈N）

因为[n-m]+[6-n-（4-m）]=2，所以k+p=2（mod5）

考虑到 k，p 的取值范围，k，p 的可能取值情况为：

（1） k=0，p=2 这种情况表示第一摞中第i张牌变为了第五张，第二摞中第（6-i ）张牌变为了第二张，即轮换后第一摞中的第五张牌与第二摞中的第二张牌相同

（2） k=1，p=1 这种情况表示第一摞中第 j 张牌变为了第一张，第二摞中第（6-j ）张牌变为了第一张，即轮换后第一摞中的第一张牌与第二摞中的第一张牌相同

（3） k=2，p=0 这种情况表示第一摞中第s 张牌变为了第二张，第二摞中第（6-s）张牌变为了第五张，即轮换后第一摞中的第二张牌与第二摞中的第五张牌相同

（4） k=3，p=4 这种情况表示第一摞中第t 张牌变为了第一张，第二摞中第（6-t）张牌变为了第三张，即轮换后第一摞中的第一张牌与第二摞中的第四张牌相同

（5） k=4，p=3 这种情况表示第一摞中第u 张牌变为了第四张，第二摞中第（6-u ）张牌变为了第三张，即轮换后第一摞中的第四张牌与第二摞中的第三张牌相同

第一摞轮换后从上往下变为α,β,χ,δ,ε，第二摞轮换后从上往下对应为α,ε,δ,χ,β

可以看出这两摞牌的第一张相同，将这对配对的牌取出后，与一枚筹码放在一起。两摞牌均剩余四张且互为倒序，筹码剩余三枚，再次经历上述类似过程总能保证 k+p≡2（mod4）。

因此有轮换后的两摞牌的第一张相同，将这对配对的牌取出后，两摞牌均剩余三张且互为倒序，筹码剩余 两枚。

如此过程重复，只要保证两摞牌互为倒序且每摞牌数量比筹码数多一，就会有 k+p≡2（modr）（此处 r 表示筹码数），经过任意方案的轮换后都能使两摞牌的第一张相同，其余牌互为倒序。直到每摞牌都只剩余一张自动配对。

照此方法找出所有配对纸牌，最终呈现出魔术效果。（待续）■