采样系统的一类脉冲观测器的设计
2018-03-10贾新春李雷马伟伟
贾新春,李雷,马伟伟
(山西大学 数学科学学院,山西 太原 030006)
0 引言
观测器是利用对象的量测输出来估计对象状态变量的一类系统。20世纪60年代初期,为了对状态无法直接量测的控制系统实现状态反馈, Majime，Kim和Willems等人提出了状态观测器的概念和构造方法[1-3]。目前,观测器技术已经在控制工程的许多领域得到了广泛的应用, 例如滤波[4]、扰动估计[5]、故障诊断[6-7]等。
针对不同的连续对象, 连续观测器的分析和设计问题被大量研究[6-9]。这类连续观测器有如下特征: 1)便于对连续对象进行分析和设计; 2)能够得到对象状态的实时估计。与此同时, 离散的观测器也受到较多关注[10]。这类离散观测器的主要特征是: 1)分析和设计简单, 容易由数字设备实现; 2) 收敛速度快, 状态估计误差的超调小。然而, 同时具有连续观测器和离散观测器特点的脉冲观测器却较少受到关注。针对带非线性项的块三角系统, 文献[11]考虑了一类特殊的脉冲高增益观测器的稳定性分析。不同于以上的工作, 本文针对一般的线性周期采样系统, 考虑一类脉冲观测器的分析和设计问题。该观测器在相邻的采样间隔之间, 依据对象模型连续运行, 来获得对连续对象状态的实时估计。当新的采样信号被观测器获得, 该观测器立即更新自身状态, 来快速调节估计误差。
符号说明:Rn(或Rn×m分别) 代表n×1(n×m)欧几里得空间。N表示自然数空间。I(或In分别)表示适当维数(或n维)单位矩阵。0(或0n分别)表示适当维数(或n维)零矩阵。x(a+)(或x(a-)分别)表示x(t)在a的右(或左)极限。
1 问题提出
本文考虑如下线性对象:
(1)
其中x(t)∈Rn是状态向量,u(t)∈Rp是系统的参考输入,v(t)∈Rq是系统的量测干扰,y(t)∈Rm是系统的量测输出。A,B,C和D是适当维数的常矩阵。
假设对象的量测输出以周期h采样。则对象的量测输出能够被描述为:
y(kh)=Cx(kh)+Dv(kh),
(2)
其中v(kh)∈l2,k∈N.
若不考虑采样的影响, 针对系统(1), 通常会设计Luenberger型观测器来估计对象状态:
(3)
(4)
为此,本文设计一个新的脉冲观测器。它被描述为两部分,在没有接收到量测输出时,依据如下连续方程运行:
(5)
当观测器接收到来自于对象的测量信号时,它根据如下的重置规则更新自身的当前状态:
(6)
(7)
其中e(t)是左连续的,In是n维单位矩阵,k∈N.
为了分析系统(7)的稳定性, 根据采样周期, 离散化系统(7), 得到如下等价的离散误差系统:
(8)
注意到, 当不考虑外部干扰的影响时, 离散系统(8)的渐近稳定性等价于脉冲系统(7)的渐近稳定性。
因此, 本文的主要目的可以被描述为: 设计脉冲观测器(5)-(6), 使得最终的离散误差系统(8)在l2干扰抑制水平γ下渐近稳定, 定义如下:
1) 当v(kh)≡0,k∈N,系统(8)渐近稳定;
2 脉冲观测器设计
本节将以线性矩阵不等式形式给出脉冲观测器的设计方法。
(9)
证明针对系统(8),构造Lyapunov函数:V(k)=eT(k)Pe(k), 其中P>0。
ΔV(k)+eT(k)e(k)-γ2vT(kh)v(kh)=ψT(kh)(ΞTPΞ-diag(P-In,γ2I))ψ(kh),
注意到Υ=PΞ, 若不等式(9)成立, 利用Schur引理, 可以得到
ΔV(k)+eT(k)e(k)-γ2vT(kh)v(kh)<0
(10)
当v(kh)≡0,k∈N,由(9)得ΔV(k)<0, 即系统(6)是渐近稳定的。
另外, 在零初始条件下, 对(10)从k=1到N求和,能得到
因此,不等式(9)成立,则系统(8)在l2增益γ下是渐近稳定的。
(11)
证明该证明类似于定理1, 详细证明略。
3 传统Luenberger型观测器设计
为了和本文所提的脉冲观测器(5)-(6)比较, 本节给出Luenberger型观测器(4)的一个设计方法。
由(4)减去(1),并离散化误差系统,能够得到如下离散系统:
(12)
(13)
证明该证明类似于定理1, 详细证明略。
4 仿真例子
本节针对智能车辆路径跟踪控制过程中的观测器设计问题进行仿真实验。考虑如下车辆模型[13]:
(14)
其中x=[βγφyl]T,u=[δfNz]T,y2=[φyl]T,
β是车辆的车身偏航角,γ是车辆横摆角速度,φ是车辆横摆角,yl是预瞄点的横向偏移,δf是前轮转向角,Nz由差动力所产生的横摆力矩。另外,该车辆参数由表1给定。
取h=0.1,γ=1, 参考输入u(t)=sin(t)和量测干扰vk=0.5k,k∈N。利用定理1可以求得脉冲观测器参数矩阵:
表1 车辆参数
在相同的条件下, 利用推论2可以得到Luenberger型观测器(3)的参数矩阵:
Fig.1 Estimation error of the impulsive observer (5)-(6)图1 脉冲观测器 (5)-(6)的估计误差
Fig.2 Estimation error of the Luenberger-type observer (4)图2 Luenberger型观测器(4)的估计误差
图1展示了脉冲观测器(5)-(6)的估计误差轨迹,该轨迹通过多次跳变, 快速地收敛到零点。图2展示了Luenberger型观测器(4)的估计误差轨迹。从两个图可以看出在相同的干扰抑制水平γ=1下, Luenberger型观测器至少需要6 s调节时间, 而脉冲观测器仅仅需要2 s。与此同时, 相比于Luenberger型观测器(4), 脉冲观测器有更小的超调。
5 结论
本文研究了一类采样系统的脉冲观测器设计问题。当观测器未收到采样信号时, 该脉冲观测器基于对象模型连续地估计对象状态; 当接收到采样信号时刻, 观测器利用重置规则来重置自身的状态变量值。观测器估计误差系统被转化为一个等价的离散系统, 基于该离散系统给出了观测器的设计方法和估计性能分析条件。最后, 通过仿真例子, 在相同的条件下, 展示了本文所提的脉冲观测器相比于Luenberger型观测器具有收敛速度更快、超调更小的特点。
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