借助“五环法”解决“不等式组模型”问题

■颜廷亮

一、提出问题

对数学课堂教学而言，利用数学模型解决问题，是数学课堂教学中的重点板块之一。在学习完方程、不等式、函数等主干内容之后，教材都会安排“用……解决问题”的教学内容，如学完了“一元一次方程”之后，就有“用一元一次方程解决问题”，让学生充分体会数学知识的应用价值，学会用“数学建模”思想建立数学模型解决实际问题。从初一到初三，尽管教材和课堂多次出现“利用所学知识建立数学模型、解决实际问题”，但我们依然发现，这仍是学生学习中的一个最大难点。究其原因，初中阶段总模型虽然只有“方程（组）、不等式（组）、函数”三个，但实际问题呈现的情景、方式多种多样，学生能够从实际问题中识别出总模型已属不易，甚至有许多问题是几种模型的融合，无形中增加了解决的难度。另一方面，虽然学生用数学模型解决实际问题的基本步骤趋于一致，但不同问题的详细路径却不一样。基于此，为了在确定模型时和确定模型后都有一定的有效路径可走，就有了下面“五环法”的构思与实践。

二、“五环”构思

所谓“五环法”是指：第一环节，从实际问题中进行信息收集，确定问题中存在的是等量关系、不等关系还是变化关系；第二环节，对收集的信息进行数据处理，把实际问题中涉及的量、关系分别用代数式表示后变成方程（组）、不等式（组）或函数；第三环节，对方程（组）、不等式（组）、函数进行求解，确定解的值或者范围，其中方程（组）及函数题目考虑隐性限制、不等式（组）题目重点考虑显性条件的限制；第四环节，根据题目要求得出答案或解决方案；第五环节，根据问题要求进行最后的决策。按照“五环法”，学生不仅可以解决一般的方程（组）、不等式（组）、函数实际问题，而且可以解决较为复杂的方案设计类问题。以解决问题的“五环”为主线，相当于将一粒粒散落的“珍珠”串成线，最后形成“一条美丽的项链”。

三、“五环”实践

下面呈现利用“五环法”教学的一则案例，重点说明“五环法”教学实践。

师：同学们，数学来源于生活，数学又服务于生活，如果一个公司要对一件事情做决策，往往需要经历哪些流程呢？

学生提出流程，教师完善，逐步产生“五环法”。

下面教师和学生利用刚才研究的“五环法”步骤来共同解决一些实际问题。

例1 （2014·泸州中考题改编）某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A产品需要甲原料9kg和乙原料3kg，生产一件B产品需要甲原料4kg和乙原料10kg。

（1）设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组。

（2）有哪几种符合条件的生产方案？

（3）若生产一件A产品可获利700元，生产一件B产品可获利1200元，那么采用哪种生产方案可使生产A、B两种产品的总获利最大？最大利润是多少？

分析：这是一道典型的“用料限制”应用题，用“五环法”分析如下：

①信息收集：360kg与290kg是不等关系，50件是等量关系。

②信息处理：生产x件A种产品，则生产（50-x）件B种产品。

③确定范围：解不等式组。

④得出方案：因为x取整数解，可以得出方案。

⑤最后决策：要想利润最大，则多生产B种产品。

教学思考：将教材上的“审、设、找、列、解、答”步骤用“五环”这一条主线串起来，比如“审题”这一环节，对于许多学生来说不知道从何入手，“五环法”让学生有法可依，有法可循。在教学的过程中，带领学生一起经历、熟悉“五环法”，应该让学生明白，这几个环节并不是“横空出世”的，它来源于实际生活，我们需要做的就是“激活”它，让数学的知识与实际相联系，从而产生数学活动经验，这样既提高了数学解题能力，又培养了数学意识。

例2 （2011·凉山州）为了让苦荞茶、青花椒、野生蘑菇等珍宝走出大山，政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨，参加全国农产品博览会。现有A型、B型、C型三种汽车可供选择。已知每种型号汽车可同时装运2种土特产，且每辆车必须装满。根据下表信息，解答问题。

每辆运费1500 1800 2000苦荞青花野生蘑菇每辆汽车运载车型A型B型C型茶2 4 0椒2 0 1 0 2 6

（1）设A型汽车安排x辆，B型汽车安排y辆，求y与x之间的关系式。

（2）如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案。

（3）为节约运费，应采用（2）中哪种方案？并求出最少运费。

分析：学生在上一个问题的解决过程中初步体会了“五环法”，尝试自己用“数学”的思维，沿着主线去解决问题。下面的分析，学生为主，教师为辅。

①信息收集：不少于4辆是不等关系，120吨、21辆是等量关系。

②信息处理：设A型汽车安排x辆，B型汽车安排y辆，则C型汽车安排（21-x-y）辆。A型车货物+B型车货物+C型车货物=120，x≥4，y≥4,21-x-y≥4。

③确定范围：此处既有等式又有不等式，要让学生意识到等式是用于建立方程、代入消元并解决多元不等式（组）。

④得出方案：因为x取整数解，可以得出方案。

⑤最后决策：为了节约运费，则需要少安排C型号的车，当A、B、C型车的数量分别为5、12、4辆时，运费最少。

教学思考：在例1中激活“五环法”之后，为了强化这样的主线引领，本例的目的在于让其“生长”，进一步让学生体会这样的数学化思考过程。图表型问题，有时能够提供很多信息，有时又会造成一定的干扰，让部分学生无从下手，此时教师应该稍作指导，排除干扰，让学生的主要精力回到“五环”的“生长”中来。另外本题的三个问题应该逐步呈现，做完题（1）之后不妨稍作停顿，不要展示第（2）题的限制“不少于4”，让学生思考此时是否能够确定方案（隐形限制：车辆数不小于0），在例1已有的“五环”大框架上，进一步完善细节。

例3 （2002·甘肃中考题改编）A公司和B公司分别准备提供电脑12台和6台，支援给C学校10台和D学校8台。已知调运电脑的费用如下表：

运费C D 50 80 A B 30 40

要求总的运费不超过840元，问有几种调运方案，并指出运费最低的方案。

分析：经历了“激活”五环、主线引领的“生长”，学生可以独立解决本题，从而达到“启智”要求。

①信息收集：12台、6台、10台、8台都用于等量关系。不超过840元的限制是不等关系，另外还有一个现实限制：每种方案的车辆数应该是非负数。

②信息处理：设A公司往C学校安排x辆车，则B公司支援给C学校（10-x）台，A公司支援给D学校（12-x）台，B公司支援给D学校（x-4）台，总运费≤840，车辆数≥0。

③④⑤略。

四、总体思考

数学课堂教学需要明确的教学主线。教学主线是指围绕教学目标预设的、贯穿课堂教学首尾的主要发展脉络。根据不同的内容可以是外显的，也可以是内隐的，还可以是明暗两条线。根据不同的内容还可以按照科学方法线、学科知识发展线、情感发展线等去组织。本节课的“利用模型解决问题”教学正是利用了显性的科学方法线指导学生深度学习。可以这样说，成功的课堂教学，必定包含预设与提炼的教学主线。

1.主线的逻辑必要。

数学学科有其特质，即知识的产生、形成、发展有着必要的逻辑顺序；知识结构的逐步完善、学生逻辑思维的训练也有着必要的逻辑要求。这就需要我们设计符合学科知识发展的教学主线，这是基于“理解数学”层面的教学思考。

例如学完了“线段的轴对称性”之后，教师可以依据知识发展的主线，进行角的轴对称性、等腰三角形轴对称性的引入与研究；由三大变换到常见图形变换的研究；由一元到多元、一次到高次方程的研究，都是一脉相承的。教学主线的存在有其逻辑必要性。

2.主线的教学意义。

首先，教学主线可以实现导学目标，实现其引领价值。例如本节课的“五环法”，就可以真正帮助学生学会思考，帮助学生通过解决几个问题，达到会解决一类问题的目的，完成了教学主线真正意义上的“串项链”功能。

其次，基于“理解数学”的思考，教学主线的存在，使课堂简洁凝练，能把真正的课堂思考交给学生，把主动权交给学生，教师不仅仅是“教数学”，而是“教学生会进行数学思考”。数学课堂不要只盯着“高效”的解题速度，应该加入教学主线潜移默化的引领，其结果更利于学生用数学思想思考问题。所以说，教学主线的设计，使一节数学课有了灵魂。

3.主线的能力发展。

因为教学主线的设计符合学生的认知规律，易于被学生所接受、内化，所以，在设计了教学主线的课堂中，学生的自主学习能力、逻辑思维能力、数学活动经验等都能得到一定程度的发展和累积。

对于本节课所设计的“五环法”教学主线，学生有一定的知识基础，有一定的数学经验，有一定的方法指导，通过三个实际问题“激活、生长、启智”后，其数学思维得到了锻炼与发展。基于“理解学生”的教学思考，实际上，在我们平时的课堂教学中可以提炼并运用的教学主线有许多，例如几何图形的研究一般都是按照“定义、性质、判定、运用”的内容与顺序进行的，这样结构式的教学主线，就非常有利于学生架构每一块几何知识的结构体系。

章建跃.如何设计课堂教学主线[J].中小学数学（高中版），2014（6）:66.