一份“函”意深刻的纯净的中考卷——谈2017年浙江省杭州市中考函数试题的特点

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(上城区教育学院,浙江 杭州 310009)

一份“函”意深刻的纯净的中考卷
——谈2017年浙江省杭州市中考函数试题的特点

●金红江

(上城区教育学院,浙江 杭州 310009)

文章研究2017年浙江省杭州市中考函数试题，发现3个特点：函数问题更多地体现变化中的不变性；关注初中研究数学问题的一般方法；函数作为模型，是考查应用性问题的主要载体．思考试题背后的核心素养，理清初中阶段函数教学的4个问题，最后给出3点建议．

中考;函数;模型;解析化;一般方法

函数是初中数学的核心内容，也是抽象、模型、对应思想的主要载体，是高中函数的基础，也是学生学习的难点之一[1].纵观浙江省杭州市2017年的函数中考试题，有效地落实了《义务教育数学课程标准(2011版)》(以下简称《课标》)的基本理念，充分体现对学生核心素养的考查，更好地发挥中考试题对教学的导向作用.

1 试题的特点

2017年浙江省杭州市中考数学试卷中，第9，18，20，22，23题涉及到函数问题，特别是解答题，7道大题中有3道大题直接考查函数，1道大题涉及函数，共32分，约占解答题总分的一半，以至于有人戏称是一份“函”意深刻的试卷．细细品味这些试题，不只是分值占得多的问题，更重要的是试题透着“纯净”，体现出命题者对初中函数的透彻理解.

1.1 函数问题更多地体现变化中的不变性

函数问题是浙江省杭州市中考试题中标志性的问题，它的特征是系数中含有一个字母参数，实质上表示一簇抛物线(二次项系数不为0时)，如果给定具体的参数，它就表示一个具体函数．因此，这簇抛物线就可以看成是由一个个具体的满足条件的抛物线所组成的集合，既然是集合，就要研究满足集合所有条件对象的共同性质．于是对于这簇抛物线来说，随着参数的变化，就要研究其不变的性质，这就是“变化中不变性”的由来．笔者以例1为例，谈谈其特征：

例1在平面直角坐标系中，设二次函数y1=(x+a)(x-a-1)，其中a≠0．

1)若函数y1的图像经过点(1，-2)，求函数y1的表达式；

2)若一次函数y2=ax+b的图像与y1的图像经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；

3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图像上,若m

(2017年浙江省杭州市数学中考试题第22题)

例2设直线x=1是函数y=ax2+bx+c(其中a，b，c是实数，且a<0)的图像的对称轴，则

( )

A．若m>1，则(m-1)a+b>0

B．若m>1，则(m-1)a+b<0

C．若m<1，则(m+1)a+b>0

D．若m<1，则(m+1)a+b<0

(2017年浙江省杭州市数学中考试题第9题)

解法1由函数图像可知，当x=1时，函数值最大.因此当m≠1时，

am2+bm+c

即

a(m+1)(m-1)+b(m-1)<0,

亦即

(m-1)[a(m+1)+b]<0,

因此当m<1时，a(m+1)+b>0.

解法2由b=-2a，得

(m+1)a+b=(m+1)a-2a=(m-1)a,

若m<1，则(m-1)a>0,从而

(m+1)a+b>0.

以上两种解法，首先确定对称轴直线x=1的不变性，然后选择解题路径：解法1是二次函数最值的图像表达，由因式分解实现；解法2是二次函数最值的静态表达，由不等式实现.

当然，近3年此类函数问题中，在涉及到“变化”中的“不变性”时，也是有发展的．2015年第20题是通过学生画图，去寻求图中“不变的点”；2016年第22题，当“函数y2的图像经过y1的顶点”时，“求证：2a+b=0”，这个“2a+b=0”就意味着它的对称轴是不变的，此时不变的量由“点”变成了“线”；2017年第22题的第3)小题，就需要利用对称轴的不变性来画出图像，从而得到最简单快捷的思路．

因此，在浙江省杭州市数学中考卷中涉及到这类热门问题的考查时，往往需要考生从“特殊—一般—特殊”的顺序去研究．当然，必须清楚，将这类函数放在平面直角坐标系后，变化中的“不变性”会有很多，而中考试题大多是跟函数相关的“不变性”而非几何不变性，这也是命题者对初中函数知识的深入理解．

1.2 关注初中研究数学问题一般方法

2017年浙江省杭州市中考试题另一个显著特点，就是关注研究数学问题一般方法的考查．

例3点点同学通过画图和测量得到的近似数据如表1所示：

表1 α，β，γ的大小

请猜想β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明.

(2017年浙江省杭州市数学中考试题第23题第1)小题)

例4在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(其中k，b都是常数，且k≠0)的图像经过点(1，0)和(0，2)．

1)当-2

2)已知点P(m，n)在该函数的图像上，且m-n=4，求点P的坐标．

(2017年浙江省杭州市数学中考试题第18题)

对于例3，在问题背景下塑造了一个会学习的孩子“点点”这样一个人物，由他带着考生经历“画图—测量—列表记录—猜想—证明”的数学学习过程，体现了数学研究的一般方法.

对于例4，在解题背景下，让学生经历了“表达式—图像—性质—应用”的数学学习过程，体现了函数研究的一般方法，折射出对学生“数学建模”素养的渗透.

1.3 函数作为模型，是考查应用性问题的主要载体

函数是刻画现实世界事物变化规律的一种数学模型，因此，它往往会以应用性问题为背景进行考查．

例5在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．

1)设矩形的相邻两边长分别为x，y，

①求y关于x的函数表达式；

②当y≥3时，求x的取值范围.

2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？

(2017年浙江省杭州市数学中考试题第20题)

本题利用“面积相等的矩形，相邻两边长的关系”为背景，考查反比例函数模型．笔者仔细研究近3年的数学中考试题发现，函数作为模型，是经常考查的热门的应用性问题，如2015年的第23题以行程问题为背景，考查匀速直线运动的一次函数模型；2016年的第20题以竖直上抛运动为背景，考查匀变速直线运动的二次函数模型．

2 试题背后的思考

2017年浙江省杭州市中考函数试题呈现的3个特点，体现了命题者对数学、学生、教学的理解，折射出对当今数学素养教学的思考；体现了数学教学不仅要传授知识、培养能力、领悟思想，更重要的是掌握核心素养，发展情感态度，立德树人．

具体地说，变化中的不变性，是研究运动问题的一般方法，是发展学生“数学抽象”“逻辑推理”的集中体现．函数作为模型的考查以及“关注研究问题的一般方法”均是“数学建模”的集中体现[2]，是培养学生应用意识的重要载体．

正因如此，作为一线教师，应抓住试题特点，明确命题背后的导向．在关注素养、理解数学、理解教学、理解学生的背后，明确“什么该讲，什么不该讲；什么时候讲，讲什么”，具体理清以下4个问题：

2.1 什么是函数解析化问题

解析就是用坐标去刻画点的位置，然后用方程的理论来研究几何图形的位置关系和数量关系.通俗地说，把函数当函数用，这就是研究函数；把函数当方程用，这就是解析．因为对于函数来说对应的是图像(给定x,对应的y是唯一的)，方程对应的是图形(可以是一对一，也可一对多)．解析化不是初中研究函数的常用方法，因此，解析化问题不是初中掌握函数知识的核心内容．

2.2 函数方程不等式要学到什么程度

对于函数与方程不等式的联系问题，因为一元二次不等式、二元二次方程组在初中不作要求，所以在双曲线或者抛物线背景下，复杂的代数推演不作要求．唯有一次函数，它与一次不等式、二元一次方程组的联系，是作要求的，因为这些内容在初中阶段是学过的，《课标》中也有“体会一次函数与二元一次方程的关系”这一条[3]，所以直线与其他几何知识相结合的简单题目，是要求掌握的．

2.3 什么是“特殊—一般—特殊”

函数问题中的“特殊—一般—特殊”，是指先通过几个特殊函数，研究出函数问题的一般性质，然后根据一般性质，去解决特殊问题．它是研究运动变化问题的常用方法．

2.4 什么是初中研究函数的一般方法

初中研究函数的方法和高中研究函数方法是不一样的，初中是借助几何(图像)直观来研究函数的．初中研究函数的一般方法：函数表达式—画图—函数的图像性质—应用.函数的性质可以分成以下3个部分：1)函数本身的性质，包括单调性、对称性、周期性；2)借助平面直角坐标系工具后，就会出现与之相关的位置等相关性质；3)函数与方程的关系、函数与一次不等式的关系等．

3 3点建议

3.1 从研究考题上理解数学

首先从研究考题入手，明确考题背后的数学意义．在研究考题时，我们可以想一想：该题考什么？当然，不同的人，对同一个问题，也会有不同的理解．例如：

例6两个不相等的正数a,b满足：a+b=2，ab=t-1，设S=(a-b)2，则S关于t的函数图像是

( )

A.射线(不含端点) B.线段(不含端点)

C.直线 D.抛物线的一部分

(2009年浙江省杭州市数学中考试题第9题)

该题考什么？初中教师认为是考配方，高中教师认为是考函数，大学教师认为是考极化恒等式.连接的纽带是广义平方差公式(极化恒等式)：

4xy=(x+y)2-(x-y)2,

这样就可以把题意理解透彻了．

其次，通过考题进一步明晰考试要求，不要把初中阶段不作要求的内容强加给学生,解析化问题不是初中阶段的基本方法，因此不要求所有学生都掌握.

3.2 抓住初中研究函数的一般方法

1)对于初中学生来说，研究函数可以从“特殊—一般—特殊”入手，先研究几个特殊的函数，研究它的不变性，再利用不变性，解决特殊问题．这里的“不变性”是跟函数有关的不变性，而不是跟几何有关的不变性.例如，对于函数y=(x-1)[(k-1)x+(k-3)](其中k是常数)，可以先取一些特殊的k，研究相应的特殊的函数，根据这些函数图像呈现出来的性质，归纳出对于一般k满足的性质，再利用这些一般的性质，去解决特殊的问题.

2)研究函数的一般方法，就是能根据表达式，画出图像，再根据图像研究函数的性质，最后用于解决实际问题.因此怎样借助图像解决实际问题是关键．

图1 图2

例7已知二次函数y=ax2+bx+c(其中a，b，c为常数，且a≠0)的图像如图1所示，当m为何值时，方程|ax2+bx+c|=m有两个实数解、没有实数解？方程会有3个、4个实数解吗？若有，请求出m的值或范围．

通过图1，根据对绝对值的理解，引导学生画出y=|ax2+bx+c|的图像，如图2，就可判断出方程的解即为函数y=|ax2+bx+c|与函数y=m图像的交点的横坐标.因此当m=0或m>4时，方程有两个实数解；当0

3.3 变革学教方式，发展学生素养

对于中考而言，大多数试题都是站在理解数学的基础上进行命制的.如果还是一味地通过刷题、讲题来训练培养学生的解题能力的话，那么结果肯定是低效或无效的．教师要努力变革学教方式，以此来发展学生的素养．在研究题目的同时，关注题目背后的可复制的方法的教学.比如分析问题得到的一般方法是什么，多让学生去探索一些关键性的概念、法则和定理的得到过程．

因此，在平时的教学中要关注讲了什么、是否给学生思考和表达的机会、学生在学习活动中体验到了什么、获得了什么经验等．关注的是“一核二心”：“一核”即以理解数学为核心，“二心”即基于“机会”的“学”和“教”，促进学生的“学”，提升教师的“教”．以打破片面强调时间顺序桎梏或功利驱动(答对问题加1分或帮助小组成员一次加1分等)的教学法，研究学生“学”与教师“教”之间相互渗透和互相促进的机理，寻找“学”和“教”和谐自然融合的教学方法．具体做法：课堂结构要有学生立场——学生主体、以学定教；课堂对话要有学生立场——学生先行、交流呈现；课堂生成要有学生立场——寻找本源、讲练结合；材料解析要有学生立场——以本为本、研究真题；作业布置要有学生立场——回归理性、适量分层．

总之，2017年浙江省杭州市中考函数试题，呈现出来的是命题者对函数知识的理解，是对当下核心素养下的数学课堂教学的深入思考，具有很强的导向性．作为教师，面对函数内容时，一定要从初中研究函数的基本方法着手，明确考试内容，强调并落实核心知识，把难度降下来，以此减轻学生过重的学习负担．

[1] 章建跃.章建跃数学教育随想录：上卷[M].杭州：浙江教育出版社，2017.

[2] 林崇德.21世纪学生发展核心素养研究[M].北京：北京师范大学出版社，2016.

[3] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011版)[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

收文日期：2017-11-25；

2017-12-27

金红江(1979-)，男，浙江建德人，中学高级教师.研究方向：数学教育.

O122.1

A

1003-6407(2018)03-0033-04