积累基本活动经验 提升数学核心素养——由“三角函数与平面向量”测试结果引发的思考

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(灵璧第一中学,安徽 灵璧 234200)

●张 敏

(太仓高级中学,江苏 太仓 215400)

积累基本活动经验提升数学核心素养
——由“三角函数与平面向量”测试结果引发的思考

●郑良

(灵璧第一中学,安徽 灵璧 234200)

●张敏

(太仓高级中学,江苏 太仓 215400)

积累数学基本活动经验是培养学生数学核心素养的必由之路.文章以“三角函数与平面向量”周测题为载体，揭示学生共性现象的成因，同时针对教与学的现状，结合教学实践给出教学思考.

数学基本活动经验；数学核心素养；比较；探究；整体

1 问题提出

近日，笔者所在学校年级组组织了“三角函数与平面向量”的周测.在随后的学科组教研活动中，几位年轻教师反映很多测试题(原题或变式)都在课堂上讲过，但学生在测试中却“答非所问”，并对后续的教学充满困惑与迷茫.数学是常识的精微化，学生的共性学习行为往往是教师教学效果的外在表现.如何让学生理解并能灵活地运用这些常识(数学知识、思想方法等)是数学教师面临的难题：课堂上学生参与了什么样的活动，在活动中做了哪些观察、操作、思考、认识与理解；学生在体验数学活动中产生的知识、技能和思想方法等是否升华为今后数学学习与问题解决的经验.下面仅以这次周测中部分试题为例，谈谈笔者对相关问题的理解，不足之处，敬请批评指正.

2 案例剖析

例11)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若B=60°，a=1，b=2，则sinA=

( )

( )

分析(均为学生的想法，下同)两个小题均为“已知三角形的两边和其中一边的对角”解三角形，故可用正弦定理或余弦定理解答.

解法2由余弦定理得

c2-c-3=0，

从而

于是

得

又c

A=C=30°，

解法2由余弦定理得

评注虽然例1的两个小题条件相同，但所求结论不同(分别为“另一边的对角的正弦值”与“第三边”).众所周知，解决“已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边与角”常有两种途径：1)先由正弦定理求出另一边对角的正弦，其次结合三角形中“大边对大角”(或内角和定理)确定该角，再确定第三个角，最后用正弦定理求出第三边；2)根据方程思想用余弦定理求出第三边，然后分别用余弦(或正弦)定理确定另外两个角.教师在教授“解三角形”时常告诉学生：解三角形时，正弦定理适用于“已知两角与任意一边”和“已知两边和其中一边的对角”，余弦定理适用于“已知三边”“已知3个角”和“已知两边和其中一边的对角”，很少引导学生去思考三角形的确定条件(至少3个独立的要素)、解三角形为什么只学习正弦定理和余弦定理(两个定理适用范围囊括了确定三角形的各种情形)、“已知两边和其中一边的对角”解三角形由哪个定理切入等问题，更没有组织学生在数学活动中操作、体验、思辨与提升，取而代之的是让学生记住题型与解法，通过大量习题进行“刺激反应”(而非理性的模式识别)，试图在机械操练中提高运算速度.

与学生交流发现，不少学生能够辨识“题型”，在两个小题中使用同样的解题程序.对于第1)小题，运用正弦定理直达目标；对于第2)小题，运用余弦定理简单快捷.教师要引导学生思考:为什么会出现负值;其意义是什么;还要让学生认识到本题的特性“A=C”，否则运用正弦定理事倍功半.学生对同一张试卷中重复(相邻)出现相同问题置若罔闻，反映了学生的观察能力、抽象概括能力、探究意识不强，表明了学生的思维感性有余、理性不足.学生解题盲目性的根源就在于教师教学的浅表化、碎片化.

例2在△ABC中，AB=1，BC=2，则角C的取值范围是______.

分析已知三角形的两边长，要构成三角形，则第三边必在某一范围内，通过三边又可表示三角形的任意一个内角，由第三边的取值范围可以求出角的取值范围.

解法1设AC=x，由构成三角形的条件得1

x2-4xcosC+3=0.

令f(x)=x2-4xcosC+3，则f(x)=0在(1,3)之间有解，从而

f(1)·f(3)<0,(1)

由式(1)，得

48(1-cosC)2<0，

无解；由式(2)得

又0

解法2设AC=x，由构成三角形的条件得1

又0

评注“皮之不存，毛将焉附”，研究函数的性质必先确定其定义域，解法1与解法2如是操作.解法1以x为主元研究函数f(x)的零点分布，求解过程中不少学生遗漏了f(x)的一个零点x1=1(或x1=3)，另一个零点x2在(1,3)内的情况，也有少数学生注意到x1x2=3这个特性.对于含参数的方程在某区间有解问题往往可以分离参数转化为新函数的值域问题，解法2如是操作.由于y=cosx在(0,π)上单调递减，从而可建立函数值与自变量之间的一一对应关系，这也是解法1与解法2备受学生青睐的原因，正弦定理因为要验证解的个数而无人问津，果真如此吗？形式促使本质外显，本质推动形式内蕴；直觉诱发逻辑，逻辑反哺直觉.两者结合，相得益彰.教学时，不应当牺牲一个而把另一个捧到天上去，应当把每一个都用到该用的地方.而要做到这一点，就只有注意它们的相互关系、它们的相互补充[1].

事实上，正弦定理、余弦定理、射影定理是等价的，我们解题时只需“就近上车”.如在△ABC中，A>B，从正弦定理角度有

A>B⟺sinA>sinB⟺a>b；

从余弦定理角度有

A>B⟺cosB>cosA

⟺(a-b)(a+b+c)(a+b-c)>0

⟺a>b.

本题中，若将A(其中A>C)视为已知，则问题可转化为“已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角”，由例1的分析可知用正弦定理简单快捷.相比例2，例1的第1)小题只是三角形其中一边对角的一种特殊情况(固定状态)，形式不同，本质相同，相互联系便可构建整体，深化认知.

解法1由正弦定理得

(3)

(4)

式(3)×sinC-式(4)×cosC，得

即

于是

图1

解法2如图1，在边AB上取一点D，使AD=CD=x，则

∠DCB=∠BCA-∠A.

在△BCD中，由余弦定理得

解得x=5，从而

例4如图2，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少(结果保留根号)？

图2 图3

分析由匀速直线运动的时间比可得其路程之比.利用解析法锁定点B,C的位置.

则

解法2由题意得BC=4BE.设BE=x，则BC=4x，由已知得∠BAE=30°.在△AEC中，由正弦定理得

即

在△ABC中，由正弦定理得

即

在△ABE中，由余弦定理得

评注多数学生无法通过审题建立条件与结论的(三角)联系导致无的放矢，只能借助解析法，将数学推理演变为数学运算.在解法1中，不少学生没有直接运用点B,C各自横坐标与纵坐标的关联，而是先设元后再消元，使得过程冗余.少数学生结合平面几何知识直接运用点B,C的纵坐标之间的关系，优化了解题过程.解法2以∠C为△AEC与△ABC的公共角建构相互关联的方程.

3 教学思考

数学教学不只是教给学生数学知识、思想方法，还要教会学生如何思考，即探寻从无到有或从有到优的思路，并能帮助学生理解数学本质.史宁中教授认为：“通过基础教育阶段的数学教育，不管接受教育的人将来从事的工作是否与数学有关，终极培养目标都可以描述为：会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界.这‘三会’就是数学核心素养.”[2]他还将“三会”具体化：数学的眼光就是数学抽象；数学的思维就是逻辑推理；数学的语言就是数学模型[2].“三会”是(信息摄入、信息加工、信息输出)数学学习过程凝练的总结.因此，积累数学基本活动经验是培养学生数学核心素养的必由之路.

数学活动经验是什么？数学教育专家及一线数学教师均提出不同的看法.如仲秀英老师认为：学生数学活动经验可以理解为学生从经历的数学活动中获得的感受、体验、领悟以及由此获得的数学知识、技能、情感与观念等内容组成的有机组合性经验[3].而张奠宙先生等认为：数学活动经验是在数学目标指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识[4].

数学基本活动经验有助于学生数学活动的探究、数学思想方法的领悟、数学素养的提升.积累充足的数学活动经验是学好数学的重要基础.课堂是教学的主阵地，教师是学生的引领人.在数学教学中促进并落实学生基本活动经验的积累，教师应着眼以下方面.

3.1 深化“三个理解”,奠定教学基础

教书育人，其核心是育人.体现在数学教学中，就是教师将数学的精髓(数学本质、数学精神等)以易于学生理解与接受的方式传递给学生.章建跃博士提出“三个理解”，即理解数学、理解学生和理解教学，它是数学教师专业发展的三大基石，也是教师进行教学设计的基础.

如例1与例2中涉及正弦定理与余弦定理(及射影定理)的等价性，若教师没有理解、掌握丰富的数学学科知识，则教学时只能照本宣科、浅尝辄止；高中学生相对于教师来说，其知识匮乏、经验不足、精力分散(还要学其他科目)、认知不完善，教师要在学生的最近发展区设置问题，促进学生的理解.不少学生没有认识到例1与例2为同类问题，主要是因为其不能从运动变化的角度看问题，抽象思维能力有待提升；为了让学生充分认识到用正弦定理与余弦定理解决例1与例2的过程繁简，教师可用思维导图让学生进行感受、感知、感悟.

3.2 强化数学探究,体验数学发现

蒙台梭利说过：“我听过了，我就忘了；我看见了，我就记得了；我做过了，我就理解了.”著名教育家布鲁纳指出探究是教学的生命线.平铺直叙的填鸭式教学只会使课堂成为一潭死水，教学效果可想而知，反之，教师设计合理的活动，让学生在操作中思考、在合作中交流、在探究中思辨，学生的思维与认知力必定在火热的思考中得到完善与提升.教师可根据需要组织活动让学生探究问题的一题多解、一题多变、多题一解，探究数学知识之间的内在联系，促进构建系统化的知识体系等.

探究过程需要良好的环境，“纪律和自由是一件事物不可分的两部分——犹如一枚铜币的两面”[5].教师要控制良好的自由；探究目标要适切，要根据具体情况及时把控探究的广度、深度与高度，以免把探究变成了低效(甚至无效)活动或极个别人的表演.

3.3 回归数学理性,追求优化创新

《普通高中课程标准(实验)》指出：“形式化是数学的本质特征之一，在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学本质淹没在形式化的海洋里.”因此，数学教学要整合内容，凸显数学本质，渗透数学文化，弘扬理性精神，让学生有充足的时间去思考、探究、感悟、评价、创造；数学教学要切实做到数学的形式化和数学本质并重，形式化的表达要为揭示数学的本质服务；数学教育要充满数学的“味道”.

例3以向量为表象，解三角形为本真，少数学生感性有余，理性不足，无法从表象中揭示本真，多数学生很难通过消元化归得到解法1，更没有想到构造性解法2；例4涉及3个三角形，元素众多，杂而不乱，更需要我们冷静地思考、理性地谋划；又如等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d揭示了an的生成过程，凸显了问题本质，而an=pn+q(其中p,q为常数)是问题的形式化、一般化、抽象化.北京师范大学刘绍学教授反复强调：“数学是自然的、数学是清楚的.数学教与学要通过追问促使理解自然、清楚、优美.”

[1] 郑良.直觉和逻辑同行 形式和本质并重——由一节公开课引发的思考[J].中国数学教育：高中版，2015(1/2)：26-30.

[2] 史宁中.高中数学核心素养的培养、评价与教学实施[J].中小学教材教学，2017(5)：4-9.

[3] 仲秀英.促进学生积累数学活动经验的教学策略[J].数学教育学报，2010(5)：36-39.

[4] 张奠宙，竺仕芬，林永伟.“数学基本活动经验”的界定与分类[J].数学通报，2008(5)：4-7.

[5] 蒙台梭利.蒙台梭利幼儿教育科学方法[M].任代文,译.北京：人民教育出版社,2001.

收文日期：2017-09-27；

2017-10-28

郑 良(1980-)，男，安徽灵璧人，中学高级教师.研究方向：数学教育.

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1003-6407(2018)03-0009-05