一道不等式题目的再探究

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(洪家中学,浙江 台州 318015)

一道不等式题目的再探究

●何再君

(洪家中学,浙江 台州 318015)

文章以一道期末试题为例，剖析题目难点，从代数式外在的结构特征出发，联系不等式的一些基本结构，挖掘出问题的内在联系和解题规律,并通过类似题目和相关变式来研究此类问题中一些常见的解决方法，破解其思维过程，揭开其神秘面纱.

基本不等式;解题;结构特征;“1”的代换特征

1 问题的提出

( )

(2016年浙江省台州市高二数学期末试题第14题)

2 解法探究

即例1实质上是求max{x,y,z}的最小值.

易看出分子的3个代数式结构一样，字母的范围一样，因此只要分析清楚一个代数式即可.

因为t∈(-2,-1)，由对勾函数的图像得

所以

于是

故选B.

点评解法1的本质是通过换元转化为熟悉的对勾函数，利用其函数图像求最值.若涉及的函数比较复杂，且计算量大，则注意结合以往解题经验，在转化变形中识别结构模式，化繁为简，去伪存真.

解法2max{x,y,z}≥

点评解法2的难点是不容易发现两个分式的分母之和是常数1，还需联想到“1”的代换,再利用基本不等式.

解法3可运用柯西不等式一步到位：

点评柯西不等式在高中选修教材中(不做要求)出现，若能适当应用，则将大大缩减解题时间.

3 追根溯源，变式提升

仔细观察代数式的形式，联想曾经学过的知识中隐含的一些特殊结构与逻辑结构，将不熟悉的问题重组或分解成几个小问题，然后各个击破，找到联系的桥梁，从而真正理解数学的内在本质.

3.1 “1”的代换特征再回首

解因为

思考若把x+y=1改为2x+3y=2呢？原式可变为

后面的解法与例2相同.

3.2 变式探究,提升思维

方法1观察整式的结构特征以及分式结构的两个分母，因为

(x+3y)+(x-y)=2(x+y)=2，

所以待求式可化为

方法2受方法1启发，可设x+y=λ(x+3y)+μ(x-y),则

从而

下面同方法1.

结论1当分式求和结构中分母的线性代数值和为定值,可利用基本不等式求分式和的最值.

4 识别特征，提高能力

例4已知a>0,b>0且满足a+2b=2,若不等式abt+(t-2)a-b≤1恒成立，则实数t的取值范围为______.

解对不等式abt+(t-2)a-b≤1进行参数分离得

点评例4和例5的背景分别是不等式恒成立问题和圆锥曲线的离心率问题.去掉背景，可转化为条件不等式求最值，看似复杂，实则利用常数“1”的变形与代数式结构重组，可快速解答.

总而言之，一个复杂的数学问题，当我们无从下手时，可想法设法把问题分解为几个相关联的小问题，各个击破[3].在运算中善于挖掘代数式的结构特征，追本溯源，从而找到数学问题内在的逻辑链.

[1] 陈儿,杨亢尔.对一道统测试题的探源及拓展[J].中学教研(数学)，2017(4)：17-20.

[2] 李旺强.一道课本例题的解析、改编与变式[J].中学教研(数学)，2017(8)：27-29.

[3] 郑良.析困难所在 觅破解良方[J].中学教研(数学)，2017(1)：26-30.

收文日期：2017-11-13；

2017-12-21

何再君(1982-)，女，浙江台州人，中学二级教师.研究方向：数学教育.

O122.3

A

1003-6407(2018)03-0013-03