浅谈受压混凝土柱的线性屈曲分析

李 天, 黄 幸

(中国十九冶集团有限公司勘察设计分公司, 四川成都 611700)

[定稿日期]2017-09-15

1 受压柱线性屈曲理论简介

穿层柱在建筑设计中有着十分广泛的应用。在某些下部需要大空间的建筑中，存在跨越2～3层的柱，柱在层间无梁或楼板约束，对于这类柱就应进行屈曲分析以了解柱的失稳状况。在《超限高层建筑工程抗震设防专项审查技术要点(2015版)》附件表二中局部穿层柱、斜柱属于第七条局部不规则的情况。进行柱的线性屈曲分析有两个目的：

(1) 分析柱的失稳是否先于整体结构，若柱先失稳则说明柱不安全，需对柱进行加强。此项分析可通过屈曲因子来判断，柱屈曲对应模态的屈曲因子应大于整体结构的值。

(2) 通过屈曲因子来计算柱实际的计算长度，从而为该柱的设计提供有效的数据。

结构屈曲是指在外力作用下结构的平衡状态开始破坏，稍有扰动变形迅速增大，最后使结构发生失稳破坏。由于屈曲导致的破坏程度远大于其他破坏，所以必须予以重视。

结构的稳定计算通常有：大挠度理论和小挠度理论两种计算方法。在一般的建筑结构设计中通常采用小挠度理论，其优点是可以用比较简单的方式得出基本正确的结论，以求出失稳的临界荷载。若希望得到更精确的结论，则需要采用较为复杂的大挠度理论。

结构的失稳有分支点失稳和极值点失稳两种基本形式。

1.1 分支点失稳(第一类失稳)

图1为简支压杆的理想体系：杆件是理想的直线(没有初始曲率)，荷载P是理想的中心受压荷载(没有偏心)，当荷载P小于欧拉临界值Pcr=π2EI/l2压杆只是单纯受压，不发生弯曲变形(Δ=0)，压杆处于直线形式的平衡状态(称为原始平衡状态)。

图2中当P>Pcr时，原始平衡形式不再是唯一的平衡形式，压杆既可处于直线形式的平衡状态OBC,也可处于弯曲的平衡状态OBD(大挠度理论)或OBD’(小挠度理论),即此时存在两种不同形式的平衡状态,并且这时原始平衡状态(C点)是不稳定的。如果压杆受到干扰而弯曲，则当图中干扰消失后，压杆并不能回到C点对应的原始平衡状态，该压杆继续弯曲直到图中D点对应的弯曲形式的平衡状态为止。因此当P>Pcr时，在原始平衡路径OBC上点C所对应的平衡状态是不稳定的。两条平衡路径OBC和OBD的交点B称为分支点。当P>Pcr时在B点出现平衡的二重性，原始平衡路径OAB由稳定平衡变为不稳定平衡，出现稳定性的转变，具有这种特性的失稳称为分支点失稳。分支点对应的荷载为临界荷载。

图1 直线平衡状态

图2 弯曲平衡状态

在图3中即OAB表示，称为原始平衡路径。如果压杆受到轻微干扰而发生弯曲，偏离原始平衡状态，则当干扰消失后，压杆仍又回到原始平衡状态。因此当P

图3 荷载-位移曲线(P-Δ曲线)

1.2 极值点失稳(第二类失稳)

图4中为具有初曲率的压杆和承受偏心荷载的压杆，称之为为压杆的非完善体系。非完善体系从一开始加载就处于弯曲平衡状态。小挠度的P-Δ曲线如图5中OA所示，在初始阶段挠度增加较慢，以后逐渐变快，当P接近中心压杆的欧拉临界值Pcr时，挠度趋于无限大。如果按照大挠度理论其P-Δ曲线为曲线OBC。B点位极值点，荷载到达极大值。在极值点以前的曲线OB其平衡状态是稳定的，极值点之后的曲线BC，当挠度增大时，其相应的荷载值反而下降，平衡状态是不稳定的。在极值点处，平衡路径由稳定平衡转变为不稳定平衡，这种失稳形式称为极值点失稳。极值点相应的荷载为临界荷载。

图4 偏心受压杆

图5 荷载-位移曲线(P-Δ曲线)

实际工程中的稳定性问题多属于第二类，但是由于第一类稳定的力学模型比较简单，在数学上是求解特征值的问题，而且它的临界荷载可近似代表相应的第二类稳定问题的上限，所以第一类稳定问题在理论分析中占有重要的地位。结构的第一类稳定，在数学上归结为广义特征值问题。屈曲特征方程为：[K-λG(r)]Ψ=0。其中：K为刚度矩阵；G(r)为荷载向量r作用下的几何(P-Δ)刚度；λ为特征值对角矩阵；Ψ为对应的特征向量矩阵特征值λ称为屈曲因子。在给定荷载模式下，它必须乘以r中的荷载才能引起屈曲，即屈曲荷载为屈曲因子与给定荷载的乘积。比如在计算1.0恒+1.0活作用下的屈曲分析时会有一个屈曲因子，该屈曲因子×(1.0恒+1.0活)=屈曲临界力，根据这个临界力利用公式Pcr=π2EI/l2求得计算长度之后，在模型里修改穿层柱的计算长度，从而得出正确的结果。

2 工程实例

一普通框架结构为5 m×5 m跨，柱距均为5 m，层高为3.5 m，右下角的角柱穿越2层即该柱的层高为10.5 m。柱子大小均为500 mm×500 mm，主梁为250 mm×400 mm,次梁为200 mm×400 mm，板厚为100 mm，楼面恒载为2.5 kN/m2，活载为3 kN/m2。为便于观察右下角柱子的屈曲情况，将该柱截面改为300 mm×300 mm。

在YJK里面建立模型如图6所示，在计算参数-计算控制信息-二阶效应中勾选屈曲分析，屈曲模态数的参数根据模型大小至少为6个，如果在计算结果中未找到要计算的柱子的屈曲模态则需要增加模态数量，直至找到该柱的屈曲模态；屈曲分析荷载组合的选取与最终计算结果无关，因为通过不同的荷载组合计算得出的屈曲因子也会不同，但最终计算出的临界荷载是相同的。计算过程参数设置见图7，计算结果见图8、图9。

图6 计算模型

图7 设置参数

图8 YJK计算第一模态云图

该模态为第一模态，可明显观察到右下角的柱屈曲。而在实际工程中不允许局部柱子的屈曲先于整体屈曲。屈曲

图9 YJK计算屈曲因子

分析结果见图9。临界荷载为1.0恒+0.5活=155 kN， 155×44.241=6875 kN，根据Pcr=π2EI/l2，计算出实际的计算长度系数为0.513。而《混凝土结构设计规范》第6.2.20条规定了框架现浇楼盖底层柱的计算长度系数为1.0，说明规范的系数还是非常偏于安全的，而在某些情况下我们可以通过修改长度系数取得较为经济的设计结果。

采用SAP2000验算该模型，计算结果同YJK计算结果基本一致，特别是前2阶右下角柱的屈曲因子几乎一致。SAP2000计算结果见表1。

表1 SAP2000计算屈曲因子

3 结束语

本文简单介绍了受压混凝土柱的线性屈曲分析的理论及软件操作，希望对初学设计者有一定的帮助。