伽玛概率分布性质研究

高显彩,单雪红

(宿州学院 数学与统计学院，安徽 宿州 234000)

0 引言

在文献[1]—[4]中都提出了一种重要的概率分布，称之为伽玛分布，为书写方便记为Γ-分布，本文将对此概率分布作进一步的分析.

(2)Γ(r+1)=rΓ(r)，当r为自然数n时，有Γ(n+1)=nΓ(n)=n!)

概率密度函数f(x)的性质：

0

r=1时，f(x)是严格下降的函数，且在x=0处f(0)=λ；

1

伽玛分布的可加性[4]:

设X～Γ(r1,λ)，Y～Γ(r2,λ)，且X与Y相互独立，则Z=X+Y～Γ(r1+r2).

这正是形状参数为r1+r2，尺度参数为λ的伽玛分布.

这个结论可推广到有限个尺度参数相同的独立伽玛变量之和.即

1 伽玛分布的应用

Γ-分布在概率论、数理统计和随机过程中都有应用.

2 各分布之间的关系

2.1 伽玛分布与指数分布

例1[1]：电子产品失效往往是因为外界的冲击所引起，如果在(0,t)内发生的冲击次数N(t)服从参数为λt的泊松分布，则第n次冲击来到的时间Sn服从Γ(n,λ).

证明：因为事件“第n次冲击来到的时间Sn小于等于t”等价于事件“(0,t)内发生冲击的次数N(t)大于等于n”，即{Sn≤t}={N(t)≥n}

以(1,λ)为参数的Γ-分布，就是以λ为参数的指数分布，又在泊松过程中，等待n个“事件”发生所需的时间就服从参数为(n,λ)的Γ-分布.或者说n个独立的参数为λ的指数分布的随机变量之和就是一个参数为(n,λ)的Γ-分布的随机变量.

2.2 爱尔朗分布与指数分布

爱尔朗分布与指数分布有着密切关系，如果输入分布是指数分布，顾客独立到达，则输入r个顾客的时间分布即为r阶爱尔朗分布.

定理1[7]：设ξ1,ξ2,…,ξr是相互独立、服从相同参数λ(>0)的指数分布的随机变量，则ξ=ξ1+ξ2+…+ξr服从r阶爱尔朗分布.

假定r=k时，ξ=ξ1+ξ2+…+ξk的密度函数为

当r=k+1时ξ=ξ1+ξ2+…+ξk+1的密度函数为

结论得证，即ξ=ξ1+ξ2+…+ξr服从r阶爱尔朗分布.

由此结论可知，r个相互独立且服从指数分布的随机变量之和即为一个r阶爱尔朗分布.爱尔朗分布虽然不具有无记忆性，但是爱尔朗分布与指数分布有密切的联系，所以我们可以利用指数分布的特性来处理与爱尔朗分布有关的问题.

由中心极限定理可知，若随机变量ξ服从r阶爱尔朗分布，则对一切x≥0，有

2.3 伽玛分布与正态分布

定理2[4]：如果ξ服从标准正态分布，则ξ2服从λ=0.5，r=0.5的Γ-分布，

即ξ2～χ2(1).

所以ξ2服从λ=0.5，r=0.5的Γ-分布，即ξ2～χ2(1).

2.4 伽玛分布渐进正态分布

恰好为标准正态分布的特征函数，由逆极限定理可知：伽玛分布在r→∞时渐进正态分布.

2.5 伽玛分布与χ2分布

当y<0时，fY(y)=0.

3 举例

[1] 茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2004.

[2] 严士键,刘秀芳,徐承彝.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2011.

[3] 何书元.概率引论[M].北京:高等教育出版社,2011.

[4] 袁荫棠.概率论与数理统计(第二版)[M].北京:中国人民大学出版社,1998.

[5] 陶会强.常用概率分布之间的关系及应用研究[J].怀化学院学报,2011,30(5):75-78.

[6] 王红雁.Γ-函数在概率统计中的应用[J].高等数学研究,2014,17(3):29-30.

[7] 唐应辉,唐小我.排队论:基础与分析技术[M].北京:科学出版社,2006.