线性代数幺半群中极大子群的Weyl群结构

李 军

(广州大学 数学与信息科学学院 广东 广州 510006)

0 引言

代数幺半群理论主要是由Putcha和Renner在近三十多年来系统的建立和发展起来的一个重要且独立的数学分支[1-2]．一个线性代数幺半群是指一个具有含幺半群结构，且乘法映射是代数簇之态射的仿射代数簇．文献[3]证明了一个线性代数幺半群的核(即极小理想)一定存在．文献[4-6]系统地研究了核的结构问题．文献[7]利用代数幺半群中非单位元部分的信息来研究这个代数幺半群的单位群的结构信息，得到了单位群可解的充分必要条件及Weyl群的结构刻画．文献[8]针对带零元素的不可约代数幺半群，利用幂等元的左(或右)中心化子构造了一类可解代数子群．对于有限群，文献[9]将子群的θ-完备的条件互相结合,研究了有限群的可解性.

为了进一步探索代数幺半群中极大子群的可解性，需深入研究相应的Weyl群的阶的刻画．本文在文献[7]的思想基础上，利用半群理论的格林关系及幂等元的权重，研究了代数闭域上的不可约线性代数幺半群中核的极大子群的可解性对整体结构的影响，给出了线性代数Weyl群的阶的特征刻画．所得结论对文献[8]中相应定理进行了推广．

1 预备知识

给定E(M)的一条链Γ，那么对于任意的e∈Γ，令

若N为M的代数子幺半群，Nc表示N的单位分支，G(N)表示N的单位群．令G=G(M)表示M的单位群，则：

以下为本文证明中需用到的基本引理．

引理2[1]设φ：G→G′是一个不可约代数群的满同态，N=(Ker(φ))c．那么

|W(G)|=|W(N)|·|W(G′)|．

引理3[1]设M为一个不可约代数幺半群，G为它的单位群，T是G中的一个极大环面，那么对于任意的e∈E(M)，有

|W(G)|=|wM(e)|·|W(CG(e))|．

引理4设M为一个不可约代数幺半群，G为它的单位群，Γ是E(M)的一条极大链，Γ′=Γ{1}，e为Γ′中的极大元．那么:

2 极大子群中Weyl群的阶关系

定理1设M为一个不可约代数幺半群，G为它的单位群，Γ是E(M)中的一条极大链．对于任意的e∈E(M)，Γe为E(eMe)的一条极大链．那么

特别地，

其中f为M的任意极小幂等元．

令Mi=eiMei，Gi=G(Mi)=Hei，Γi={em

由于em是M的极小幂等元，有emMem=Gm=Hem，从而

根据定理1，可以直接得到下面的推论．

推论1设M为一个不可约代数幺半群，G为它的单位群．那么对于E(M)中任意一条极大链Γ，以下条件等价：

(5)Hf是可解的，其中f是M中的一个极小幂等元．

下面，我们利用幂等元的权重，给出了代数幺半群M中单位群G的Weyl群阶的刻画．

定理2设M为一个不可约代数幺半群，G为它的单位群，T是G中的一个极大环面．令Γ={em

|W(G)|=wM(e1)·we1Me1(e2)·…·wem-1Mem-1(em)·|W(Hem)|，

其中：weiMei(ei+1)为幂等元ei+1在幺半群eiMei中的权重．特别地，若M含有零元素，则

|W(G)|=wM(e1)·we1Me1(e2)·…·wem-1Mem-1(em)．

|W(CG(e1))|=|W(He1)|·|W(Ge1)|=|W(He1)|．

由引理3，得

|W(G)|=|wM(e1)|·|W(CG(e1))|=|wM(e1)|·|W(He1)|，

容易验证，在M与e1Me1中包含e2的极大子群是相等的．因此考虑代数幺半群e1Me1，其单位群为He1，类似可得

|W(He1)|=|we1Me1(e2)|·|W(He2)|．

重复以上过程，即有结论

|W(G)|=wM(e1)·we1Me1(e2)·…·wem-1Mem-1(em)·|W(Hem)|，

若M含有零元素0，则em=0，W(Hem)={0}．因此，

W(G)=wM(e1)·we1Me1(e2)·…·wem-1Mem-1(em)．

例1令M=M4(K)，那么G=GL4(K)为M的单位群，所有的4阶可逆对角矩阵全体构成了G的极大环面．令

那么Γ={0

因此，

所以|W(G)|=wM(f1)·wf1Mf1(f2)·wf2Mf2(f3)·wf3Mf3(f4)=4×3×2×1=24．

[1] PUTCHA M S．Linear algebraic monoids[M]．London：Cambridge University Press，1988．

[2] RENNER L E．Linear algebraic monoids[M]．New York：Springer，2005．

[3] PUTCHA M S．On linear algebraic semigroups[J]．Transactions of the American mathematical society，1980，259(2)：471-491．

[4] HUANG W X．The kernel of a linear algebraic semigroup[J]．Forum mathematicum，2005，17(5)：851-869．

[5] HUANG W X． Kernels，regularity and unipotent radicals in linear algebraic monoids[J]．Forum mathematicum，2011，23(4)：803-834．

[6] HUANG W X．The structure of affine algebraic monoids in terms of kernel data[C]//The International Workshop on Algebraic Monoids，Group Embeddings，and Algebraic Combinatorics．Toronto，2014，71：119-140．

[7] PUTCHA M S．The group of units of a connected algebraic monoid[J]．Linear and multilinear algebra，1982，12(12)：37-50．

[8] PUTCHA M S．A semigroup approach to linear algebraic groups[J]．Journal of algebra，1983，80(1)：164-185．

[9] 高辉，高胜哲，尹丽．关于有限群子群的θ-完备[J]．郑州大学学报(理学版)，2016，48(2)：11-13．