离散Kepler系统的共形不变性与守恒量

夏丽莉， 张 伟

(1.北京工业大学 机械工程与应用电子技术学院 北京 100124； 2.河南财政金融学院 物理与电子工程学院 河南 郑州 450046)

0 引言

共形不变性是寻求守恒量的现代方法, 是建立在标度不变性、 平移不变性、 转动不变性和短程相互作用基础之上的一种对称性理论. 文献[1]研究了Birkhoff系统的共形不变性, 讨论了共形不变性与Lie对称性之间的关系. 文献[2-3]给出了 Mei对称性共形不变性的定义和判据方程. 人们对连续系统的共形不变性和守恒量理论进行了大量的研究, 并取得了相当多的成果，但对于离散力学系统的共形不变性和守恒量理论研究较少.文献[4]结合文献[5]的研究方法, 在连续系统共形不变性基础上, 研究离散 Lagrangian系统的共形不变性和Noether守恒量.

经典Kepler问题在天体力学和量子力学中被广泛关注，守恒量理论一直是Kepler问题研究的重点内容[6]. 文献 [7] 得到了能量守恒、角动量守恒和Runge-Lenz矢量守恒. 虽然Kepler系统的连续对称性问题得到了一定的发展, 但对于Kepler系统的离散共形不变性尚无报道. 离散化方法在数学、物理等领域发挥着重要的作用[8]. 本文基于Kepler系统的离散化理论[9]，通过研究Kepler系统的共形不变性,得到了一种更加简洁的探究Kepler系统的守恒量的路径.

1 离散Kepler系统的运动方程

(1)

在离散变量空间中, 离散变量形式为(t-,t,t+,t++,…,q-,q,q+,q++,…),n维坐标变量q={q1,…,qn},p={p1,…,pn}.这里采用“改良版本”的离散Legendre变换离散Kepler系统的Hamilton函数，可以表示为

(2)

则离散Kepler正则方程可以表示为

(3)

(4)

2 离散Kepler系统的共形不变性

令矩阵

(5)

相空间中无限小生成元向量的离散点扩展式为

(6)

(7)

3 共形不变性和Lie对称性

(8)

则系统的共形不变性是Lie对称性的充要条件为

(9)

证明根据Lie对称性定义, Kepler系统的Lie对称性满足：

(10)

4 Kepler系统的共形因子

Kepler系统的动力学方程可以表示为

(11)

取无限小生成元τ=0,ξ1=-q2,k,ξ2=q1,k,η1=-p2,k,η2=p1,k, 有

Kepler系统的共形因子为

5 Noether守恒量

Noether 对称性原理表明：作用量的每一种连续对称性都有一个守恒量与之对应. 人们把这种对称与守恒量的联系称为 Noether 定理[10], 对于离散动力学系统的积分理论, 文献[11]给出了离散 Hamilton系统的Noether定理.

定理2[11]如果存在无限小生成元ξ、ηi、ζi和规范函数Gi=Gi(t,t+,q,p+)满足离散Noether等式：

(12)

则Hamilton系统导致如下守恒量：

(13)

定理3如果无限小生成元ξ、ηi、ζi满足方程(10), 存在规范函数Gi=Gi(t,t+,q,p+) 满足离散Noether等式 (12), 则Hamilton系统的Lie对称性共形不变性导致守恒量(13).

(14)

图1 离散变分方法求解Noether守恒量的放大图Fig.1 Amplified image of the Noether conserved quantity by the discrete variational method

这里，定理3说明取不同的对称性生成元和合适的规范函数, 可能得到更多的守恒量. 本文只给出了能量守恒.

选择初始条件为q1=0.003,q2=0.9,q3=0.01,p1=0.1,p2=0.1和p3=0.8的Kepler轨道，并取步长为0.1, 常数K=0.75. 根据Nother定理得到守恒量(14)，即系统的Hamilton量.图1给出了通过离散变分方法模拟系统的Hamilton量随时间的变化趋势.

6 结论

引入离散差分变分原理研究离散Kepler系统的共形不变性和守恒量理论, 得到了系统的共形因子. 基于Hamilton系统的离散Noether定理, 得到了Kepler系统的守恒量，并用基于离散变分原理的保结构数值算法验证了系统的守恒量.

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