巧用定义解决圆锥曲线最值问题

■河南省温县第一高级中学 李贺伟

在高考中,以圆锥曲线为背景的最值问题,是解析几何中的一类常见问题。当一道题目涉及线段距离、圆锥曲线位置关系等,而且又与焦点有关时,通常可考虑利用定义来求解。利用圆锥曲线定义求解的基本特点是解题思路比较简单,规律性较强。而圆锥曲线的定义是由曲线上的点到焦点的距离来刻画的,由此可对一些距离进行有效的转化,因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时,应先想到利用定义进行求解,这样会有事半功倍之效。下面举例说明如何巧用圆锥曲线的定义来求这类最值问题。

一、抛物线定义在最值中的巧用

抛物线定义:平面内,到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫作抛物线。其中定点叫抛物线的焦点,定直线叫抛物线的准线。

例1 已知抛物线y2=2x的焦点为F,P是抛物线上的动点,点A(3,2),求|P A|+|P F|的最小值,并求出取最小值时点P的坐标。

解析:将x=3代入抛物线方程y2=2x,得。因为,所以A点在抛物线内部,如图1,设点P到准线的距离为d,由定义知|P A|+|P F|=|P A|+d。

图1

点评:本题利用抛物线的定义,将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,从而构造出“两点之间线段最短”,使问题获解。

二、椭圆定义在最值问题中的巧用

椭圆定义:平面内,到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的动点P的轨迹叫作椭圆。其中F1,F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为|P F1|+|P F2|=2a(2a＞|F1F2|)。

(2)求|MA|+|MF|的最值。

分析:本题涉及椭圆的焦点、椭圆上的点,这些都是椭圆定义的特征,所以结合定义及平面几何知识即可解决。

解:根据题意知F(4,0)是椭圆的右焦点,椭圆的离心率为

图2

(2)如图3,根据椭圆的定义知|MF1|+|MF|=1 0。

图3

故当M0在A F1的延长线上时|MA|+|MF|取得最大值为

当M0在F1A的延长线上时|MA|+|MF|取得最小值为

三、双曲线定义在最值问题中的巧用

双曲线定义:把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线。其中这两个定点叫作双曲线的焦点,两定点间的距离叫作双曲线的焦距。

分析:目标函数为|P F2|+|P B|,从一般方法来解比较困难,则我们可以从定义入手,利用双曲线第一定义,把|P F2|转化为|P F1|-8,而|P B|+|P F1|为平面内三点距离之和,当B,P,F1点共线时有最小值。

解:由题意得F1(-5,0)、F2(5,0),由双曲线的第一定义得|P F1|-|P F2|=8,所以|P F2|+|P B|=|P F2|=|P F1|-8,当P点在如图4所示的位置时有最小值,即|P F1|+|P B|≥|B F1|=,所以|P F2|+|P B|的最小值为

图4

此题巧用双曲线的第一定义把|P F2|转化为|P F1|-8,再结合平面几何知识进行分析,从而问题得解。