立体几何中探究性问题

谢炳剑

立体几何的探究、存在性问题是一类很好的问题，通过解决这类问题，学生能很快地深入理解立体几何中平行垂直的判定定理和性质定理，对培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力有很大的帮助.解决立体几何中的开放探索性问题，常常借助空间概念转化为平面几何问题的探究，或将运动观念化归为特殊位置确定解决，或将几何中的位置关系转化为函数与方程问题，其关键还是化归思想的渗透.

一、利用平行的判定定理和性质定理进行转化

例1 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中点，在棱AC上找点N使平面AB1M∥平面BC1N.

解：∵平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M=AM，平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N，

∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，∴四边形ANC1M为平行四边形，

∴AN=C1M= A1C1= AC，∴N为AC的中点.

反思感悟：对于探索性问题，一是可直接运用题中的条件，结合所学过的知识探求；二是可先猜想，然后证明猜想的正确性.

二、利用线面垂直的判定定理进行转化

例2 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF= 时，CF⊥平面B1DF.

解：由已知得B1D⊥平面AC1，

又∵CF？奂平面AC1，∴B1D⊥CF，

故若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF.

设AF=x（0

又∵CD2=a2+9a2=10a2，∴10a2=x2+4a2+a2+（3a-x）2，解得x=a或2a.故答案為a或2a.

反思感悟：线面垂直化归为平面几何中的两直线垂直的探究，及从结论出发的逆向推理是关键.

三、利用线面角的概念进行转化

例3 如图，在△ABC中，O是BC的中点，AB=AC，AO=2OC=2.将△BAO沿AO折起，使B点与图中B′点重合.当三棱锥B′-AOC的体积取最大时，试问在线段B′A是否存在一点P，使CP与平面B′OA所成的角的正弦值为 ？证明你的结论，并求AP的长.

解：在平面B′OC内，作B′D⊥OC于点D，因为B′D⊥OA，

又∵OC∩OA=O，∴B′D⊥平面OAC，即B′D是三棱锥B′-AOC的高，

又∵B′D≤B′O，∴当D与O重合时，三棱锥B′-AOC的体积

最大，连接OP，在（1）的条件下，易证OC⊥平面B′OA，

∴CP与平面B′OA所成的角为∠CPO，

∴sin∠CPO= = ，∴CP= .

又∵在△ACB′中，sin∠AB′C= = ，

∴CP⊥AB′，∴B′P= = ，∴AP= .

反思感悟：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识.

四、利用二面角的平面角的概念进行转化

例4 如图，在几何体SABCD中，AD⊥平面SCD，BC∥AD，AD=DC=2，BC=1，又∵SD=2，∠SDC=120°.试确定SC上是否存在一点E，使二面角S-AB-E的平面角的大小为30°？

解：如图，过点D作DC的垂线交SC于F，以D为原点，分别以DC，DF，DA为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

∵∠SDC=120°，∴∠SDF=30°，又∵SD=2，则点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为 .则有D（0，0，0），S（-1， ，0），A（0，0，2），C（2，0，0），B（2，0，1）.

设 =λ ，所以 - =λ（ - ），∴ = （ -

λ ）

E ， ，0，∴ = ， ，-2，∵ =

（2，0，-1）

设平面EAB的法向量为 =（x，y，1），则

· =2x-1=0 · = x+ y-2=0？圯x= y=

∴ = ， ，1= （ ，5-2λ，2 ），取 =（ ，5-2λ，2 ）

因为平面SAB的法向量为 =（ ，5，2 ）

∴cos< ， >= = = ，

化简得λ2+10λ-20=0，解得λ=-5±3 ，

经检验，当λ=-5-3 <0时，二面角S-AB-E的大小为30°.

反思感悟：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识.同时考查空间向量的应用，考查空间想象能力和运算求解能力.

立体几何中的探索性问题有利于考查学生的归纳、推理、论证等各方面的能力，也有利于创新意识的培养。常从条件出发，探索出要求的结论是什么。另外，还有探索的结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容的结论。

编辑 李建军