借助直观图形平衡算理与算法的关系

张易 宋佳琪

摘 要：文章以“两位数乘两位数的笔算乘法”为例，提出了借助直观图形来平衡算理与算法的观点，结合教学实践，提炼出“以形解数，联系旧知，探索算法”“数形结合，理解算理，形成算法”“以数阐数，巩固算理，提炼算法”的三点策略。

关键词：算理；算法；直观图形；平衡关系

计算存在于数学学习的每一个环节之中，是小学数学教学的主要内容之一。但正是这重要的一环，却是老师最为头疼、学生最不愿意学习的知识。要上好计算课，最重要的是要平衡好算理和算法的关系。在计算教学中，算理和算法是必然存在的一对朋友。算理，即计算的道理，主要回答“为什么这样算”的问题；算法，即计算的方法，主要解决的是“怎样计算”的问题。算理是计算的依据，是算法的基础，而算法则是依据算理提炼出来的计算方法和法则，二者相辅相成，缺一不可。本文以“两位数乘两位数的笔算乘法”一课为例，浅谈如何利用直观图形，促进学生内化算理，形成算法，平衡好算理和算法的关系。

一、以形解数，联系旧知，探索算法

教学片段一：

师：14×12到底是多少呢？老师用这幅点子图来表示这12套书。下面我们马上借助点子图，圈一圈，计算14×12的结果，完成后和你的同桌交流一下。

師：谁愿意来分享一下你的想法？

生1：14×2=28（本）；14×10=140（本）；140+28=168（本）。

师追问：联系点子图，说一说28求的是什么？140求的又是什么？

生2：先算6套有多少本，再乘2就是12套有多少本了：14×6×2=168（本）。

师追问：为什么要乘2？

师：你们真厉害，想出了这么多的方法，可老师有个疑问，你们为什么要把12拆成10和2、6和6呢？

师小结：说得对，这些同学把两位数乘两位数这个新知识转化成了两位数乘一位数或整十数的旧知识。在数学中，转化是一种重要的思想方法，我们在以后的学习中会经常用到。

思考：本环节的学习是建立在已有旧知的基础上进行的。口算的算理可以说是学生已有的“旧知”，在算理的基础上探索口算的算法。学生可以借助点子图来进行探究。12行点子表示12套书，每行14个点子表示1套14本书，将抽象的数转化成直观的图形，根据点子图直观感知12套书的数量，教师引导学生观察思考，联系旧知，可以将12行进行拆分，分成10行和2行。这样的回答给其他学生打开了思路，接着就会有人想到12行还有不同的分法，分成2个6行、3个4行等。在思考的过程中，教师要提醒学生计算的简便性，提倡算法多样化的同时要考虑算法优化。根据不同的点子图，列出相应的算式，再联系点子图，说一说算式的含义。

二、数形结合，理解算理，形成算法

教学片段二：

师：刚刚我们用口算的方法得到了14×12的积，现在能不能试着用竖式计算的方法得到答案呢？马上尝试一下。

师：我们再来看看这位同学的想法，他是用竖式计算的方法得到了答案，你看懂他是怎么算的吗？谁来介绍一下。

生1：用个位的2去乘14得到28，用十位的1去乘14也就是10乘14得到140，个位的0省略不写。最后28加140等于168。

师：你听明白了吗？谁再来说一说。

师：我们一起把这个计算过程再来梳理一下。首先在写两个乘数的时候相同数位要对齐。

师：第一步应该怎么算

生2：用个位的2乘14，得到28。

师：28在点子图中指的是哪部分？是几套书的本数？表示什么含义？可以用哪个算式来表示？

生3：28表示的是2套书的本数，表示2个14是多少，可以用算式14×2来表示。

师：然后怎么算？

生4：用10乘14，得到140，个位的0省略不写。

师：为什么这个“4”要写在十位上？为什么这个十位上的“1”和1相乘得到的1写在百位上？14在这里表示什么含义？

师：140指的又是指点子图的哪部分？是几套书的本数？表示什么含义？可以用哪个算式表示？

生5：140表示的是10套书的本数，表示10个14是多少，可以用算式14×10来表示。

师：继续往下计算，28+140=168，168在题目中表示什么含义？

师完善书写：所以14×12等于168本，答：一共买了168本

师：现在谁能把计算过程再完整地来说一说？谁愿意再来说一说？

师：竖式计算的过程与我们之前的口算有什么相同的地方吗？

思考：14×12的笔算过程和口算虽然写法不同，但其思路是一致的。教师在分析笔算算法时，可以联系口算来理解，能使学生更清楚地看到竖式计算的过程，促使学生在竖式上进行形式化的演算。学生在理解竖式的含义是，教师适时提问：“28在点子图中指的是哪部分？是几套书的本数？表示什么含义？可以用哪个算式来表示？”又将学生的视线从竖式拉回到了点子图，笔算和口算中的28均表示图中2套书的本数，由14×2得到，及时沟通竖式、点子图、算式三者的关系，架起沟通口算和笔算的强梁，让算理的感悟和算法的形成顺其自然。有了理解竖式第一层积的经验，理解竖式中第二层积的含义就水到渠成了。14×10=140和竖式计算中的第二层积指的都是10套书的本数。这里是理解算理过程中的一道坎，教师要引导学生从点子图出发，理解笔算算理，加深学生的直观感知，化繁为简，合理分配教学算理和算法的时间。

三、以数阐数，巩固算理，提炼算法

教学片段三：

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师：完成后同桌相互说一说计算过程。

师：请他自己来介绍一下第一题是怎么算的？3为什么写在十位上，这里的23表示什么含义？（介绍第二题）

师：现在谁能来总结一下像这样两位数乘两位数的笔算方法是怎样的？先和同桌讨论一下。

师小结：先用第二个乘数个位上的数与第一个数相乘，再用第二个乘数十位上的数和第一个数相乘，最后把两次乘得的积加起来。

思考：前两个教学片段均利用了点子图作为感悟算理、形成算法的学习工具。片段一，学生借助点子图这一直观模型自主探究口算过程。学生通过在点子图上圈一圈，沟通图和算式，直观理解每个算式的含义。片段二，借助点子图沟通口算和竖式每一步的计算过程，感悟算理和算法。有了前期的知识积累，脱离直观图形，直接抽象出“数”，引导学生以“数”阐“数”。经历完整的计算过程，掌握竖式中每一步结果的含义，巩固算理，“3为什么写在十位上？这里的23表示什么含义”？在多次的练习中形成经验，总结出两位数乘两位数笔算的算法，将抽象化的算法具体化，更具现实意义。

借助直观图形，经历从“抽象数”到“具象模型”，再到“抽象数”的过程，将复杂的算理可视化、简单化，使学生能够直观感知，促进算理的理解，依据算理总结提炼出算法。算理和算法在计算教学中相辅相成，一路同行。

参考文献：

[1]罗梅莉.计算教学中算理和算法的有效结合[J].广西教育，2017.

[2]夏利波.以“笔算除法”为例谈算理与算法的平衡[J].宁波教育学院学报，2014.

[3]舒孝翠.数形结合 内化算理[J].小学数学研究，2013.

编辑 李琴芳