且做且思教“广角”

温与寒

“数学广角”是新“课标”人教版教材中增设的教学模块，其内容的呈现采用与生活息息相关的、生动有趣的事例展开，通过学生可以理解的形式，系统而有步骤地渗透基本的数学思想方法。从简单的分类思想到较为抽象的优化、运筹思想，体现出从具体到抽象，螺旋上升的思维层次，既符合学生的认知规律，又在潜移默化中循序渐进地完成了数学思想方法的渗透。

《数学课程标准》中明确提出：“让学生通过学习，能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法。”在小学数学教学中有意识地渗透一些基本的思想方法，不仅能使学生领悟数学的真谛，懂得数学的价值，学会用数学思考和解决问题，还可以把知识的学习与能力的培养、智力的发展有机地统一起来。作为教师不仅要把渗透数学思想方法的意识落实到每一节课的教学当中，更要在“数学广角”这一专门的单元中做好这方面的文章。

那么应该如何在数学广角的教学中渗透数学思想方法呢？笔者认为应该从以下几方面着眼，让“数学广角”的教学成为对教师及学生思维本质的探寻。

策略一：根植历史渊源，挖掘数学文化

数学有着极其丰厚的文化渊源，其自身所蕴含的鲜活文化背景以及与生活千丝万缕的联系都是数学文化最好的体现。数学文化不应从数学之外去寻找，其最内在的文化特性应该是数学知识本身，同时数学文化的内涵也寓于它的历史之中。例如第七册中的“田忌赛马”，第八册中的“鸡兔同笼”问题都是极具历史渊源的数学问题，教师一定要深入挖掘其文化背景，做一些必要的补充。我们在实际的教学中既可以把有关数学文化的知识放在课前参与的部分，让学生通过网络、看书等途径了解，也可以在课上进行分享：“鸡兔同笼”最早出现在《孙子算经》中，现传版本的《孙子算经》共三卷，卷下31题，可谓是后世“鸡兔同笼”的始祖，后来传到日本，变成“龟鹤算”。在教师潜移默化的熏陶下，这种文化的积淀会自然而然地形成并留存下来，成为学生数学素养的一部分。

策略二：运用多种手段，贯穿教学过程

1.在操作交流中亲历过程，寻求感悟思想方法。

当教材通过日常生活中最常见的事例呈现数学知识的时候，将大大激发学生探索的兴趣，此时教师再通过实验、观察、操作、推理等数学活动组织学生思考与交流，学生自然而然地就会在亲历活动的过程中对于数学思想方法有所感悟。人教版第七册的数学广角“合理安排时间”体现了运筹思想，在教学中，教师运用教材中创设的情境，通过设计“如何让李阿姨尽快喝到茶”的方案，引导学生结合生活经验，在独立思考的基础上，再与同伴讨论交流，动手操作摆画流程图，使其自主发现有些事情要按顺序做，而有些事情可以同时做，从而形成最佳的方案，最后展示学生的方案，比较区别不同点，发现最优化的方法。教材接着设计了为客人烙饼的情境。在探索烙饼问题时，“烙3张饼的最佳方法”是本课的关键，也是难点，而突破这个难点的方式仍然是动手操作，借助学具让学生通过摆圆片观察、比较、记录、交流，发现“每次锅里同时烙2张饼，所用时间最短”的最佳方法。在此基础上通过观察表格，发现从2张饼开始“烙饼时间=饼张数×每面所用时间”的规律。就这样从安排家务顺序入手，到探索烙饼的过程及最佳方法，再到解决现实生活中常见的问题，学生经历发现问题—提出问题—解决问题—揭示规律—建构模型的全过程，而在操作的过程中学生对于运筹思想也有了更深的体会。

2.在同一素材中着力挖掘，体会多种思想方法。

数学知识从来都不是单摆浮搁的，它们是有机的整体，相互联系而又相辅相承，数学知识中蕴含的思想方法当然也不是单一的，很多时候在同一素材中往往蕴含着多种数学思想方法。例如四年级下册的“植树问题”中就蕴含着化归、建模、一一对应、数形结合等多种数学思想方法。解决植树问题的时候，学生通过举例、画图等形式自主探究棵数与间隔数之间的关系，就是化归与数形结合思想的体现。在教学时先通過交流题中的两个条件，分散难点；再由学生自主尝试，引发认知冲突，激发探究欲望；接着设计相关操作活动，尝试从简单入手，用“把大数变小数”的方法进行研究，发现其中的规律，渗透“化繁为简”的数学思想。在体会棵数与间隔数三种情况的时候，学生会根据棵数与间隔数之间一一对应的关系发现：两端都种时，最后一棵树没有间隔与之相对，所以棵数比间隔数多1；而一端种树时，棵数与间隔数刚好一一对应，所以它们是相等的；两端都不种时，则是最后的一个间隔没有树与之相对应，所以棵数比间隔数少1。最后再运用这样的方法解决其他相关问题。一系列的设计注重了多种数学思想方法的渗透，环环相扣，在知其所以然的过程中完成了多种数学思想方法的体悟。

3.在众多素材中抓住联系，渐进培养思想方法。

在“数学广角”的整体编排上，也体现了知识之间的融会贯通，体现出一种“大教材观”。例如关于排列组合的问题，教材的编排由低年级的服装、早餐搭配到中年级数字的搭配，再到高年级球赛中赛制对阵的问题，逐步将排列组合的知识综合运用起来解决实际问题，体现了循序渐进的编排意图。低年级中的找规律问题要求学生有序思考，高年级的运筹对策论同样要求学生有序思考，同一种思想方法的培养贯穿教材设计的始终。教材的安排与实际生活的联系也愈发紧密，作为教师在教学中既不能越位，又不能囿于表层，要准确把握教学目标，抓住知识间的联系，才能有计划地渐进式地培养思想方法，从而展开更为有效的教学。

4.在有意无意中渗透融合，提升梳理思想方法。

对于数学思想方法的培养要渗透于数学知识发生、形成与发展的全过程，做到“润物细无声”。在解决问题方法的对比之中，教师随机的评价之中，教学的各个环节中都可以渗透，体现教师对于教材深入的理解和对教学时机的准确把握。当然也要有意识地提升与梳理，在每一个环节结束后，不仅要总结出知识上的规律，更要对于数学思想方法进行恰到好处的点拨。例如五年级下册的“找次品”，教材提供了基本的教学思路：先研究在3个零件中找次品，再研究在8个和9个中找次品的方法，然后延伸到更多，最终揭示规律。在解决问题的过程中由简单数据入手，用符号记录过程，将思维的过程外显化。在每一环节结束后都要有意识地帮助学生提升与梳理，通过观察、对比、总结、提炼数学思想方法，由浅入深地明确最优方案暨把待测物品分为3份，尽量平均分，这是为了最快找到次品所在的那一份；根据表格中数据的记录分析出解决此类问题的规律。这种有意识地提升与梳理，必将使学生的数学思路更为明晰。

策略三：联系生活实践，关注拓展开发

在各学段“数学广角”单元中，教材提供了诸多素材，作为教师既要充分理解教材，同时又不能将思维固化于教材之中，要善于在生活实践中寻找并开发教学资源，在巩固已形成的思想方法的同时，拓展新的数学思想方法，从而不断丰富学生的数学素养。如将“植树问题”拓展为敲钟问题、锯木问题、楼层问题；将“鸡兔同笼问题”拓展为龟鹤问题、分组问题、币值问题、运输中的破损问题、答题中对错题目数量的问题；将容斥问题由两组数据拓展为三组数据，将空心方阵问题拓展为两层甚至三层。还可以根据学生情况拓展一些新的数学问题，适当增加难度，为中学数学学习做好充分的准备。

总之，在“数学广角”的教学中对于数学思想方法的渗透，教者应引导学生在问题解决中感悟，在合作探究中体验，在巩固运用中提炼。美国数学家哈尔莫斯说过：数学的核心应该是越过这些表面知识的内在问题、思想和方法，问题是数学的心脏，思想是数学的灵魂，方法是数学的行为。掌握科学的数学思想方法对提升学生的思维品质，对数学学科的后续学习，对其他学科的学习，乃至学生的终身发展都有着十分重要的意义。“数学广角”是新教材的有机组成部分，是学生思维训练的材料，每一位教师都要真正发挥数学广角渗透数学思想方法的作用，让学生的数学思维能力得到切实、有效的发展。

（作者单位：哈尔滨市南岗区教师进修学校）

编辑/魏继军endprint