带变号势函数的分数阶p-Laplacian方程弱解的存在性

顾秋婷, 沈自飞

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

0 引 言

近年来,涉及到分数阶及非局部算子问题的研究越来越热门,文献[1-6]探讨了有关分数阶Laplacian方程解的存在性及相关问题.这类问题越来越多地在实际中得到应用,例如随机过程、金融学,以及连续介质力学、相变现象、人口动力学、博弈论等领域;文献[7]研究了一个基尔霍夫型拟线性椭圆方程,在经典的Ambrosetti-Rabinnowitz条件下,通过喷泉定理及对偶喷泉定理获得了该方程无穷多解的存在性;文献[8]采用山路引理获得了一类分数阶薛定谔方程非平凡弱解的存在性;文献[9]探讨了如下分数阶p-Laplacian 方程:

本文在没有Ambrosetti-Rabinowitz条件的前提下,考虑更一般的方程

(1)

(2)

下面给出本文的一些假设:

(f1)存在常数c1,c2>0,使得

p*s={NpN-ps,ps

∞,ps≥N.

本文的主要结果是:

定理1假设条件(f0)～(f4)成立,那么方程(1)至少存在一个非平凡弱解.

1 预备知识

首先回顾分数阶Sobolev空间Ws,p(RN)[11]中的一些性质.定义Gagliardo半范数为

其中:u:RN→R是一可测函数.定义分数阶Sobolev空间

Ws,p(RN)={u∈Lp(RN):u可测且[u]s,p<+∞},

其上赋予范数

其上赋予范数

下面给出方程(2)对应的能量泛函I:Vp(RN)→R,

(3)

由条件(f0)和(f1)易知,泛函I是C1的,且具有意义,对∀v∈Vp,I的Fréchet导数为

由此可知,泛函I的临界点就是方程(2)的弱解,且在条件(f1)和条件(f2)下,对于∀ε>0,∃δ=δ(ε),使得对几乎处处的x∈RN及∀t∈RN,有

(4)

记((Vp)*,‖·‖*)为((Vp),‖·‖)的对偶空间,定义非线性算子J′:Vp→(Vp)*为

易得

〈J′(u),u〉=‖u‖p, ‖J′(u)‖*≤‖u‖p-1.

下面给出本文所需要的定义及引理.

定义1[12]设c∈R,E是一个Banach空间,且I∈C1(E,R).若当n→∞时,对E中任意满足I(vn)→c且‖I′(vn)‖→0的序列{vn}都有一收敛子列,则称I满足(PS)c条件;若对 ∀c∈R,I都满足(PS)c条件,则称I满足(PS)条件.

证明 已知Vp是局部一致凸空间,所以,在Vp中有“弱收敛+范数收敛⟹强收敛”.由条件{un}在Vp中弱收敛于u可知,只需证明当n→∞ 时,‖un‖→‖u‖即可.注意到

〈J′(un)-J′(u),un-u〉=‖un‖p+‖u‖p-〈J′(un),u〉-〈J′(u),un〉.

其中：

另外,根据Hölder不等式得

利用不等式

(a+b)α(c+d)1-α≥aαc1-α+bαd1-α,

〈J′(un),u〉≤‖un‖p-1‖u‖.

类似地,

〈J′(u),un〉≤‖u‖p-1‖un‖.

因此,

〈J′(un)-J′(u),un-u〉≥‖un‖p+‖u‖p-‖un‖p-1‖u‖-‖u‖p-1‖un‖=

(‖un‖p-1-‖u‖p-1)(‖un‖-‖u‖)≥0.

其中，τ是一个正常数.

2 定理1的证明

为了证明定理1,需要建立下面几个引理.

引理3对于方程 (2),若条件(f0)～(f4)成立,则它的能量泛函I满足(PS)条件.

证明 由定义1可知,只需证明泛函I的任一(PS)c序列{un}在Vp中存在强收敛的子列即可.下面分2步来证明：

1)序列{un}⊂Vp有界.

反证法 假设‖un‖→∞(n→∞),并记en=un/‖un‖,那么‖en‖=1.从而在子列的意义下,结合引理1知,存在e∈Vp,当n→∞时,

(5)

分2种情形讨论.

①e=0.

〈I′(tnun),tnun〉=0.

(6)

另外,对∀κ>0,令

那么,由‖un‖→∞(n→∞)可知,当n→∞时,

结合式(4)得

因此,当n足够大时,有

由κ的任意性得

I(tnun)→∞.

(7)

综合式(6)和式(7),当n→∞时,

因此,由假设(f4)可知,存在θ≥1,当n→∞时,

(8)

另一方面,

(9)

与式(8)矛盾.

②e≠0.

记集合Λ={x∈RN:e(x)≠0}.显然Λ可测,且对∀x∈Λ,当n→∞时,|un(x)|→∞.因而在Λ中,结合假设(f3)及Fatou引理可得

(10)

另一方面,由定义1可知,

(11)

与式 (10) 矛盾.

综合2种情形便可推断序列{un}⊂Vp有界.

2)存在u⊂Vp,当n→∞时,‖un-u‖→0.

结合假设(f1)及引理2,利用Hölder不等式有

c1τp-1(‖un‖p-1+‖u‖p-1)‖un-u‖p+c2τq-1(‖un‖q-1+‖u‖q-1)‖un-u‖q→0.

从而当n→∞时,

因此,结合引理1,当n→∞时便有‖un-u‖→0.引理3证毕.

引理4若N≥2,p≥2,s∈(0,1),且条件(f0)～(f3)成立,则存在ρ>0,β>0,当‖u‖=ρ时,I(u)≥β.

证明 由式(4)可知,对∀ε>0,∃δ(ε)>0,使得

I(u)=1p∫RN|u(x)-u(y)|p|x-y|N+psdxdy+1p∫RNV^(x)|u(x)|pdx-∫RNF^(x,u)dx=

引理4证毕.

引理5若条件(f0)～(f3)成立,则存在e∈Vp(RN),使得在RN中几乎处处成立e≥0,且‖e‖>ρ,I(e)<β,其中ρ和β是在引理4中给出的.

证明 由假设(f3)可知,对于∀ε>0,∃M>0,使得

特别地,

这表明:对∀ε>0,有

由ε的任意性得

因此,当|t|→∞时,

引理5证毕.

定理1的证明 由引理4和引理5可以定义

其中

Γ={T∈C([0,1],Vp(RN)):T(0)=0,T(1)=e}.

再结合引理3可得方程(2)的能量泛函I满足山路引理,而方程(1)等价于方程(2),所以方程(1)至少存在1个非平凡弱解.定理1得证.

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