Laplace方程在Lorentz-Sobolev空间上的估计

何少勇, 陈杰诚

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

0 引 言

设u是以下二维椭圆方程的解:

由奇异积分理论知,Riesz变换在L1(R2)上不是有界的,当h∈L1(R2)时,一般并不能推出u∈C0;但是,如果h可以分解成下面的形式:

h=

其中,f,g∈W1,2(R2),那么有Wente不等式[1]

‖u‖C0+‖u‖2≤C‖f‖2‖g‖2.

Bethuel[2]用对偶的方法证明了

‖u‖2≤C‖f‖L2,∞‖g‖L2.

(1)

这些不等式在偏微分方程的许多问题中起着重要的作用，具体可参阅文献[3-5].

在Wente不等式中最关键的是基于以下事实[6]:

‖f⊥g‖H1≤C‖f‖2‖g‖2.

(2)

Coifman[7]指出，Hardy空间在研究偏微分方程解的正则性中起着重要作用，自此，很多学者致力于研究h在怎样的分解形式下使得h∈H1.

‖G·f‖H1≤C‖f‖p‖G‖q.

(3)

则G·f∈H1.

本文将他们的结果推广为如下更广泛的形式：

定理1若f∈Lp1,q1(Rn),G∈Lp2,q2(Rn),在缓增分布意义下divG≡0,其中

则G·f∈Hr(Rn).进一步

‖G·f‖Hr≤C‖f‖Lp1,q1‖G‖Lp2,q2.

定理1中r可以小于1,从而推广了文献[8-9]中的结果.本文的证明依赖于极大算子在Lorentz空间上的有界性.

事实上,当r=1时,divG并不需要消失性,还可得到如下结果：

定理2如果f∈Lp1,q1(Rn),f∈Lp1,q1(Rn),G∈Lp2,q2(Rn)n,divG∈Lp2,q2(Rn),其中

那么div (fG)∈H1(Rn).进一步

‖div(fG)‖H1≤C(‖f‖Lp1,q1‖G‖Lp2,q2+‖f‖Lp1,q1‖divG‖Lp2,q2).

显然,这个结果包含了文献[8-9]中divG=0的特殊情形.对一般的r<1,这个结论不一定正确.

作为定理1的应用,得到下面的定理:

定理3如果u是以下椭圆方程的解:

在缓增分布意义下divG≡0,那么对于1

‖u‖Lp,q≤C‖f‖BMO‖G‖Lp,q.

在定理3中,若取p=q=2,则‖u‖L2≤C‖f‖BMO‖G‖L2.根据一个重要的事实‖f‖BMO≤C‖f‖Ln,∞,容易看出定理2改进了一般化的Bethuel型不等式.

为方便起见,本文中出现的C表示可能依赖于pi,qi,n的正常数,在不同地方可能取不同的值.

1 一些定义及引理

首先介绍Hardy空间和Lorentz空间的基本定义及要用到的引理.

定义1[10]设0

Hardy空间Hp是由所有满足下列性质的缓增分布f∈S′(Rn)所组成的空间:

定义2[11]当0

Lp,q(X,μ)={f∈(X,μ):‖f‖Lp,q<∞}.

其中：

f*(t)=inf{λ:|{x∈Rn:|f(x)|>λ}|≤t}是(0,∞)上的非负递减函数.

注1从Lorentz空间的定义可以看出,当p=q时,Lp,p=Lp,Lp,∞=弱Lp.

引理1[9]对s>0,定义依赖于s的极大算子Ms为

其中:M是Hardy-Littlewood极大算子;B(x,r)表示以x为中心、r为半径的球.当p>s,0

2 定理1和定理2的证明

(4)

取某一r2,使得

由式(4),并应用Hölder不等式和Sobolev嵌入定理得

CMr1(f)(x)Mr2G(x).

(5)

因为r1

‖G·*(G·f)‖Lr≤C‖Mr1(f)Mr2G‖Lr≤

C‖Mr1(f)‖Lp1,q1‖Mr2G‖Lp2,q2≤C‖f‖Lp1,q1‖G‖Lp2,q2.

(6)

定理1证毕.

(7)

对I,从定理1的证明可知

‖I‖L1≤C‖f‖Lp1,q1‖G‖Lp2,q2.

(8)

对II,由Hölder不等式得

CMr1f(x)Mr2(divG)(x).

(9)

因为r1

‖II‖L1≤C‖f‖Lp1,q1‖divG‖Lp2,q2.

(10)

结合式(8)和式(10)得

C(‖f‖Lp1,q1‖G‖Lp2,q2+‖f‖Lp1,q1‖divG‖Lp2,q2).

(11)

定理2证毕.

对于r<1,范数的三角不等式不一定成立,所以定理2的结论对r<1不一定成立.

3 定理3的证明

‖udx.

(12)

另一方面,通过Hodge分解得

V=φ+W; divW=0; ‖φ‖Lp′,q′+‖W‖Lp′,q′≤C‖V‖Lp′,q′=C.

(13)

而u是以下椭圆方程的解:

其中,divG≡0.因此,利用定理1和H1-BMO对偶,结合式(12)和式(13)得

C‖f‖BMO‖G‖Lp,q‖φ‖Lp′,q′≤C‖f‖BMO‖G‖Lp,q.

(14)

定理3证毕.

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