修正Chaplygin气体情形下AW-Rascle模型的Riemann问题及基本波的相互作用
2018-03-07王丽媛
王丽媛
(新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830046)
1 AW-Rascle 模型
AW-Rascle模型的方程组为
(1)
式中：u、ρ≥0、p分别表示速度、密度和压强. AR 模型是交通流的一个主要的流体模型，它具有较好的数学形式且广泛用于描述交通事故及一些其它交通现象的形成及动力行为[1-2]. 为了抑制PW交通流模型表现出的气体现象，2000 年，Aw和Rascle在文献[3]中提出了AR模型并研究了多方气体情形下此模型的Riemann 问题. 2009 年及2011年Sun分别在文献[4]和文献[5]中研究了在不包含真空和包含真空的情形下此模型基本波的相互作用.
本文研究修正Chaplygin 气体
(2)
情形下方程组(1)的Rieman问题及基本波的相互作用. 修正Chaplygin气体是多方气体和Chaplygin气体的一个线性组合，当A=0，B=1时，式(2) 即为通常所说的Chaplygin气体，它不仅是动力系统中具有负压的等熵气体的一个很好的数学表达，而且还可以描述一些宇宙中的暗能量模型 (参见文献[6]).
2 方程组(1)和(2)Riemann问题的解
本文讨论方程组(1)和(2)带如下初始条件
ρ,u0,x=ρ±u±,±x>0
(3)
的Riemann 问题的解.
方程组(1)的特征根及对应的右特征向量分别为
(4)
若ρ≠0，则λ1·r1≠0，λ2·r2≡0，故λ1真正非线性，λ2线性退化. 给定左状态(ρ-,u-)，寻找其自相似解ρ,ut,x=ρ,uξ，ξ=x/t. 方程组(1)和Riemann 初值(2)在自相似的变换下化为
(5)
对于光滑解，方程组(5)的解或者为常状态，即ρ,uξ恒为常数，或者为奇解，即
(6)
给定左状态(ρ-,u-)，相平面上的疏散波曲线是所有可以从右边用一个1-疏散波连接到左状态的状态组成的集合, 1-疏散波具有以下形式
(7)
对于间断解, Rankine-Hugoniot 条件为
(8)
式中：ρ=ρ-ρ-；σ为间断的速度. 由Lax熵条件有ρ-<ρ+，因此给定左状态ρ-,u-，相平面上的激波曲线是所有可以从右边用一个1-激波连接到左状态的状态组成的集合，1-激波有以下形式
(9)
因λ2线性退化，因此相平面上的接触间断曲线是所有可以从右边用接触间断连接到左状态的状态组成的集合，接触间断表示为
Jρ-,u-：ω=u=u-
(10)
如图1所示，ρ>0，给定左状态ρ-,u-，过ρ-,u-画出曲线(7)，(9)和(10)，这些曲线将相平面划分为两个区域：I=ρ,u|u
(1)ρ+,u+∈Iρ-,u-：R+J；
(2)ρ+,u+∈IIρ-,u-：S+J．
图1 相平面和基本波曲线Fig.1 The phase plane and elementary wave curves
3 基本波的相互作用
考虑方程组(1)和(2)带如下扰动初值
(11)
的基本波的相互作用，其中ε>0任意小. 下面我们分情况讨论4种基本波的相互作用，
情形1R+J和S+J
如图2所示，若u± ρ-,u-+R+ρ1,u1+J1+ρm,um+ S1+ρ2,u2+J2+ρ+,u+ (a)相平面上解的结构 (b)坐标平面上系统的特征线图2 u± (12) 在交点处形成新的Riemann问题，产生新的激波S2和接触间断J3.因J3和J2的传播速度相同，故J3和J2不发生相互作用. (13) 当t>t2时，激波S2：x=xt满足 (14) 由式 (14) 易得 (15) 因此S2左偏且当ρ→ρ3时，t→. 故若ρ3<ρ-，当t→时，S2不能穿出R，渐近线为其解为 ρ-,u-+R+ρ3,u3+J3+ρ2,u2+ J2+ρ+,u+ ρ-,u-+S2+ρ3,u3+J3+ρ2,u2+ J2+ρ+,u+ 情形2S+J和S+J 如图3所示，若u+ ρ-,u-+S1+ρ1,u1+J1+ρm,um+ S2+ρ2,u2+J2+ρ+,u+ (a) 相平面上解的结构 (b) 坐标平面上系统的特征线图3 u+ (16) 故当t>t2时，其解可表示为 ρ-,u-+S4+ρ3,u3+J3+ρ2,u2+ J2+ρ+,u+ 情形3S+J和R+J 如图4所示，若u±>um，当t足够小时，初值问题(1)，(2)和(11)的解可表示为 ρ-,u-+S1+ρ1,u1+J1+ρm,um+ R1+ρ2,u2+J2+ρ+,u+ (a) 相平面上解的结构 (b)坐标平面上系统的特征线 图4 u±>umFig.4 u±>um (17) 当t>t1时，接触间断J1：x=xt表示为 (18) 由式 (18) 易得 (19) (20) 当t>t1时，S1：x=xt满足如下方程组 (21) 类似情形1 可得 (22) 故S1右偏. 若ρ3<ρ-，当t→时，S1有渐近线：其解为 ρ-,u-+R2+ρ3,u3+J3+ρ2,u2+ J2+ρ+,u+ ρ-,u-+S1+ρ3,u3+J3+ρ2,u2+J2+ ρ+,u+ 情形4R+J和R+J 如图5所示，若u- ρ-,u-+R1+ρ1,u1+J1+ρm,um+ R2+ρ2,u2+J2+ρ+,u+ 类似情形3，J1和R2相互作用产生R3和J3，R1和R3不会发生相互作用. 当t→时，解为 (a) 相平面上解的结构 (b)坐标平面上系统的特征线图5 u- ρ-,u-+R1+ρ1,u1+R3+ρ3,u3+ J3+ρ2,u2+J2+ρ+,u+ 注：令扰动参数ε趋于零，交点将趋于原点. 研究解的极限，进一步将解的极限与Riemann解相比较，从而证明了Riemann 解的稳定性. [1]GREENBER J M, KLAR A, RASCLE M. Congestion on multilane highways[J]. SIAM Journal Applied Mathermatics, 2003, 63: 818-833. [2]GARAVELLO M, PICCOLI B. Traffic flow on a road network using the Aw-Rascle model[J]. Communications in Partial Differential Equations, 2006, 31: 243-275. [3]AW A, RASCLE M. Resurrection of 'second order' models of traffic flow[J]. SIAM Journal Applied Mathermatics, 2000, 60: 918-938. [4]SUN M N. Interactions of elementary waves for the Aw-Rascle model[J]. SIAM Journal Applied Mathermatics, 2009, 69: 1 542-1 558. [5]SUN M N. A note on the interactions of elementary waves for the AR traffic flow model without vacuum[J]. Acta Mathematica Scientia, 2011, 31: 1 503-1 512. [6]CHAPLYGIN S A. On gas jets[J]. Scientific Memoirs, Moscow University Mathematic Physics, 1904, 21: 1-121.
